Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
0bcd1e72
Найдите наименьшее значение функции
y
=
x
x
−
6
x
+
3
y=x\sqrt{x} - 6x + 3
y
=
x
x
−
6
x
+
3
на отрезке
[
0
;
40
]
[0; 40]
[
0
;
40
]
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Функция
y
y
y
определена при
x
⩾
0
x \geqslant 0
x
⩾
0
.
Отрезок
[
0
;
40
]
[0; 40]
[
0
;
40
]
входит в область определения.
Найдём производную:
y
′
=
3
2
x
1
2
−
6
=
3
2
x
−
6.
y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 6 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 6.
y
′
=
2
3
x
2
1
−
6
=
2
3
x
−
6.
Найдём нули производной:
3
2
x
−
6
=
0
;
\frac{3}{2}\sqrt{x} - 6 = 0;
2
3
x
−
6
=
0
;
x
=
4
;
\sqrt{x} = 4;
x
=
4
;
x
=
16.
x = 16.
x
=
16.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
y
′
(
1
)
=
3
2
−
6
<
0
y'(1) = \dfrac{3}{2} - 6 < 0
y
′
(
1
)
=
2
3
−
6
<
0
,
поэтому производная меняет знак с «–» на «+» в точке
x
=
16
x = 16
x
=
16
.
Значит, это точка минимума.
Таким образом, функция
y
y
y
достигает наименьшего значения на отрезке
[
0
;
40
]
[0;40]
[
0
;
40
]
в точке
16
16
16
:
y
(
16
)
=
16
16
−
6
⋅
16
+
3
=
−
29.
y(16) = 16\sqrt{16} - 6 \cdot 16 + 3 = -29.
y
(
16
)
=
16
16
−
6
⋅
16
+
3
=
−
29.
Ответ:
−
29
-29
−
29
.
