Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
0b8f5e2e
Найдите наименьшее значение функции
y
=
9
x
−
ln
(
x
+
5
)
9
y=9 x-\ln (x+5)^{9}
y
=
9
x
−
ln
(
x
+
5
)
9
на отрезке
[
−
4,5
;
0
]
[-4{,}5; 0]
[
−
4
,
5
;
0
]
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Функция
y
y
y
определена при
x
>
−
5
x > -5
x
>
−
5
.
Отрезок
[
−
4,5
;
0
]
[-4{,}5; 0]
[
−
4
,
5
;
0
]
входит в область определения.
Упростим функцию:
y
=
9
x
−
9
ln
(
x
+
5
)
=
9
(
x
−
ln
(
x
+
5
)
)
.
y = 9x - 9\ln(x+5) = 9\bigl(x - \ln(x+5)\bigr).
y
=
9
x
−
9
ln
(
x
+
5
)
=
9
(
x
−
ln
(
x
+
5
)
)
.
Найдём производную:
y
′
=
9
(
1
−
1
x
+
5
)
=
9
⋅
x
+
4
x
+
5
.
y' = 9\left(1 - \frac{1}{x+5}\right) = 9 \cdot \frac{x+4}{x+5}.
y
′
=
9
(
1
−
x
+
5
1
)
=
9
⋅
x
+
5
x
+
4
.
Найдём нули производной:
9
⋅
x
+
4
x
+
5
=
0
;
9 \cdot \frac{x+4}{x+5} = 0;
9
⋅
x
+
5
x
+
4
=
0
;
x
=
−
4.
x = -4.
x
=
−
4.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
y
′
(
0
)
=
36
5
>
0
y'(0) = \dfrac{36}{5} > 0
y
′
(
0
)
=
5
36
>
0
,
поэтому производная меняет знак с «–» на «+» в точке
x
=
−
4
x = -4
x
=
−
4
.
Значит, это точка минимума.
Таким образом, функция
y
y
y
достигает наименьшего значения на отрезке
[
−
4
,
5
;
0
]
[-4,5; 0]
[
−
4
,
5
;
0
]
в точке
−
4
-4
−
4
:
y
(
−
4
)
=
9
⋅
(
−
4
)
−
9
ln
(
−
4
+
5
)
=
−
36.
y(-4) = 9\cdot (-4) - 9\ln{(-4 + 5)} = -36.
y
(
−
4
)
=
9
⋅
(
−
4
)
−
9
ln
(
−
4
+
5
)
=
−
36.
Ответ:
−
36
-36
−
36
.
