а) Решите уравнение ( 1/49 )^sin(x+π) =… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

\left( \frac{1}{49} \right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right]

Решение

а) Упростим тригонометрические выражения по формулам приведения:

\sin(x+\pi) = -\sin x;

\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x.

Уравнение принимает следующий вид:

\left( \frac{1}{49} \right)^{-\sin x} = 7^{2\sqrt{3}\cos x}.

Получаем:

7^{2\sin{x}} = 7^{2\sqrt{3}\cos x};

2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x;

\sin x = \sqrt{3}\cos x.

Разделим обе части уравнения на

\cos x

(мы можем это сделать, так как если

\cos{x} = 0

, то

\sin{x} = \sqrt{3}\cdot 0 = 0

-- это противоречит основному тригонометрическому тождеству):

\tg x = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

\frac{10\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{10\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{3}