Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
СтатГрад 18.03.2025
Скопировать ссылку
0a9bbe6a
Решите неравенство
log
12
(
7
x
2
+
6
)
−
log
12
(
x
2
+
x
+
1
)
≥
log
12
(
x
x
+
4
+
6
)
.
\log_{12} (7x^2+6)-\log_{12}(x^2+x+1) \geq \log_{12} \left( \dfrac{x}{x+4} +6\right).
lo
g
12
(
7
x
2
+
6
)
−
lo
g
12
(
x
2
+
x
+
1
)
≥
lo
g
12
(
x
+
4
x
+
6
)
.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Запишем область допустимых значений:
{
7
x
2
+
6
>
0
,
x
2
+
x
+
1
>
0
,
x
x
+
4
+
6
>
0.
⇔
x
∈
(
−
∞
;
−
4
)
∪
(
−
24
7
;
+
∞
)
\begin{cases}
7x^2+6 > 0, \\
x^2+x+1 >0, \\
\dfrac{x}{x+4}+6 > 0.
\end{cases}
\Leftrightarrow \quad
x \in (-\infty; -4) \cup \left(-\dfrac{24}{7}; + \infty \right)
⎩
⎨
⎧
7
x
2
+
6
>
0
,
x
2
+
x
+
1
>
0
,
x
+
4
x
+
6
>
0.
⇔
x
∈
(
−
∞
;
−
4
)
∪
(
−
7
24
;
+
∞
)
По свойствам логарифмов:
log
12
7
x
2
+
6
x
2
+
x
+
1
≥
log
12
(
x
x
+
4
+
6
)
;
\log _ {12} \dfrac{7x^2+6}{x^2+x+1} \geq \log_{12} \left( \dfrac{x}{x+4} +6\right);
lo
g
12
x
2
+
x
+
1
7
x
2
+
6
≥
lo
g
12
(
x
+
4
x
+
6
)
;
7
x
2
+
6
x
2
+
x
+
1
≥
x
x
+
4
+
6.
\dfrac{7x^2+6}{x^2+x+1} \geq \dfrac{x}{x+4} +6.
x
2
+
x
+
1
7
x
2
+
6
≥
x
+
4
x
+
6.
Приведём к общему знаменателю:
(
7
x
2
+
6
)
(
x
+
4
)
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
≥
x
(
x
2
+
x
+
1
)
+
6
(
x
+
4
)
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
;
\dfrac{(7x^2+6)(x+4)}{(x^2+x+1)(x+4)} \geq \dfrac{x(x^2+x+1)+6(x+4)(x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(x+4)};
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
(
7
x
2
+
6
)
(
x
+
4
)
≥
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
x
(
x
2
+
x
+
1
)
+
6
(
x
+
4
)
(
x
2
+
x
+
1
)
;
7
x
3
+
28
x
2
+
6
x
+
24
−
x
3
−
x
2
−
x
−
6
x
3
−
30
x
2
−
30
x
−
24
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
≥
0
;
\dfrac{7x^3+28x^2+6x+24-x^3-x^2-x-6x^3-30x^2-30x-24}{(x^2+x+1)(x+4)} \geq 0;
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
7
x
3
+
28
x
2
+
6
x
+
24
−
x
3
−
x
2
−
x
−
6
x
3
−
30
x
2
−
30
x
−
24
≥
0
;
−
3
x
2
−
25
x
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
≥
0
;
\dfrac{-3x^2-25x}{(x^2+x+1)(x+4)} \geq 0;
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
−
3
x
2
−
25
x
≥
0
;
−
3
x
(
x
+
25
3
)
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
≥
0
;
\dfrac{-3x \left(x + \dfrac{25}{3} \right)}{(x^2+x+1)(x+4)} \geq 0;
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
+
4
)
−
3
x
(
x
+
3
25
)
≥
0
;
Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ:
x
∈
(
−
∞
;
−
25
3
]
∪
(
−
24
7
;
0
]
.
x \in \left(-\infty; - \dfrac{25}{3} \right] \cup \left( - \dfrac{24}{7}; 0 \right].
x
∈
(
−
∞
;
−
3
25
]
∪
(
−
7
24
;
0
]
.
Ответ:
(
−
∞
;
−
25
3
]
∪
(
−
24
7
;
0
]
.
\left(-\infty; - \dfrac{25}{3} \right] \cup \left( - \dfrac{24}{7}; 0 \right].
(
−
∞
;
−
3
25
]
∪
(
−
7
24
;
0
]
.
