Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке P. Из параллельности оснований и равенства углов при биссектрисе получаем ∠CPD=∠CDP, значит PC=CD=34. Тогда PB=PC−BC=34−2=32. Треугольники PBM и DAM подобны, а AM=MB, поэтому AD=PB=32. Проведём CE∥AB,E∈AD. Тогда ABCE — параллелограмм: CE=AB=16,AE=BC=2. Следовательно, ED=AD−AE=30. По данным CE2+ED2=162+302=342=CD2, поэтому CE — высота трапеции. Тогда S=2AD+BC⋅CE=232+2⋅16=272.
