Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Планиметрия
ФИПИ
Четырёхугольник ABCDABCDABCD вписан в окружность радиуса R=8R = 8R=8. Известно, что AB=BC=CD=12AB = BC = CD = 12AB=BC=CD=12.

a) Докажите, что прямые BCBCBC и ADADAD параллельны.

б) Найдите ADADAD.

Решение

Изображение 1

а) Проведём диагональ ACACAC. Поскольку хорды ABABAB и BCBCBC равны, то стягиваемые ими дуги AB{AB}AB и BC{BC}BC равны. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги:
∠BCA=∠CAD.\angle BCA = \angle CAD.∠BCA=∠CAD.
Углы BCABCABCA и CADCADCAD являются накрест лежащими при прямых BCBCBC и ADADAD и секущей ACACAC. Их равенство означает, что BC∥ADBC \parallel ADBC∥AD, что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) следует, что ABCDABCDABCD — равнобедренная трапеция (так как BC∥ADBC \parallel ADBC∥AD и BC≠ADBC \neq ADBC=AD) с основаниями BCBCBC и ADADAD. Рассмотрим треугольник ABCABCABC. Он равнобедренный, так как AB=BCAB = BCAB=BC. Обозначим ∠BAC=∠BCA=α\angle BAC = \angle BCA = \alpha∠BAC=∠BCA=α.

Применим теорему синусов в треугольнике ABCABCABC:
ABsin⁡∠BCA=2R⇒12sin⁡α=16⇒sin⁡α=1216=34.\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R \quad \Rightarrow \quad \frac{12}{\sin \alpha} = 16 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}.sin∠BCAAB​=2R⇒sinα12​=16⇒sinα=1612​=43​.

Найдём cos⁡2α\cos 2\alphacos2α:
cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2⋅(34)2=1−2⋅916=1−1816=−216=−18.\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{9}{16} = 1 - \frac{18}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}.cos2α=1−2sin2α=1−2⋅(43​)2=1−2⋅169​=1−1618​=−162​=−81​.

В трапеции ABCDABCDABCD опустим высоты BKBKBK и CHCHCH к прямой, содержащей основание ADADAD. Так как трапеция равнобедренная, прямоугольные треугольники ABKABKABK и DCHDCHDCH равны по гипотенузе и катету (BK=CHBK = CHBK=CH), следовательно, AK=DHAK = DHAK=DH.
Изображение 2

Заметим, что ∠BAD=2α\angle BAD = 2\alpha∠BAD=2α.

Следовательно,
∠CDH=180∘−∠BAD=180∘−2α.\angle CDH = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^\circ - 2\alpha.∠CDH=180∘−∠BAD=180∘−2α.
Тогда:
cos⁡∠CDH=cos⁡(180∘−2α)=−cos⁡2α=−(−18)=18.\cos \angle CDH = \cos(180^\circ - 2\alpha) = -\cos 2\alpha = -\left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8}.cos∠CDH=cos(180∘−2α)=−cos2α=−(−81​)=81​.

Из прямоугольного треугольника CDHCDHCDH получаем:
DH=CD⋅cos⁡∠CDH=12⋅18=128=32.DH = CD \cdot \cos \angle CDH = 12 \cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.DH=CD⋅cos∠CDH=12⋅81​=812​=23​.

Четырёхугольник KBCHKBCHKBCH — прямоугольник, поэтому KH=BC=12KH = BC = 12KH=BC=12. Тогда:
AD=KH−AK−DH=BC−2DH=12−2⋅32=12−3=9.AD = KH - AK - DH = BC - 2DH = 12 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 12 - 3 = 9.AD=KH−AK−DH=BC−2DH=12−2⋅23​=12−3=9.
Ответ: 999.