Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

Четырёхугольник

ABCD

вписан в окружность радиуса

R = 8

. Известно, что

AB = BC = CD = 12

.

a) Докажите, что прямые

BC

AD

параллельны.

б) Найдите

AD

Решение

$Изображение 1$

а) Проведём диагональ

AC

. Поскольку хорды

AB

BC

равны, то стягиваемые ими дуги

{AB}

{BC}

равны. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги:

\angle BCA = \angle CAD.

Углы

BCA

CAD

являются накрест лежащими при прямых

BC

AD

и секущей

AC

. Их равенство означает, что

BC \parallel AD

, что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) следует, что

ABCD

— равнобедренная трапеция (так как

BC \parallel AD

BC \neq AD

) с основаниями

BC

AD

. Рассмотрим треугольник

ABC

. Он равнобедренный, так как

AB = BC

. Обозначим

\angle BAC = \angle BCA = \alpha

.

Применим теорему синусов в треугольнике

ABC

\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R \quad \Rightarrow \quad \frac{12}{\sin \alpha} = 16 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}.

Найдём

\cos 2\alpha

\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{9}{16} = 1 - \frac{18}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}.

В трапеции

ABCD

опустим высоты

BK

CH

к прямой, содержащей основание

AD

. Так как трапеция равнобедренная, прямоугольные треугольники

ABK

DCH

равны по гипотенузе и катету (

BK = CH

), следовательно,

AK = DH

$Изображение 2$

Заметим, что

\angle BAD = 2\alpha

.

Следовательно,

\angle CDH = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^\circ - 2\alpha.

Тогда:

\cos \angle CDH = \cos(180^\circ - 2\alpha) = -\cos 2\alpha = -\left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8}.

Из прямоугольного треугольника

CDH

получаем:

DH = CD \cdot \cos \angle CDH = 12 \cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.

Четырёхугольник

KBCH

— прямоугольник, поэтому

KH = BC = 12

. Тогда:

AD = KH - AK - DH = BC - 2DH = 12 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 12 - 3 = 9.

Ответ:

9

Похожие задачи