а) Решите уравнение 2 sin x · cos² x + √(3)… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

2 \sin x \cdot \cos^2 x + \sqrt{3} = \sqrt{3} \sin^2 x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]

Решение

а) Преобразуем уравнение:

2 \sin x \cdot \cos^2 x + \sqrt{3} - \sqrt{3} \sin^2 x = 0;

2 \sin x \cdot \cos^2 x + \sqrt{3} (1 - \sin^2 x) = 0.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

2\sin x \cdot \cos^2 x + \sqrt{3} \cos^2 x = 0.

Вынесем общий множитель

\cos^2 x

\cos^2 x (2 \sin x + \sqrt{3}) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \cos^2 x = 0,\\ 2 \sin x + \sqrt{3} = 0. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\\[2.5mm] x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\\[2.5mm] x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{7\pi}{2}; 5\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$