Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.
Идея. Каждая биссектриса вместе с параллельными сторонами параллелограмма даёт равнобедренный треугольник.
1) Так как CD∥AB, то ∠DNA=∠NAB. Но AN — биссектриса ∠DAB, поэтому ∠DAN=∠NAB. Значит, ∠DAN=∠DNA, и DN=AD.
2) Так как CN∥AB, то ∠BNC=∠ABN. Но BN — биссектриса ∠ABC, поэтому ∠ABN=∠NBC. Значит, △BCN равнобедренный: CN=BC.
3) В параллелограмме AD=BC. Следовательно, DN=CN, то есть N — середина CD.
