а) Решите уравнение (1−tg2x)5sinx=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π;−23π].
Решение
а)
Решим уравнение
(1−tg2x)5sinx=0.
Заметим, что тангенс определён при cosx=0. Так как перед нами произведение двух выражений, получаем совокупность:
{1−tg2x=0,5sinx⩾0.{5sinx=0,cosx=0. Из второй системы получаем
sinx=0⇔x=πk,k∈Z, причём при этих значениях cosx=±1=0, значит, они подходят.
Из первой системы:
1−tg2x=0⇔tg2x=1⇔tgx=±1. Тогда
x=4π+πkилиx=−4π+πk. С учётом условия 5sinx⩾0, то есть sinx⩾0, остаются серии
x=4π+2πkиx=43π+2πk,k∈Z. Значит, все корни уравнения:
x=πk,x=4π+2πk,x=43π+2πk,k∈Z.
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−3π;−23π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
