Окружности — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

В треугольнике

ABC

точки

M

N

лежат на сторонах

A B

B C

соответственно так, что

A M: M B=C N: N B=2: 3

. Окружность, вписанная в треугольник

ABC

, касается отрезка

MN

в точке

L

.

а) Докажите, что

A B+B C=4 A C

.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

A B C

, если

M L=\frac{9}{5}, L N=3

Решение

а) Из условия следует, что

MB = \frac{3}{2} AM, \quad BN = \frac{3}{2} NC.

Пусть

L

— точка касания вписанной окружности с отрезком

MN

. Также пусть вписанная окружность касается сторон

AB

AC

BC

в точках

P

K

Q

соответственно. Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, то:

PM = ML, \quad QN = NL,\quad PA = AK,\quad QC = CK.

$Изображение 1$

Так как

AM : MB = CN : NB = 2 : 3

, то из обратной обобщённой теоремы Фалеса следует, что прямые

AC

MN

параллельны. Отсюда следует, что треугольники

ABC

MBN

подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен

\dfrac{3}{5}

. Таким образом,

MN = \dfrac{3}{5}AC,\quad MB = \dfrac{3}{5}AB,\quad BN = \dfrac{3}{5}BC.

Получаем:

AB + BC = AP + MP + MB + BN + NQ + QC =

= (AK + KC) + (ML + LN) + (MB + BN) = AC + \dfrac{3}{5}AC + \dfrac{3}{5}(AB + BC);

\dfrac{2}{5}(AB + BC) = \dfrac{8}{5}AC\quad \Rightarrow\quad AB + BC = 4AC.

б) Так как

ML = MP

LN = NQ

, то:

MP = \frac{9}{5}, \quad NQ = 3.

Следовательно,

MN = ML + LN = \dfrac{9}{5} + 3 = \dfrac{9}{5} + \dfrac{15}{5} = \dfrac{24}{5}.

Обозначим

MB = 3x

, тогда

AM = 2x

. Аналогично, пусть

NB = 3y

, тогда

CN = 2y

.

Отрезки касательных, проведённых из вершины

B

, равны:

BP = BQ

. Выразим их через

x

y

BP = BM + MP = 3x + \frac{9}{5}, \quad BQ = BN + NQ = 3y + 3.

Приравнивая

BP = BQ

, получаем:

3x + \frac{9}{5} = 3y + 3 \quad \Rightarrow \quad 3x - 3y = 3 - \frac{9}{5} = \frac{15}{5} - \frac{9}{5} = \frac{6}{5} \quad \Rightarrow \quad x - y = \frac{2}{5}.

Выразим

AC

через

x

y

AC = \frac{AB + BC}{4} = \frac{5x + 5y}{4} = \frac{5(x + y)}{4}.

Значит,

MN = \frac{3}{5} AC = \dfrac{3(x + y)}{4}.

Приравниваем:

\frac{3(x + y)}{4} = \frac{24}{5} \quad \Rightarrow \quad 3(x + y) = \frac{96}{5} \quad \Rightarrow \quad x + y = \frac{32}{5}.

Получаем систему:

\begin{cases} x - y = \dfrac{2}{5}, \\[3mm] x + y = \dfrac{32}{5}. \end{cases}

$Изображение 2$

Складывая уравнения, получаем

2x = \dfrac{34}{5}\quad \Rightarrow\quad x = \dfrac{17}{5}.

Тогда

y = x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{17}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{5} = 3.

Находим стороны треугольника:

AB = 5x = 5 \cdot \frac{17}{5} = 17;

BC = 5y = 5 \cdot 3 = 15;

AC = \frac{AB + BC}{4} = \frac{17 + 15}{4} = \frac{32}{4} = 8.

Треугольник - прямоугольный, так как

8^2 + 15^2 = 17^2

.

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике равен:

r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3.

Ответ:

3

Окружности — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи