В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L.
а) Докажите, что AB+BC=4AC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML=59,LN=3.
Решение
а) Из условия следует, что
MB=23AM,BN=23NC.
Пусть L — точка касания вписанной окружности с отрезком MN. Также пусть вписанная окружность касается сторон AB,AC и BC в точках P,K и Q соответственно. Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, то:
PM=ML,QN=NL,PA=AK,QC=CK.
Так как AM:MB=CN:NB=2:3, то из обратной обобщённой теоремы Фалеса следует, что прямые AC и MN параллельны. Отсюда следует, что треугольники ABC и MBN подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен 53. Таким образом,
MN=53AC,MB=53AB,BN=53BC. Получаем:
AB+BC=AP+MP+MB+BN+NQ+QC= =(AK+KC)+(ML+LN)+(MB+BN)=AC+53AC+53(AB+BC); 52(AB+BC)=58AC⇒AB+BC=4AC.
б) Так как ML=MP и LN=NQ, то:
MP=59,NQ=3. Следовательно,
MN=ML+LN=59+3=59+515=524.
Обозначим MB=3x, тогда AM=2x. Аналогично, пусть NB=3y, тогда CN=2y.
Отрезки касательных, проведённых из вершины B, равны: BP=BQ. Выразим их через x и y: BP=BM+MP=3x+59,BQ=BN+NQ=3y+3. Приравнивая BP=BQ, получаем:
3x+59=3y+3⇒3x−3y=3−59=515−59=56⇒x−y=52.
Выразим AC через x и y: AC=4AB+BC=45x+5y=45(x+y). Значит,
MN=53AC=43(x+y).
Приравниваем:
43(x+y)=524⇒3(x+y)=596⇒x+y=532.
Получаем систему:
⎩⎨⎧x−y=52,x+y=532.
Складывая уравнения, получаем
2x=534⇒x=517. Тогда
y=x−52=517−52=515=3.
Находим стороны треугольника:
AB=5x=5⋅517=17; BC=5y=5⋅3=15; AC=4AB+BC=417+15=432=8. Треугольник - прямоугольный, так как 82+152=172.
Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике равен:
r=2AC+BC−AB=28+15−17=26=3. Ответ: 3.
