В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Решение
а) Да, n=7 возможно. Пример:
б) Да, n=4 возможно. Пример:
Среднее арифметическое первого дня: 199/100=1,99<2. Общая сумма: 199+483+484+485=1651, общее количество: 100+99+98+97=394, среднее арифметическое всех чисел: 1651/394>4.
в) Сумма первого дня равна 5. Для максимизации общей суммы нужно, чтобы чисел в первый день было как можно больше, поэтому берём 5 единиц (количество 5).
Рассмотрим возможное количество дней n.
n=5: Тогда в 5-й день будет 1 число. Сумма 4-го дня должна быть меньше суммы 5-го, т.е. сумма 4-го дня ≤4. Продолжая аналогию, получаем, что сумма первого дня должна быть ≤1, что противоречит условию, n=5 не подходит.
n=4: В 4-й день 2 числа, их сумма ≤10. Тогда в 3-й день сумма ≤9, а во второй день сумма ≤8. Итого сумма за все дни ≤5+8+9+10=32.
n=3: В 3-й день 3 числа, их сумма ≤15. тогда во второй день сумма ≤14. Итого сумма за все дни: ≤5+14+15=34
n=2: Во 2-й день 4 числа, сумма ≤20. Берём максимум =20, общая сумма 5+20=25<34.
Таким образом, максимальная сумма достигается при n=3 и равна 34. Пример:
