Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Параметры
ЕГКР 03.12.22
Скопировать ссылку
06883f02
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
a
(
a
−
7
,
5
)
−
2
(
a
−
7
,
5
)
(
2
x
+
2
)
⩽
(
2
x
2
−
3
x
)
(
2
x
+
2
)
−
a
x
2
+
1
,
5
a
x
a(a-7,5)-2(a-7,5)\left(2^x+2\right) \leqslant\left(2 x^2-3 x\right)\left(2^x+2\right)-a x^2+1,5 ax
a
(
a
−
7
,
5
)
−
2
(
a
−
7
,
5
)
(
2
x
+
2
)
⩽
(
2
x
2
−
3
x
)
(
2
x
+
2
)
−
a
x
2
+
1
,
5
a
x
имеет хотя бы 1 решение на промежутке
[
−
1
;
0
)
[-1 ; 0)
[
−
1
;
0
)
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Сгруппируем слагаемые:
(
2
a
−
15
)
(
a
2
−
2
x
−
2
)
+
(
2
x
2
−
3
x
)
(
a
2
−
2
x
−
2
)
⩽
0
;
(2a - 15)\left(\dfrac{a}{2} - 2^x - 2\right) + (2x^2 - 3x)\left(\dfrac{a}{2} - 2^x - 2\right) \leqslant 0;
(
2
a
−
15
)
(
2
a
−
2
x
−
2
)
+
(
2
x
2
−
3
x
)
(
2
a
−
2
x
−
2
)
⩽
0
;
(
a
2
−
2
x
−
2
)
⋅
(
2
a
−
15
+
2
x
2
−
3
x
)
⩽
0.
\left(\dfrac{a}{2} - 2^x - 2\right)\cdot (2a - 15 + 2x^2 - 3x) \leqslant 0.
(
2
a
−
2
x
−
2
)
⋅
(
2
a
−
15
+
2
x
2
−
3
x
)
⩽
0.
Уравнение
a
2
−
2
x
−
2
\dfrac{a}{2} - 2^x - 2
2
a
−
2
x
−
2
в осях
O
x
a
Oxa
O
x
a
задаёт показательную функцию
a
=
f
(
x
)
=
2
x
+
1
+
4
a = f(x) = 2^{x + 1} + 4
a
=
f
(
x
)
=
2
x
+
1
+
4
.
Заметим, что
f
(
−
1
)
=
5
f(-1) = 5
f
(
−
1
)
=
5
и
f
(
0
)
=
6
f(0) = 6
f
(
0
)
=
6
.
Уравнение
2
a
−
15
+
2
x
2
−
3
x
=
0
2a - 15 + 2x^2 - 3x = 0
2
a
−
15
+
2
x
2
−
3
x
=
0
задаёт параболу
a
=
g
(
x
)
=
−
x
2
+
3
2
x
+
15
2
a = g(x) = -x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{15}{2}
a
=
g
(
x
)
=
−
x
2
+
2
3
x
+
2
15
с вершиной
(
3
4
;
129
16
)
\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{129}{16}\right)
(
4
3
;
16
129
)
.
Заметим, что
g
(
−
1
)
=
1
−
3
2
+
15
2
=
5
,
g
(
0
)
=
7
,
5.
g(-1) = 1 - \dfrac{3}{2} + \dfrac{15}{2} = 5,\quad g(0) = 7,5.
g
(
−
1
)
=
1
−
2
3
+
2
15
=
5
,
g
(
0
)
=
7
,
5.
Подставим пробную точку
(
−
1
2
;
6
)
\left(-\dfrac{1}{2}; 6\right)
(
−
2
1
;
6
)
:
(
3
−
1
2
−
2
)
⏟
>
0
⋅
(
12
−
15
+
1
4
+
3
4
)
⏟
<
0
⩽
0
,
\underset{> 0}{\underbrace{\left(3 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 2\right)}}\cdot \underset{< 0}{\underbrace{\left(12 - 15 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)}} \leqslant 0,
>
0
(
3
−
2
1
−
2
)
⋅
<
0
(
12
−
15
+
4
1
+
4
3
)
⩽
0
,
значит, область с этой точкой подходит.
Подставим пробную точку
(
−
1
2
;
8
)
\left(-\dfrac{1}{2}; 8\right)
(
−
2
1
;
8
)
:
(
4
−
1
2
−
2
)
⏟
>
0
⋅
(
16
−
15
+
1
4
+
3
4
)
⏟
>
0
>
0
,
\underset{> 0}{\underbrace{\left(4 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 2\right)}}\cdot \underset{> 0}{\underbrace{\left(16 - 15 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)}} > 0,
>
0
(
4
−
2
1
−
2
)
⋅
>
0
(
16
−
15
+
4
1
+
4
3
)
>
0
,
значит, область с этой точкой не подходит.
Подставим пробную точку
(
−
1
2
;
0
)
\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)
(
−
2
1
;
0
)
:
(
−
1
2
−
2
)
⏟
<
0
⋅
(
−
15
+
1
4
+
3
4
)
⏟
<
0
>
0
,
\underset{< 0}{\underbrace{\left(- \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 2\right)}}\cdot \underset{< 0}{\underbrace{\left(-15 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)}} > 0,
<
0
(
−
2
1
−
2
)
⋅
<
0
(
−
15
+
4
1
+
4
3
)
>
0
,
значит, область с этой точкой не подходит.
Изобразим в осях
O
x
a
Oxa
O
x
a
полученные кривые и основные положения горизонтальной прямой.
(1) Горизонтальная прямая проходит через точку
(
−
1
;
5
)
(-1;5)
(
−
1
;
5
)
,
то есть
a
=
5
a = 5
a
=
5
.
(2) Горизонтальная прямая проходит через точку
(
0
;
7
,
5
)
(0;7,5)
(
0
;
7
,
5
)
,
то есть
a
=
7
,
5
a = 7,5
a
=
7
,
5
.
Нам подходят все положения между (1) (включая этот случай) и (2) (не включая этот случай). Значит,
a
∈
[
5
;
7
,
5
)
a \in [5;7,5)
a
∈
[
5
;
7
,
5
)
.
Ответ:
[
5
;
7
,
5
)
[5;7,5)
[
5
;
7
,
5
)
.
