Показательное неравенство с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГКР 03.12.22

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

a(a-7,5)-2(a-7,5)\left(2^x+2\right) \leqslant\left(2 x^2-3 x\right)\left(2^x+2\right)-a x^2+1,5 ax

имеет хотя бы 1 решение на промежутке

[-1 ; 0)

Решение

Сгруппируем слагаемые:

(2a - 15)\left(\dfrac{a}{2} - 2^x - 2\right) + (2x^2 - 3x)\left(\dfrac{a}{2} - 2^x - 2\right) \leqslant 0;

\left(\dfrac{a}{2} - 2^x - 2\right)\cdot (2a - 15 + 2x^2 - 3x) \leqslant 0.

Уравнение

\dfrac{a}{2} - 2^x - 2

в осях

Oxa

задаёт показательную функцию

a = f(x) = 2^{x + 1} + 4

. Заметим, что

f(-1) = 5

f(0) = 6

.

Уравнение

2a - 15 + 2x^2 - 3x = 0

задаёт параболу

a = g(x) = -x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{15}{2}

с вершиной

\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{129}{16}\right)

. Заметим, что

g(-1) = 1 - \dfrac{3}{2} + \dfrac{15}{2} = 5,\quad g(0) = 7,5.

Подставим пробную точку

\left(-\dfrac{1}{2}; 6\right)

\underset{> 0}{\underbrace{\left(3 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 2\right)}}\cdot \underset{< 0}{\underbrace{\left(12 - 15 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)}} \leqslant 0,

значит, область с этой точкой подходит.

Подставим пробную точку

\left(-\dfrac{1}{2}; 8\right)

\underset{> 0}{\underbrace{\left(4 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 2\right)}}\cdot \underset{> 0}{\underbrace{\left(16 - 15 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)}} > 0,

значит, область с этой точкой не подходит.

Подставим пробную точку

\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)

\underset{< 0}{\underbrace{\left(- \dfrac{1}{\sqrt{2}} - 2\right)}}\cdot \underset{< 0}{\underbrace{\left(-15 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right)}} > 0,

значит, область с этой точкой не подходит.

Изобразим в осях

Oxa

полученные кривые и основные положения горизонтальной прямой.

(1) Горизонтальная прямая проходит через точку

(-1;5)

, то есть

a = 5

.

(2) Горизонтальная прямая проходит через точку

(0;7,5)

, то есть

a = 7,5

.

Нам подходят все положения между (1) (включая этот случай) и (2) (не включая этот случай). Значит,

a \in [5;7,5)

.

Ответ:

[5;7,5)

Похожие задачи