Найдите все значения а, при каждом из которых неравенствоa(a−7,5)−2(a−7,5)(2x+2)⩽(2x2−3x)(2x+2)−ax2+1,5axимеет хотя бы 1 решение на промежутке [−1;0).
Решение
Сгруппируем слагаемые:(2a−15)(2a−2x−2)+(2x2−3x)(2a−2x−2)⩽0;(2a−2x−2)⋅(2a−15+2x2−3x)⩽0.Уравнение 2a−2x−2 в осях Oxa задаёт показательную функцию a=f(x)=2x+1+4. Заметим, что f(−1)=5 и f(0)=6.
Уравнение 2a−15+2x2−3x=0 задаёт параболу a=g(x)=−x2+23x+215 с вершиной (43;16129). Заметим, чтоg(−1)=1−23+215=5,g(0)=7,5.Подставим пробную точку (−21;6):>0(3−21−2)⋅<0(12−15+41+43)⩽0,значит, область с этой точкой подходит.
Подставим пробную точку (−21;8):>0(4−21−2)⋅>0(16−15+41+43)>0,значит, область с этой точкой не подходит.
Подставим пробную точку (−21;0):<0(−21−2)⋅<0(−15+41+43)>0,значит, область с этой точкой не подходит.
Изобразим в осях Oxa полученные кривые и основные положения горизонтальной прямой.
(1) Горизонтальная прямая проходит через точку (−1;5), то есть a=5.
(2) Горизонтальная прямая проходит через точку (0;7,5), то есть a=7,5.
Нам подходят все положения между (1) (включая этот случай) и (2) (не включая этот случай). Значит, a∈[5;7,5).
