Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.
Ответ:
Решение
Идея. Точка пересечения диагоналей параллелограмма — центр симметрии; то же самое можно записать как равенство двух треугольников около точки O.
1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO=CO.
2) Углы при точке O в треугольниках △AOE и △COF вертикальные, значит равны.
3) Так как AB∥CD, ещё одна пара углов равна как накрест лежащие при секущей AC.
4) Следовательно, △AOE и △COF равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда AE=CF.
