Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{4 x-1} \cdot \ln{(x^{2}-2 x+2 -a^{2})}=0

имеет ровно один корень на отрезке

[0 ; 1]

Решение

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

\left[\begin{aligned}&\begin{cases}\sqrt{4x - 1} = 0, \\[1mm]x^2 - 2x + 2 - a^2 > 0;\end{cases}\quad\quad\quad (1)\\ &\begin{cases}\ln \left( x^2 - 2x + 2 - a^2 \right) = 0, \\[1mm]4x - 1 \geqslant 0.\end{cases}\quad (2)\end{aligned}\right.

(1) Из уравнения

\sqrt{4x - 1} = 0

получаем

x = \dfrac{1}{4}

.
Подставляем в неравенство:

\left( \frac{1}{4} \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 - a^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 2 - a^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{25}{16} - a^2 > 0 \quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad a^2 < \frac{25}{16} \quad\Rightarrow\quad a \in \left( -\frac{5}{4},\; \frac{5}{4} \right).

Таким образом, первая система даёт корень

x = \dfrac{1}{4}

при

a \in \left( -\dfrac{5}{4}; \dfrac{5}{4} \right)

. Этот корень всегда лежит на отрезке

[0;1]

.

(2) Решим уравнение:

\ln \left( x^2 - 2x + 2 - a^2 \right) = 0;\\ x^2 - 2x + 2 - a^2 = 1;\\ x^2 - 2x + 1 - a^2 = 0;\\ (x-1)^2 - a^2 = 0;\\ (x-1-a)(x-1+a) = 0.

Получаем два корня:

x = 1 + a \quad \text{или} \quad x = 1 - a.

Проанализируем полученные корни:
1) Корень

x = 1 + a

:

Выясним, при каких

a

данный корень удовлетворяет условию

4x - 1 \geqslant 0

4(1 + a) - 1 \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a\geqslant -\dfrac{3}{4}.

Выясним, при каких

a

данный корень принадлежит отрезку

[0;1]

0 \leqslant 1 + a \leqslant 1\quad\Rightarrow\quad -1 \leqslant a \leqslant 0.

Одновременно оба условия выполняются при

a \in \left[ -\dfrac{3}{4}; 0 \right]

.
2) Корень

x = 1 - a

:

Выясним, при каких

a

данный корень удовлетворяет условию

4x - 1 \geqslant 0

4(1 - a) - 1 \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a\leqslant -\dfrac{3}{4}.

Выясним, при каких

a

данный корень принадлежит отрезку

[0;1]

0 \leqslant 1 - a \leqslant 1\quad\Rightarrow\quad 0 \leqslant a \leqslant 1.

Одновременно оба условия выполняются при

a \in \left[0; \dfrac{3}{4}\right]

.

Выясним, когда полученные корни совпадают:

1) Корень

x = 1 + a

совпадает с

x = \dfrac{1}{4}

при

a = -\dfrac{3}{4}

. При таком

a

значение

x = 1 - a

не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке

[0; 1]

.
2) Корень

x = 1-a

совпадает с

x = \dfrac{1}{4}

при

a = \dfrac{3}{4}

. При таком

a

значение

x = 1 + a

не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке

[0; 1]

.
3) Корни

x = 1+a

x = 1-a

совпадают при

a = 0

, значит, они равны

x = 0

. При таком

a

значение

x = \dfrac{1}{4}

также является корнем, значит,

a = 0

нам не подходит.

Рассмотрим ситуацию, когда корни не совпадают. Один корень на отрезке

[0; 1]

мы имеем, когда один из корней существует и лежит на отрезке

[0; 1]

, а каждый из двух других корней либо не существует, либо не принадлежит отрезку

[0; 1]

. Получаем:

a \in \left( -\frac{5}{4}; -\frac{3}{4} \right] \cup \left[ \frac{3}{4}; \frac{5}{4} \right).

Ответ:

\left( -\dfrac{5}{4}; -\dfrac{3}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3}{4}; \dfrac{5}{4} \right)

Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи