Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x−1⋅ln(x2−2x+2−a2)=0 имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Решение
Уравнение равносильно совокупности двух систем:
{4x−1=0,x2−2x+2−a2>0;(1){ln(x2−2x+2−a2)=0,4x−1⩾0.(2) (1) Из уравнения 4x−1=0 получаем x=41. Подставляем в неравенство:
(41)2−2⋅41+2−a2>0⇒161−21+2−a2>0⇒1625−a2>0⇒⇒a2<1625⇒a∈(−45,45). Таким образом, первая система даёт корень x=41 при a∈(−45;45). Этот корень всегда лежит на отрезке [0;1].
Выясним, при каких a данный корень удовлетворяет условию 4x−1⩾0: 4(1+a)−1⩾0⇒a⩾−43. Выясним, при каких a данный корень принадлежит отрезку [0;1]: 0⩽1+a⩽1⇒−1⩽a⩽0. Одновременно оба условия выполняются при a∈[−43;0]. 2) Корень x=1−a:
Выясним, при каких a данный корень удовлетворяет условию 4x−1⩾0: 4(1−a)−1⩾0⇒a⩽−43. Выясним, при каких a данный корень принадлежит отрезку [0;1]: 0⩽1−a⩽1⇒0⩽a⩽1. Одновременно оба условия выполняются при a∈[0;43].
Выясним, когда полученные корни совпадают:
1) Корень x=1+a совпадает с x=41 при a=−43. При таком a значение x=1−a не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке [0;1]. 2) Корень x=1−a совпадает с x=41 при a=43. При таком a значение x=1+a не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке [0;1]. 3) Корни x=1+a и x=1−a совпадают при a=0, значит, они равны x=0. При таком a значение x=41 также является корнем, значит, a=0 нам не подходит.
Рассмотрим ситуацию, когда корни не совпадают. Один корень на отрезке [0;1] мы имеем, когда один из корней существует и лежит на отрезке [0;1], а каждый из двух других корней либо не существует, либо не принадлежит отрезку [0;1]. Получаем:
