Углы при одном из оснований трапеции равны 77∘ и 13∘, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть BC=a,AD=b, где b>a. Точки K,L — середины боковых сторон, а M,N — середины оснований.
Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P. Так как сумма данных углов равна 90∘, треугольник APD прямоугольный при P. Треугольник BPC также прямоугольный, поскольку BC∥AD.
В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, поэтому PM=2a,PN=2b. Следовательно, MN=PN−PM=2b−a. А KL — средняя линия трапеции, значит KL=2a+b. По чертежу KL=11,MN=10. Получаем a+b=22,b−a=20. Отсюда b=21,a=1. Основания равны 1 и 21.
