Замечательные пределы. Эквивалентные замены

Содержание

Непрерывность функции
Непрерывность по Коши и по Гейне
Предел сложной функции
Эквивалентные функции и бесконечно малые
Когда эквивалентная замена законна
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Главное условие: аргумент стремится к нулю
Практика: неопределённость $\left[\dfrac00\right]$
Практика: неопределённость $[1^\infty]$
Как выбрать метод
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Что даст эта статья.

Мы свяжем три идеи, которые сначала кажутся разными: непрерывность, замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые. После статьи вы сможете проверять непрерывность в точке, читать определения Коши и Гейне, безопасно переносить предел через непрерывную внешнюю функцию, выбирать эквивалентную замену с правильным аргументом и раскрывать типичные неопределённости

\left[\frac00\right] \qquad\text{и}\qquad [1^\infty]

Главная цель — не выучить таблицу замен механически, а понимать, почему замена сохраняет предел и в какой части выражения её вообще разрешено делать.

Если пределы пока выглядят непривычно, это нормально: нужные идеи будем проговаривать по ходу статьи. Запись

\lim_{x\to a}f(x)=L

читается так: когда аргумент $x$ приближается к числу $a$ , значения функции $f(x)$ приближаются к числу $L$ . Само значение функции в точке $a$ при этом может быть устроено отдельно.

Записи вроде

\left[\frac00\right] \qquad\text{или}\qquad [1^\infty]

не являются результатами вычисления. Это условные названия неопределённостей: они предупреждают, что простая подстановка ещё не даёт ответ и выражение нужно исследовать.

Первые разделы о непрерывности — не отдельное отступление. Они дают инструмент, который дальше позволит объяснить, когда предел можно переносить через внешнюю функцию и почему многие привычные подстановки в пределах вообще законны.

В тригонометрических пределах углы измеряются в радианах. Радианная мера — это другой способ измерять углы: например,

180^\circ=\pi\ \text{радиан}, \qquad 90^\circ=\frac{\pi}{2}\ \text{радиан}.

Это существенное условие: именно в радианной мере верна формула

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

В блоках «Пример» метод разобран полностью. «Задачи» предназначены для самостоятельной работы; ответы к ним собраны в конце.

Непрерывность функции

Интуитивно непрерывный график часто описывают словами «его можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». Такая картинка полезна для первого знакомства, но математическим определением не является. Например, она ничего не говорит о точных условиях в одной выбранной точке.

Пусть функция $f$ задана на области определения $D_f$ . Область определения — это все значения $x$ , которые разрешено подставлять в функцию.

Сначала будем рассматривать точки $x_0\in D_f$ , к которым можно приближаться другими допустимыми точками области определения. Такие точки нужны, чтобы обычный предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ описывал поведение функции рядом с $x_0$ . Запись $x\to x_0$ понимается только по допустимым значениям $x\in D_f$ . Поэтому можно исследовать и граничные точки. Например, для $\sqrt{x}$ к нулю разрешено подходить только справа, потому что при вещественных $x$ подкоренное выражение требует $x\ge0$ .

Есть и особый случай — изолированная точка: рядом с $x_0$ других допустимых точек области определения вообще нет. Формулу через обычный предел мы для неё здесь не используем. По общему $\varepsilon$ - $\delta$ определению непрерывности, которое появится ниже, функция в своей изолированной точке непрерывна автоматически.

В этой короткой формуле спрятаны сразу три требования:

значение $f(x_0)$ должно существовать;
предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ по допустимым значениям аргумента должен существовать;
предел должен совпадать со значением функции.

Если хотя бы одно из трёх условий нарушено, функция в точке не является непрерывной.

LaTeX — Одна конкретная иллюстрация непрерывности $f(x)=x^2$ в точке $x_0=1$: при $\varepsilon=\dfrac12$ достаточно, например, взять $\delta=\dfrac15$. Вся часть графика над интервалом $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ попадает в горизонтальную $\varepsilon$-полосу

Рисунок показывает важную идею: когда $x$ достаточно близок к $x_0$ , значение $f(x)$ оказывается близко к $f(x_0)$ . Но один рисунок не заменяет определения: непрерывность должна работать для любой требуемой точности.

Пример

Рассмотрим функцию

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq1\\[4pt] 2, & x=1 \end{cases}

При $x\neq1$

\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1

Поэтому

\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2

Значение $f(1)$ тоже равно $2$ , значит,

\lim_{x\to1}f(x)=f(1)

и функция непрерывна в точке $1$ .

Если оставить ту же формулу при $x\neq1$ , но назначить $f(1)=0$ , предел останется равным $2$ , а непрерывность исчезнет. Предел описывает поведение рядом с точкой, а непрерывность дополнительно требует правильного значения в самой точке.

Непрерывность по Коши и по Гейне

Равенство

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

можно раскрыть двумя стандартными способами. Они описывают одну и ту же непрерывность, но смотрят на неё с разных сторон.

Чтобы не читать эту запись как набор незнакомых значков, разберём её по смысловым фрагментам.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$\forall\varepsilon>0$	Какую бы положительную точность $\varepsilon$ нам ни задали.
$\exists\delta>0$	Для заданной точности можно подобрать подходящее положительное $\delta$ .
$\forall x\in D_f$	Выбранное $\delta$ должно работать для всех допустимых $x$ , а не для одной удобной точки.
$\lvert x-x_0\rvert<\delta$	Аргумент $x$ находится достаточно близко к точке $x_0$ .
$\Longrightarrow$	Близость $x$ к $x_0$ должна гарантировать требуемую близость значений функции.
$\lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$	Значение функции попадает в заданную $\varepsilon$ -полосу вокруг $f(x_0)$ .

Теперь всю формулу можно прочитать одним предложением: для любой требуемой точности $\varepsilon>0$ можно подобрать такое $\delta>0$ , что для каждого допустимого $x$ , находящегося от $x_0$ ближе чем на $\delta$ , значение $f(x)$ будет отличаться от $f(x_0)$ меньше чем на $\varepsilon$ .

Геометрически $\varepsilon$ задаёт желаемую точность по вертикали, а $\delta$ сообщает, насколько близко по горизонтали нужно подойти к $x_0$ , чтобы этой точности гарантированно добиться. Представьте горизонтальную полосу вокруг уровня $f(x_0)$ : мы хотим подобрать такой коридор по $x$ , чтобы все допустимые точки из этого коридора попадали своими значениями функции внутрь полосы. Важен порядок действий: сначала нам задают произвольное $\varepsilon$ , и только потом мы подбираем $\delta$ . Одно выбранное $\delta$ должно работать сразу для всех подходящих $x$ , а не подбираться заново для каждой точки.

В определении обычного предела пишут $0<\lvert x-x_0\rvert<\delta$ , потому что сама точка $x_0$ не участвует в исследовании предела. Для непрерывности дополнительное условие $0<\lvert x-x_0\rvert$ можно убрать: при $x=x_0$

\lvert f(x_0)-f(x_0)\rvert=0<\varepsilon

выполняется автоматически.

Перед формальной записью представьте, что к точке $x_0$ можно приближаться разными «маршрутами». Последовательность $x_1,x_2,x_3,\ldots$ — это просто список допустимых точек. Если этот список всё ближе подходит к $x_0$ , то для непрерывной функции соответствующий список значений $f(x_1),f(x_2),f(x_3),\ldots$ должен всё ближе подходить к $f(x_0)$ .

Здесь тоже полезно сначала научиться читать полную запись, а уже потом использовать её как короткую формулу.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$\forall (x_n)\subset D_f$	Нельзя выбрать только один удобный способ приближения к $x_0$ : условие должно работать для любого допустимого списка точек.
$x_n\to x_0$	Точки последовательности становятся всё ближе к $x_0$ .
$\Longrightarrow$	Из приближения аргументов должно следовать соответствующее приближение значений функции.
$f(x_n)\to f(x_0)$	Значения функции вдоль выбранной последовательности приближаются к значению функции в самой точке.

Условие $x_n\neq x_0$ , которое используется в критерии Гейне для обычного предела, здесь не обязательно: если некоторый член последовательности равен $x_0$ , его образ просто равен $f(x_0)$ .

Ключевое слово в формулировке Гейне — «любая». Проверка одной удобной последовательности не доказывает непрерывность. Зато для опровержения достаточно найти хотя бы одну последовательность $x_n\to x_0$ , для которой $f(x_n)$ не стремится к $f(x_0)$ .

Пример

Покажем по Гейне, что функция

f(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\[3pt] 1, & x\ge0 \end{cases}

непрерывной в точке $x_0=0$ не является. В самой точке $f(0)=1$ . Возьмём последовательность

x_n=-\frac1n

Тогда $x_n\to0$ , но все её члены отрицательны, поэтому

f(x_n)=0

и, следовательно,

f(x_n)\to0\neq1=f(0)

Мы нашли одну последовательность, нарушающую условие Гейне, поэтому непрерывности в нуле нет. Для сравнения, если взять $t_n=\dfrac1n$ , то $f(t_n)=1\to1$ . Именно поэтому проверка только одной «удачной» последовательности никогда не доказывает непрерывность.

Смысл этих формулировок полезно уметь видеть сразу в трёх языках: предел, контроль расстояний $\varepsilon$ - $\delta$ и поведение всех последовательностей.

Предел сложной функции

Непрерывность особенно полезна потому, что позволяет законно «пропускать предел через» непрерывную внешнюю функцию. Но у этого правила есть точные условия, и перед применением их нужно проверить.

Сначала разберём саму запись $g(f(x))$ . Это работа в два шага: сначала число $x$ попадает во внутреннюю функцию $f$ , получается значение $f(x)$ , а затем уже это значение подставляется во внешнюю функцию $g$ . Например, в $\sqrt{x^2+8}$ внутренней функцией можно считать $f(x)=x^2+8$ , а внешней — $g(t)=\sqrt t$ .

Внутренняя функция $f(x)$ сначала ведёт нас к числу $b$ . Если внешняя функция $g$ непрерывна в $b$ , то рядом с $b$ у неё нет внезапного скачка: аргументы, близкие к $b$ , дают значения, близкие к $g(b)$ . Поэтому вся композиция $g(f(x))$ идёт к $g(b)$ . Это и есть смысл фразы «перенести предел через непрерывную функцию».

Эквивалентные функции и бесконечно малые

При вычислении пределов нас часто интересует не точное значение функции в каждой точке, а её главное поведение рядом с предельной точкой. Под главным поведением здесь будем понимать ту часть выражения, которая сильнее всего влияет на результат при приближении к точке. Две разные функции могут отличаться, но иметь почти одинаковый относительный масштаб.

Здесь речь идёт о поведении рядом с $x_0$ , а не обязательно в самой точке. Иногда используют выражение «проколотая окрестность»: это просто достаточно близкие к $x_0$ точки, но без самой точки $x_0$ . В основных эквивалентностях этой статьи отношение определено на всех достаточно близких ненулевых значениях аргумента, поэтому технических сложностей с областью определения не возникает.

Если дополнительно

f(x)\to0, \qquad g(x)\to0

то говорят об эквивалентных бесконечно малых. Именно такие пары составят основную таблицу замен в этой статье.

Важно не путать эквивалентность с равенством. Запись

\sin x\sim x \qquad (x\to0)

не говорит, что $\sin x=x$ при малых ненулевых $x$ . Она говорит значительно точнее то, что нужно для пределов:

\frac{\sin x}{x}\to1

На масштабе рисунка кривые почти сливаются около нуля. Но математическая причина будущих замен находится не в картинке, а в пределе отношения.

Когда эквивалентная замена законна

Главная практическая ценность эквивалентности состоит в том, что в произведениях и частных сложный множитель можно заменить более простым эквивалентным.

Причина видна непосредственно из определения. Например,

\begin{aligned} \frac{f(x)p(x)}{g(x)q(x)} &= \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{p(x)}{q(x)} \longrightarrow 1\cdot1=1 \end{aligned}

Но у правила есть принципиальная граница: эквивалентные части нельзя бездумно заменять внутри суммы или разности. При вычитании главные части могут сократиться, и тогда результат определяет гораздо меньший остаток.

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел лежит в основе почти всех базовых тригонометрических эквивалентностей.

Сразу получаем

\sin x\sim x \qquad (x\to0)

Причём вместо самого $x$ можно подставить любое выражение $u(x)$ , которое стремится к нулю:

u(x)\to0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin u(x)}{u(x)}\to1

то есть

\sin u(x)\sim u(x)

Идея строгого доказательства — сравнить площади на единичной окружности. Для малых $x>0$ это приводит к неравенству

\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1

Так как $\cos x\to1$ , теорема о зажатой функции даёт нужный предел. Её идея проста: если исследуемая величина всё время находится между двумя выражениями, а оба этих выражения стремятся к одному и тому же числу, то и зажатая между ними величина стремится туда же. Отрицательные $x$ обрабатываются симметрией.

Второй замечательный предел

Первый замечательный предел описывает локальное поведение тригонометрии. Второй появляется, когда основание степени стремится к единице, а показатель по модулю становится сколь угодно большим.

При $t\to0$ основание $1+t\to1$ , а показатель $\dfrac1t$ по модулю становится сколь угодно большим. Справа от нуля $\dfrac1t\to+\infty$ , а слева $\dfrac1t\to-\infty$ . Поэтому привычную запись

[1^\infty]

здесь будем понимать как условное общее название степенной неопределённости: в конкретной задаче показатель может уходить и к $+\infty$ , и к $-\infty$ . Эта запись, как и $\left[\dfrac00\right]$ , не является ответом. Она лишь сообщает, что отдельные пределы основания и показателя ещё не определяют предел всей степени.

Почему здесь появляется число $e$.

Число $e\approx2{,}71828$ — одна из основных математических постоянных. Во втором замечательном пределе основание отличается от единицы совсем немного, но эта маленькая поправка многократно усиливается большим показателем. В результате важен баланс двух процессов: насколько быстро основание приближается к $1$ и насколько быстро растёт по модулю показатель. Именно поэтому дальше ключевой величиной станет произведение $u(x)v(x)$ .

Для реальных степеней в окрестности рассматриваемой точки будем отдельно проверять, что основание положительно. Тогда стандартную форму $1+u(x)$ можно преобразовать так:

(1+u(x))^{v(x)} = \left((1+u(x))^{\frac1{u(x)}}\right)^{u(x)v(x)}

при $u(x)\neq0$ .

В этой схеме сразу несколько новых обозначений, поэтому разберём их как последовательность действий.

Фрагмент записи	Что означает в задаче
$u(x)\to0$	Основание $1+u(x)$ действительно приближается к единице.
$\lvert v(x)\rvert\to\infty$	Показатель становится сколь угодно большим по модулю: положительным или отрицательным.
$u(x)v(x)\to L$	Именно совместная скорость изменения основания и показателя определяет итоговый предел.
$(1+u(x))^{v(x)}\to e^L$	После проверки условий предел произведения $uv$ становится показателем степени у числа $e$ .

Запоминать эту схему удобно так: найдите «довесок» $u$ к единице и умножьте его на показатель. Именно предел произведения $uv$ становится показателем у $e$ .

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Теперь соберём основные замены в одном месте. Удобнее записывать их не только для переменной $x$ , а для произвольного выражения $u$ , удовлетворяющего условию

u\to0

Именно это позволит сразу работать с $\sin(7x)$ , $\ln(1-3x)$ , $e^{x^2}-1$ и другими составными аргументами.

В таблице встречаются несколько обозначений. $\arcsin u$ и $\arctan u$ — обратные тригонометрические функции: они отвечают на вопрос, какой угол имеет данный синус или тангенс. Запись $\log_a$ означает логарифм по основанию $a$ . Если эти функции пока незнакомы, таблицу всё равно можно читать выборочно: для первых задач достаточно строк с $\sin$ , $\tan$ , $\ln$ , $e^u-1$ и $1-\cos u$ .

Во всех формулах ниже предполагается $u\to0$ , а сами выражения рассматриваются там, где они определены. Для тригонометрических функций углы измеряются в радианах. Знак $\sim$ означает, что отношение левой и правой частей стремится к $1$ .

Эквивалентность при $u\to0$	Дополнительные условия
$\sin u\sim u$	—
$\tan u\sim u$	—
$\arcsin u\sim u$	—
$\arctan u\sim u$	—
$1-\cos u\sim\dfrac{u^2}{2}$	—
$\ln(1+u)\sim u$	—
$e^u-1\sim u$	—
$a^u-1\sim u\ln a$	$a>0,\ a\neq1$
$\log_a(1+u)\sim\dfrac{u}{\ln a}$	$a>0,\ a\neq1$
$(1+u)^a-1\sim au$	$a\in\mathbb R$ , $a\neq0$ , $a$ фиксировано

Последняя строка сразу содержит важные частные случаи. Например, при $a=\dfrac12$

\sqrt{1+u}-1 \sim \frac u2

Каждая строка таблицы означает предел отношения, равный единице. Например,

e^u-1\sim u

означает

\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1

Поэтому коэффициенты и внутренние аргументы в формулах нельзя отбрасывать.

На следующем рисунке построены не сами функции $\sin u$ , $\ln(1+u)$ и $e^u-1$ , а три отношения, которые входят в определение эквивалентности:

y=\frac{\sin u}{u}, \qquad y=\frac{\ln(1+u)}{u}, \qquad y=\frac{e^u-1}{u}.

Когда $u$ приближается к нулю, значения всех трёх отношений приближаются к $1$ . Поэтому их графики подходят к горизонтальной линии $y=1$ . В самой точке $u=0$ знаменатель равен нулю, так что эти отношения там не определены; именно поэтому точка $(0,1)$ показана выколотой.

Главное условие: аргумент стремится к нулю

Фраза «эквивалентности работают при $x\to0$ » слишком груба. Правильнее сказать так:

Например, при $x\to5$

\sin(x-5)\sim x-5

потому что $x-5\to0$ . Никакой отдельной замены переменной здесь не требуется.

Если же нужный ноль скрыт, удобно ввести

t=x-a

Тогда при $x\to a$ автоматически $t\to0$ , после чего выражение можно переписать в стандартной форме.

Пример

Вычислим предел из исходной практики:

\lim_{x\to9} \frac{\sqrt x-3}{\ln(10-x)}

Подстановка даёт неопределённость $\left[\dfrac00\right]$ . Введём

t=x-9, \qquad t\to0, \qquad x=9+t

Тогда

\begin{aligned} \frac{\sqrt x-3}{\ln(10-x)} &= \frac{\sqrt{9+t}-3}{\ln(1-t)} \end{aligned}

Числитель приводим к последней строке таблицы:

\begin{aligned} \sqrt{9+t}-3 &= 3\left(\sqrt{1+\frac t9}-1\right) \sim 3\cdot\frac12\cdot\frac t9 = \frac t6 \end{aligned}

В знаменателе

\ln(1-t)\sim-t

Значит,

\begin{aligned} \lim_{x\to9} \frac{\sqrt x-3}{\ln(10-x)} &= \lim_{t\to0} \frac{\sqrt{9+t}-3}{\ln(1-t)}=\\ &= \lim_{t\to0} \frac{\frac t6}{-t} = -\frac16 \end{aligned}

Обе табличные замены применены к выражениям, которые действительно стремятся к нулю.

Практика: неопределённость $\left[\dfrac00\right]$

Теперь применим таблицу к двум характерным пределам из исходной статьи. Перед каждой заменой будем явно видеть, какой аргумент стремится к нулю.

Пример

Найдём

\lim_{x\to0} \frac{\cos(3x)-\cos(5x)}{2x^2}

В числителе стоит разность, поэтому сразу заменять отдельные косинусы нельзя. Сначала используем точную формулу:

\begin{aligned} \cos(3x)-\cos(5x) &= -2 \sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right) \sin\left(\frac{3x-5x}{2}\right)\\ &= -2\sin(4x)\sin(-x) = 2\sin(4x)\sin x \end{aligned}

После точного преобразования применяем первый замечательный предел:

\begin{aligned} \frac{\cos(3x)-\cos(5x)}{2x^2} &= \frac{\sin(4x)\sin x}{x^2} = 4 \frac{\sin(4x)}{4x}\cdot \frac{\sin x}{x} \end{aligned}

Оба отношения стремятся к $1$ , поэтому

\lim_{x\to0} \frac{\cos(3x)-\cos(5x)}{2x^2} = 4

Этот пример показывает правильный порядок: сначала точное преобразование суммы или разности, затем эквивалентные замены в множителях.

Практика: неопределённость $[1^\infty]$

Для степенных выражений каждый раз будем выделять

(1+u(x))^{v(x)}

и считать произведение $u(x)v(x)$ . Это одна схема, которая объединяет все три примера исходной статьи.

Пример

Рассмотрим

\lim_{x\to2} \left(3e^{x-2}-2\right)^{\frac{x}{x-2}}

Введём

t=x-2, \qquad t\to0, \qquad x=t+2

Получаем

\left(3e^t-2\right)^{\frac{t+2}{t}}

Основание представим как

\begin{aligned} 3e^t-2 &= 1+3e^t-3\\ &= 1+3(e^t-1) \end{aligned}

Поэтому

u(t)=3(e^t-1), \qquad v(t)=\frac{t+2}{t}

При $t\to0$

e^t-1\sim t

и потому

\begin{aligned} u(t)v(t) &= 3(e^t-1)\frac{t+2}{t}\\ &\sim 3t\frac{t+2}{t} = 3(t+2) \longrightarrow 6 \end{aligned}

Основание стремится к $1$ и положительно в достаточно малой окрестности нуля. Значит,

\lim_{x\to2} \left(3e^{x-2}-2\right)^{\frac{x}{x-2}} = e^6

Как выбрать метод

В этой теме полезнее запомнить маршрут рассуждения, чем длинный набор разрозненных трюков.

Что вы видите	Что делать
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ и известно $f(x_0)$	Для непрерывности проверить существование предела и равенство $\lim f(x)=f(x_0)$ .
Композиция $g(f(x))$	Найти предел внутренней функции и проверить непрерывность внешней в полученной точке.
$\left[\dfrac00\right]$ с $\sin$ , $\tan$ , $\ln$ , $e^u-1$ и похожими выражениями	Найти внутренние аргументы $u(x)\to0$ , преобразовать суммы и разности, затем применять эквивалентности к множителям.
$x\to a\neq0$	Проверить внутренний аргумент функции. Если он стремится к нулю, нужная эквивалентность может применяться; при необходимости ввести $t=x-a$ .
Сумма или разность почти одинаковых величин	Сначала выполнить точное преобразование. Нельзя механически заменять слагаемые эквивалентными.
$[1^\infty]$	Представить основание как $1+u(x)$ , показатель как $v(x)$ , проверить положительность основания и вычислить предел $u(x)v(x)$ .

Для вычислительных задач удобно держать в голове короткую цепочку:

\begin{gathered} \text{подставить предельное значение} \longrightarrow \text{понять, какая форма получается}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{проверка аргументов и области определения}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{точное преобразование при необходимости}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{эквивалентность или замечательный предел} \longrightarrow \text{ответ} \end{gathered}

Типичные ошибки

Проверьте себя

Сначала решите задания самостоятельно. В вычислительных пунктах полезно рядом с каждой заменой подписывать, какое выражение стремится к нулю и почему выбранное правило применимо.

Какой знак должен стоять в условии Коши для непрерывности между условиями
$\lvert x-x_0\rvert<\delta \qquad\text{и}\qquad \lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$
$\Longrightarrow$ или $\Longleftrightarrow$ ? Объясните смысл выбора.
При $x\neq1$ задано
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$
а $f(1)=0$ . Непрерывна ли функция в точке $1$ ?
Вычислите
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)}{x}$
Вычислите
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{x^2}$
Вычислите
$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)}$
Вычислите
$\lim_{x\to2}\frac{\ln(x-1)}{x-2}$
Вычислите
$\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac1x}$
Известно, что $x+x^2\sim x$ при $x\to0$ . Почему нельзя заменить $x+x^2$ на $x$ в выражении
$\frac{(x+x^2)-x}{x^2}$
Найдите правильный предел.
Пусть $f(x)\to b$ при $x\to x_0$ , но внешняя функция $g$ разрывна в точке $b$ . Можно ли автоматически записать
$\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g(b)$
Объясните ответ и приведите простой пример, показывающий, что условие непрерывности существенно.
При $x\to3$ сравните две возможные записи:
$\sin(x-3)\sim x-3 \qquad\text{и}\qquad \sin x\sim x$
Какая из них применима и почему?
Рассмотрим функцию
$h(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\[3pt] 1, & x\ge0 \end{cases}$
Покажите по Гейне, что она не непрерывна в точке $0$ .

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Ниже приведены не только итоговые ответы, но и ход рассуждения, чтобы можно было проверить, на каком шаге возникла ошибка.

Нужна именно импликация
$\lvert x-x_0\rvert<\delta \Longrightarrow \lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$
Смысл определения таков: если аргумент подошёл к $x_0$ достаточно близко, то значение функции обязано оказаться близко к $f(x_0)$ . Обратное утверждение не требуется. Одно и то же значение функции может встречаться в разных точках, далеко от $x_0$ , поэтому из близости значений функции вообще нельзя автоматически заключать близость аргументов. Значит, знак $\Longleftrightarrow$ был бы слишком сильным условием.
При $x\neq1$ разложим числитель:
$\begin{aligned} f(x) =\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1 \end{aligned}$
Поэтому поведение функции рядом с единицей определяется выражением $x+1$ :
$\lim_{x\to1}f(x)=2$
Но по условию $f(1)=0$ . Для непрерывности необходимо равенство предела и значения функции, а здесь
$2\neq0$
Следовательно, функция в точке $1$ не непрерывна. Это устранимый разрыв: если заменить значение $f(1)$ на $2$ , непрерывность восстановится.
Аргумент синуса $6x\to0$ , поэтому удобно выделить первый замечательный предел:
$\begin{aligned} \frac{\sin(6x)}{x} &=6\frac{\sin(6x)}{6x} \end{aligned}$
При $x\to0$
$\frac{\sin(6x)}{6x}\to1$
Значит,
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)}{x}=6$
Важно не потерять коэффициент $6$ : эквивалентность имеет вид $\sin(6x)\sim6x$ .
Здесь $5x\to0$ . Используем табличную эквивалентность
$1-\cos u\sim\frac{u^2}{2} \qquad (u\to0)$
При $u=5x$ получаем
$1-\cos(5x)\sim\frac{(5x)^2}{2}=\frac{25x^2}{2}$
Поэтому
$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{x^2} &=\lim_{x\to0}\frac{\frac{25x^2}{2}}{x^2} =\frac{25}{2} \end{aligned}$
Замена законна, потому что она применяется к числителю как к отдельному множителю в дроби, а внутренний аргумент $5x$ действительно стремится к нулю.
При $x\to0$ оба внутренних аргумента стремятся к нулю:
$2x\to0 \qquad 3x\to0$
Поэтому
$e^{2x}-1\sim2x \qquad \sin(3x)\sim3x$
В частном эти замены можно выполнить одновременно:
$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)} &=\lim_{x\to0}\frac{2x}{3x} =\frac23 \end{aligned}$
Здесь сама переменная стремится к $2$ , но внутри логарифма скрыта малая величина. Введём
$t=x-2$
Тогда $t\to0$ , а $x-1=1+t$ . Получаем
$\begin{aligned} \frac{\ln(x-1)}{x-2} &=\frac{\ln(1+t)}{t} \end{aligned}$
По эквивалентности $\ln(1+t)\sim t$ при $t\to0$
$\frac{\ln(1+t)}{t}\to1$
Следовательно,
$\lim_{x\to2}\frac{\ln(x-1)}{x-2}=1$
Логарифм определён около $x=2$ , потому что там $x-1>0$ .
Имеем форму $[1^\infty]$ : при $x\to0$
$1+\sin x\to1 \qquad \left|\frac1x\right|\to\infty$
Выделим
$u(x)=\sin x \qquad v(x)=\frac1x$
Основание $1+\sin x$ положительно при всех достаточно малых $|x|$ . Теперь найдём ключевое произведение:
$u(x)v(x)=\frac{\sin x}{x}\to1$
По рабочей схеме второго замечательного предела
$(1+\sin x)^{\frac1x}\to e^1=e$
Значит, искомый предел равен $e$ .
Эквивалентность $x+x^2\sim x$ сообщает, что отношение этих двух величин стремится к $1$ , но не разрешает заменять одно слагаемое другим внутри разности, где основные части могут сократиться. Здесь нужно сначала выполнить точное преобразование:
$\begin{aligned} \frac{(x+x^2)-x}{x^2} &=\frac{x^2}{x^2} =1, \qquad (x\neq0) \end{aligned}$
Поэтому
$\lim_{x\to0}\frac{(x+x^2)-x}{x^2}=1$
Если незаконно заменить $x+x^2$ на $x$ до вычитания, получится ноль и правильный остаток $x^2$ будет потерян.
Автоматически переносить предел через $g$ нельзя: непрерывность $g$ в точке $b$ является существенным условием теоремы о сложной функции. Например, возьмём
$f(x)=x$
и
$g(t)= \begin{cases} 0, & t\neq0\\[3pt] 1, & t=0 \end{cases}$
При $x\to0$ имеем $f(x)\to0$ , но для всех $x\neq0$
$g(f(x))=g(x)=0$
поэтому
$\lim_{x\to0}g(f(x))=0$
Тогда как
$g\left(\lim_{x\to0}f(x)\right)=g(0)=1$
Равенство нарушается именно из-за разрыва внешней функции в нуле.
Первая запись верна:
$\sin(x-3)\sim x-3 \qquad (x\to3)$
потому что внутренний аргумент синуса $x-3\to0$ . Вторая запись
$\sin x\sim x$
при $x\to3$ неприменима: табличная эквивалентность $\sin u\sim u$ требует именно $u\to0$ , а здесь аргумент синуса стремится к $3$ . Следовательно, нужно проверять не имя переменной, а поведение аргумента конкретной функции.
В самой точке $h(0)=1$ . Выберем последовательность допустимых аргументов
$x_n=-\frac1n$
Тогда $x_n\to0$ , но каждый $x_n<0$ , поэтому
$h(x_n)=0$
и
$h(x_n)\to0\neq1=h(0)$
Условие Гейне требует правильного поведения для любой последовательности, стремящейся к нулю. Мы нашли одну последовательность, которая это условие нарушает, значит, $h$ не непрерывна в точке $0$ .

Короткие ответы к задачам по ходу статьи.

Для непрерывности в точке $2$ значение $g(2)=c$ должно совпасть с пределом. При $x\neq2$
$\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$
поэтому предел при $x\to2$ равен $4$ . Следовательно, $c=4$ .
Внутренняя функция $f(x)=x^2+5$ имеет предел $9$ при $x\to2$ . Внешняя функция $g(t)=\sqrt t$ непрерывна при $t=9$ , а аргумент корня положителен около этой точки. Поэтому предел равен $\sqrt9=3$ .
При $x\to0$ имеем $\tan(3x)\sim3x$ и $\sin(5x)\sim5x$ . Поэтому
$\lim_{x\to0}\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)}=\frac35$
Для $(1+4x)^{\frac3x}$ берём $u(x)=4x$ , $v(x)=\dfrac3x$ . Основание положительно около нуля, а
$u(x)v(x)=12$
поэтому предел равен $e^{12}$ .
При $x\to0$
$e^{5x}-1\sim5x \qquad \ln(1-2x)\sim-2x$
Следовательно, предел равен $-\dfrac52$ .
Положим $t=x-4$ . Тогда $t\to0$ ,
$\sqrt{4+t}-2\sim\frac t4 \qquad \ln(1+t)\sim t$
поэтому предел равен $\dfrac14$ .
При $x\to0$
$\tan(7x)\sim7x \qquad e^{2x}-1\sim2x$
поэтому предел равен $\dfrac72$ .
Основание можно записать как
$\frac{2x+1}{2x-3}=1+\frac4{2x-3}$
Здесь $u(x)=\dfrac4{2x-3}\to0$ , а
$x\,u(x)=\frac{4x}{2x-3}\to2$
поэтому предел равен $e^2$ .

Итог

Две замечательные формулы становятся системой вычислительных приёмов только после проверки условий.

Идея	Что нужно помнить
Непрерывность в $x_0$	В предельной точке значение функции совпадает с тем, к чему функция стремится рядом: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ . В изолированной точке непрерывность выполняется автоматически по $\varepsilon$ - $\delta$ определению.
Коши	Для любого $\varepsilon>0$ находится $\delta>0$ , при котором $\lvert x-x_0\rvert<\delta\Longrightarrow\lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$ .
Гейне	Для любой последовательности $x_n\to x_0$ должно выполняться $f(x_n)\to f(x_0)$ .
Сложная функция	Предел можно перенести через внешнюю функцию, если она непрерывна в предельном значении внутренней функции.
Эквивалентность	$f\sim g$ означает $\dfrac fg\to1$ . Это не равенство функций.
Замена в произведениях и частных	Эквивалентности естественно заменяют множители в произведениях и частных; в суммах и разностях сначала требуется точное преобразование.
Первый замечательный предел	$\dfrac{\sin u}{u}\to1$ при $u\to0$ , причём углы измеряются в радианах.
Второй замечательный предел	Для степенной неопределённости $(1+u)^v$ при $u\to0$ и $\lvert v\rvert\to\infty$ ключевой величиной является произведение $uv$ .
Таблица замен	Проверять нужно стремление к нулю внутреннего аргумента, а не обязательно самой переменной $x$ .

Самая полезная привычка в задачах на эквивалентные бесконечно малые — перед каждой заменой задавать два вопроса:

\text{что здесь стремится к нулю?} \qquad \text{заменяю ли я множитель, а не слагаемое?}

А для степени $1^\infty$ добавляется третий:

\text{каков предел произведения «довесок к единице»}\times\text{«показатель»?}

Если эти проверки вошли в привычку, таблица эквивалентностей перестаёт быть набором формул: она становится коротким языком для описания главного поведения функций около точки.

Замечательные пределы. Эквивалентные замены

Содержание

Непрерывность функции
Непрерывность по Коши и по Гейне
Предел сложной функции
Эквивалентные функции и бесконечно малые
Когда эквивалентная замена законна
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Главное условие: аргумент стремится к нулю
Практика: неопределённость $\left[\dfrac00\right]$
Практика: неопределённость $[1^\infty]$
Как выбрать метод
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Что даст эта статья.

\left[\frac00\right] \qquad\text{и}\qquad [1^\infty]

Если пределы пока выглядят непривычно, это нормально: нужные идеи будем проговаривать по ходу статьи. Запись

\lim_{x\to a}f(x)=L

Записи вроде

\left[\frac00\right] \qquad\text{или}\qquad [1^\infty]

180^\circ=\pi\ \text{радиан}, \qquad 90^\circ=\frac{\pi}{2}\ \text{радиан}.

Это существенное условие: именно в радианной мере верна формула

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Непрерывность функции

В этой короткой формуле спрятаны сразу три требования:

значение $f(x_0)$ должно существовать;
предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ по допустимым значениям аргумента должен существовать;
предел должен совпадать со значением функции.

Если хотя бы одно из трёх условий нарушено, функция в точке не является непрерывной.

Пример

Рассмотрим функцию

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq1\\[4pt] 2, & x=1 \end{cases}

При $x\neq1$

\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1

Поэтому

\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2

Значение $f(1)$ тоже равно $2$ , значит,

\lim_{x\to1}f(x)=f(1)

и функция непрерывна в точке $1$ .

Непрерывность по Коши и по Гейне

Равенство

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

Чтобы не читать эту запись как набор незнакомых значков, разберём её по смысловым фрагментам.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$\forall\varepsilon>0$	Какую бы положительную точность $\varepsilon$ нам ни задали.
$\exists\delta>0$	Для заданной точности можно подобрать подходящее положительное $\delta$ .
$\forall x\in D_f$	Выбранное $\delta$ должно работать для всех допустимых $x$ , а не для одной удобной точки.
$\lvert x-x_0\rvert<\delta$	Аргумент $x$ находится достаточно близко к точке $x_0$ .
$\Longrightarrow$	Близость $x$ к $x_0$ должна гарантировать требуемую близость значений функции.
$\lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$	Значение функции попадает в заданную $\varepsilon$ -полосу вокруг $f(x_0)$ .

\lvert f(x_0)-f(x_0)\rvert=0<\varepsilon

выполняется автоматически.

Здесь тоже полезно сначала научиться читать полную запись, а уже потом использовать её как короткую формулу.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$\forall (x_n)\subset D_f$	Нельзя выбрать только один удобный способ приближения к $x_0$ : условие должно работать для любого допустимого списка точек.
$x_n\to x_0$	Точки последовательности становятся всё ближе к $x_0$ .
$\Longrightarrow$	Из приближения аргументов должно следовать соответствующее приближение значений функции.
$f(x_n)\to f(x_0)$	Значения функции вдоль выбранной последовательности приближаются к значению функции в самой точке.

Пример

Покажем по Гейне, что функция

f(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\[3pt] 1, & x\ge0 \end{cases}

непрерывной в точке $x_0=0$ не является. В самой точке $f(0)=1$ . Возьмём последовательность

x_n=-\frac1n

Тогда $x_n\to0$ , но все её члены отрицательны, поэтому

f(x_n)=0

и, следовательно,

f(x_n)\to0\neq1=f(0)

Предел сложной функции

Эквивалентные функции и бесконечно малые

Если дополнительно

f(x)\to0, \qquad g(x)\to0

Важно не путать эквивалентность с равенством. Запись

\sin x\sim x \qquad (x\to0)

не говорит, что $\sin x=x$ при малых ненулевых $x$ . Она говорит значительно точнее то, что нужно для пределов:

\frac{\sin x}{x}\to1

Когда эквивалентная замена законна

Причина видна непосредственно из определения. Например,

\begin{aligned} \frac{f(x)p(x)}{g(x)q(x)} &= \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{p(x)}{q(x)} \longrightarrow 1\cdot1=1 \end{aligned}

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел лежит в основе почти всех базовых тригонометрических эквивалентностей.

Сразу получаем

\sin x\sim x \qquad (x\to0)

Причём вместо самого $x$ можно подставить любое выражение $u(x)$ , которое стремится к нулю:

u(x)\to0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin u(x)}{u(x)}\to1

то есть

\sin u(x)\sim u(x)

\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1

Второй замечательный предел

[1^\infty]

Почему здесь появляется число $e$.

(1+u(x))^{v(x)} = \left((1+u(x))^{\frac1{u(x)}}\right)^{u(x)v(x)}

при $u(x)\neq0$ .

В этой схеме сразу несколько новых обозначений, поэтому разберём их как последовательность действий.

Фрагмент записи	Что означает в задаче
$u(x)\to0$	Основание $1+u(x)$ действительно приближается к единице.
$\lvert v(x)\rvert\to\infty$	Показатель становится сколь угодно большим по модулю: положительным или отрицательным.
$u(x)v(x)\to L$	Именно совместная скорость изменения основания и показателя определяет итоговый предел.
$(1+u(x))^{v(x)}\to e^L$	После проверки условий предел произведения $uv$ становится показателем степени у числа $e$ .

Таблица эквивалентных бесконечно малых

u\to0

Именно это позволит сразу работать с $\sin(7x)$ , $\ln(1-3x)$ , $e^{x^2}-1$ и другими составными аргументами.

Эквивалентность при $u\to0$	Дополнительные условия
$\sin u\sim u$	—
$\tan u\sim u$	—
$\arcsin u\sim u$	—
$\arctan u\sim u$	—
$1-\cos u\sim\dfrac{u^2}{2}$	—
$\ln(1+u)\sim u$	—
$e^u-1\sim u$	—
$a^u-1\sim u\ln a$	$a>0,\ a\neq1$
$\log_a(1+u)\sim\dfrac{u}{\ln a}$	$a>0,\ a\neq1$
$(1+u)^a-1\sim au$	$a\in\mathbb R$ , $a\neq0$ , $a$ фиксировано

Последняя строка сразу содержит важные частные случаи. Например, при $a=\dfrac12$

\sqrt{1+u}-1 \sim \frac u2

Каждая строка таблицы означает предел отношения, равный единице. Например,

e^u-1\sim u

означает

\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1

Поэтому коэффициенты и внутренние аргументы в формулах нельзя отбрасывать.

y=\frac{\sin u}{u}, \qquad y=\frac{\ln(1+u)}{u}, \qquad y=\frac{e^u-1}{u}.

Главное условие: аргумент стремится к нулю

Фраза «эквивалентности работают при $x\to0$ » слишком груба. Правильнее сказать так:

Например, при $x\to5$

\sin(x-5)\sim x-5

потому что $x-5\to0$ . Никакой отдельной замены переменной здесь не требуется.

Если же нужный ноль скрыт, удобно ввести

t=x-a

Тогда при $x\to a$ автоматически $t\to0$ , после чего выражение можно переписать в стандартной форме.

Пример

Вычислим предел из исходной практики:

\lim_{x\to9} \frac{\sqrt x-3}{\ln(10-x)}

Подстановка даёт неопределённость $\left[\dfrac00\right]$ . Введём

t=x-9, \qquad t\to0, \qquad x=9+t

Тогда

\begin{aligned} \frac{\sqrt x-3}{\ln(10-x)} &= \frac{\sqrt{9+t}-3}{\ln(1-t)} \end{aligned}

Числитель приводим к последней строке таблицы:

\begin{aligned} \sqrt{9+t}-3 &= 3\left(\sqrt{1+\frac t9}-1\right) \sim 3\cdot\frac12\cdot\frac t9 = \frac t6 \end{aligned}

В знаменателе

\ln(1-t)\sim-t

Значит,

\begin{aligned} \lim_{x\to9} \frac{\sqrt x-3}{\ln(10-x)} &= \lim_{t\to0} \frac{\sqrt{9+t}-3}{\ln(1-t)}=\\ &= \lim_{t\to0} \frac{\frac t6}{-t} = -\frac16 \end{aligned}

Обе табличные замены применены к выражениям, которые действительно стремятся к нулю.

Практика: неопределённость $\left[\dfrac00\right]$

Пример

Найдём

\lim_{x\to0} \frac{\cos(3x)-\cos(5x)}{2x^2}

\begin{aligned} \cos(3x)-\cos(5x) &= -2 \sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right) \sin\left(\frac{3x-5x}{2}\right)\\ &= -2\sin(4x)\sin(-x) = 2\sin(4x)\sin x \end{aligned}

После точного преобразования применяем первый замечательный предел:

\begin{aligned} \frac{\cos(3x)-\cos(5x)}{2x^2} &= \frac{\sin(4x)\sin x}{x^2} = 4 \frac{\sin(4x)}{4x}\cdot \frac{\sin x}{x} \end{aligned}

Оба отношения стремятся к $1$ , поэтому

\lim_{x\to0} \frac{\cos(3x)-\cos(5x)}{2x^2} = 4

Практика: неопределённость $[1^\infty]$

Для степенных выражений каждый раз будем выделять

(1+u(x))^{v(x)}

и считать произведение $u(x)v(x)$ . Это одна схема, которая объединяет все три примера исходной статьи.

Пример

Рассмотрим

\lim_{x\to2} \left(3e^{x-2}-2\right)^{\frac{x}{x-2}}

Введём

t=x-2, \qquad t\to0, \qquad x=t+2

Получаем

\left(3e^t-2\right)^{\frac{t+2}{t}}

Основание представим как

\begin{aligned} 3e^t-2 &= 1+3e^t-3\\ &= 1+3(e^t-1) \end{aligned}

Поэтому

u(t)=3(e^t-1), \qquad v(t)=\frac{t+2}{t}

При $t\to0$

e^t-1\sim t

и потому

\begin{aligned} u(t)v(t) &= 3(e^t-1)\frac{t+2}{t}\\ &\sim 3t\frac{t+2}{t} = 3(t+2) \longrightarrow 6 \end{aligned}

Основание стремится к $1$ и положительно в достаточно малой окрестности нуля. Значит,

\lim_{x\to2} \left(3e^{x-2}-2\right)^{\frac{x}{x-2}} = e^6

Как выбрать метод

В этой теме полезнее запомнить маршрут рассуждения, чем длинный набор разрозненных трюков.

Что вы видите	Что делать
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ и известно $f(x_0)$	Для непрерывности проверить существование предела и равенство $\lim f(x)=f(x_0)$ .
Композиция $g(f(x))$	Найти предел внутренней функции и проверить непрерывность внешней в полученной точке.
$\left[\dfrac00\right]$ с $\sin$ , $\tan$ , $\ln$ , $e^u-1$ и похожими выражениями	Найти внутренние аргументы $u(x)\to0$ , преобразовать суммы и разности, затем применять эквивалентности к множителям.
$x\to a\neq0$	Проверить внутренний аргумент функции. Если он стремится к нулю, нужная эквивалентность может применяться; при необходимости ввести $t=x-a$ .
Сумма или разность почти одинаковых величин	Сначала выполнить точное преобразование. Нельзя механически заменять слагаемые эквивалентными.
$[1^\infty]$	Представить основание как $1+u(x)$ , показатель как $v(x)$ , проверить положительность основания и вычислить предел $u(x)v(x)$ .

Для вычислительных задач удобно держать в голове короткую цепочку:

\begin{gathered} \text{подставить предельное значение} \longrightarrow \text{понять, какая форма получается}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{проверка аргументов и области определения}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{точное преобразование при необходимости}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{эквивалентность или замечательный предел} \longrightarrow \text{ответ} \end{gathered}

Типичные ошибки

Проверьте себя

Какой знак должен стоять в условии Коши для непрерывности между условиями
$\lvert x-x_0\rvert<\delta \qquad\text{и}\qquad \lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$
$\Longrightarrow$ или $\Longleftrightarrow$ ? Объясните смысл выбора.
При $x\neq1$ задано
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$
а $f(1)=0$ . Непрерывна ли функция в точке $1$ ?
Вычислите
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)}{x}$
Вычислите
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{x^2}$
Вычислите
$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)}$
Вычислите
$\lim_{x\to2}\frac{\ln(x-1)}{x-2}$
Вычислите
$\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac1x}$
Известно, что $x+x^2\sim x$ при $x\to0$ . Почему нельзя заменить $x+x^2$ на $x$ в выражении
$\frac{(x+x^2)-x}{x^2}$
Найдите правильный предел.
Пусть $f(x)\to b$ при $x\to x_0$ , но внешняя функция $g$ разрывна в точке $b$ . Можно ли автоматически записать
$\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g(b)$
Объясните ответ и приведите простой пример, показывающий, что условие непрерывности существенно.
При $x\to3$ сравните две возможные записи:
$\sin(x-3)\sim x-3 \qquad\text{и}\qquad \sin x\sim x$
Какая из них применима и почему?
Рассмотрим функцию
$h(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\[3pt] 1, & x\ge0 \end{cases}$
Покажите по Гейне, что она не непрерывна в точке $0$ .

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Нужна именно импликация
$\lvert x-x_0\rvert<\delta \Longrightarrow \lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$
Смысл определения таков: если аргумент подошёл к $x_0$ достаточно близко, то значение функции обязано оказаться близко к $f(x_0)$ . Обратное утверждение не требуется. Одно и то же значение функции может встречаться в разных точках, далеко от $x_0$ , поэтому из близости значений функции вообще нельзя автоматически заключать близость аргументов. Значит, знак $\Longleftrightarrow$ был бы слишком сильным условием.
При $x\neq1$ разложим числитель:
$\begin{aligned} f(x) =\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1 \end{aligned}$
Поэтому поведение функции рядом с единицей определяется выражением $x+1$ :
$\lim_{x\to1}f(x)=2$
Но по условию $f(1)=0$ . Для непрерывности необходимо равенство предела и значения функции, а здесь
$2\neq0$
Следовательно, функция в точке $1$ не непрерывна. Это устранимый разрыв: если заменить значение $f(1)$ на $2$ , непрерывность восстановится.
Аргумент синуса $6x\to0$ , поэтому удобно выделить первый замечательный предел:
$\begin{aligned} \frac{\sin(6x)}{x} &=6\frac{\sin(6x)}{6x} \end{aligned}$
При $x\to0$
$\frac{\sin(6x)}{6x}\to1$
Значит,
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)}{x}=6$
Важно не потерять коэффициент $6$ : эквивалентность имеет вид $\sin(6x)\sim6x$ .
Здесь $5x\to0$ . Используем табличную эквивалентность
$1-\cos u\sim\frac{u^2}{2} \qquad (u\to0)$
При $u=5x$ получаем
$1-\cos(5x)\sim\frac{(5x)^2}{2}=\frac{25x^2}{2}$
Поэтому
$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{x^2} &=\lim_{x\to0}\frac{\frac{25x^2}{2}}{x^2} =\frac{25}{2} \end{aligned}$
Замена законна, потому что она применяется к числителю как к отдельному множителю в дроби, а внутренний аргумент $5x$ действительно стремится к нулю.
При $x\to0$ оба внутренних аргумента стремятся к нулю:
$2x\to0 \qquad 3x\to0$
Поэтому
$e^{2x}-1\sim2x \qquad \sin(3x)\sim3x$
В частном эти замены можно выполнить одновременно:
$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)} &=\lim_{x\to0}\frac{2x}{3x} =\frac23 \end{aligned}$
Здесь сама переменная стремится к $2$ , но внутри логарифма скрыта малая величина. Введём
$t=x-2$
Тогда $t\to0$ , а $x-1=1+t$ . Получаем
$\begin{aligned} \frac{\ln(x-1)}{x-2} &=\frac{\ln(1+t)}{t} \end{aligned}$
По эквивалентности $\ln(1+t)\sim t$ при $t\to0$
$\frac{\ln(1+t)}{t}\to1$
Следовательно,
$\lim_{x\to2}\frac{\ln(x-1)}{x-2}=1$
Логарифм определён около $x=2$ , потому что там $x-1>0$ .
Имеем форму $[1^\infty]$ : при $x\to0$
$1+\sin x\to1 \qquad \left|\frac1x\right|\to\infty$
Выделим
$u(x)=\sin x \qquad v(x)=\frac1x$
Основание $1+\sin x$ положительно при всех достаточно малых $|x|$ . Теперь найдём ключевое произведение:
$u(x)v(x)=\frac{\sin x}{x}\to1$
По рабочей схеме второго замечательного предела
$(1+\sin x)^{\frac1x}\to e^1=e$
Значит, искомый предел равен $e$ .
Эквивалентность $x+x^2\sim x$ сообщает, что отношение этих двух величин стремится к $1$ , но не разрешает заменять одно слагаемое другим внутри разности, где основные части могут сократиться. Здесь нужно сначала выполнить точное преобразование:
$\begin{aligned} \frac{(x+x^2)-x}{x^2} &=\frac{x^2}{x^2} =1, \qquad (x\neq0) \end{aligned}$
Поэтому
$\lim_{x\to0}\frac{(x+x^2)-x}{x^2}=1$
Если незаконно заменить $x+x^2$ на $x$ до вычитания, получится ноль и правильный остаток $x^2$ будет потерян.
Автоматически переносить предел через $g$ нельзя: непрерывность $g$ в точке $b$ является существенным условием теоремы о сложной функции. Например, возьмём
$f(x)=x$
и
$g(t)= \begin{cases} 0, & t\neq0\\[3pt] 1, & t=0 \end{cases}$
При $x\to0$ имеем $f(x)\to0$ , но для всех $x\neq0$
$g(f(x))=g(x)=0$
поэтому
$\lim_{x\to0}g(f(x))=0$
Тогда как
$g\left(\lim_{x\to0}f(x)\right)=g(0)=1$
Равенство нарушается именно из-за разрыва внешней функции в нуле.
Первая запись верна:
$\sin(x-3)\sim x-3 \qquad (x\to3)$
потому что внутренний аргумент синуса $x-3\to0$ . Вторая запись
$\sin x\sim x$
при $x\to3$ неприменима: табличная эквивалентность $\sin u\sim u$ требует именно $u\to0$ , а здесь аргумент синуса стремится к $3$ . Следовательно, нужно проверять не имя переменной, а поведение аргумента конкретной функции.
В самой точке $h(0)=1$ . Выберем последовательность допустимых аргументов
$x_n=-\frac1n$
Тогда $x_n\to0$ , но каждый $x_n<0$ , поэтому
$h(x_n)=0$
и
$h(x_n)\to0\neq1=h(0)$
Условие Гейне требует правильного поведения для любой последовательности, стремящейся к нулю. Мы нашли одну последовательность, которая это условие нарушает, значит, $h$ не непрерывна в точке $0$ .

Короткие ответы к задачам по ходу статьи.

Для непрерывности в точке $2$ значение $g(2)=c$ должно совпасть с пределом. При $x\neq2$
$\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$
поэтому предел при $x\to2$ равен $4$ . Следовательно, $c=4$ .
Внутренняя функция $f(x)=x^2+5$ имеет предел $9$ при $x\to2$ . Внешняя функция $g(t)=\sqrt t$ непрерывна при $t=9$ , а аргумент корня положителен около этой точки. Поэтому предел равен $\sqrt9=3$ .
При $x\to0$ имеем $\tan(3x)\sim3x$ и $\sin(5x)\sim5x$ . Поэтому
$\lim_{x\to0}\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)}=\frac35$
Для $(1+4x)^{\frac3x}$ берём $u(x)=4x$ , $v(x)=\dfrac3x$ . Основание положительно около нуля, а
$u(x)v(x)=12$
поэтому предел равен $e^{12}$ .
При $x\to0$
$e^{5x}-1\sim5x \qquad \ln(1-2x)\sim-2x$
Следовательно, предел равен $-\dfrac52$ .
Положим $t=x-4$ . Тогда $t\to0$ ,
$\sqrt{4+t}-2\sim\frac t4 \qquad \ln(1+t)\sim t$
поэтому предел равен $\dfrac14$ .
При $x\to0$
$\tan(7x)\sim7x \qquad e^{2x}-1\sim2x$
поэтому предел равен $\dfrac72$ .
Основание можно записать как
$\frac{2x+1}{2x-3}=1+\frac4{2x-3}$
Здесь $u(x)=\dfrac4{2x-3}\to0$ , а
$x\,u(x)=\frac{4x}{2x-3}\to2$
поэтому предел равен $e^2$ .

Итог

Две замечательные формулы становятся системой вычислительных приёмов только после проверки условий.

Идея	Что нужно помнить
Непрерывность в $x_0$	В предельной точке значение функции совпадает с тем, к чему функция стремится рядом: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ . В изолированной точке непрерывность выполняется автоматически по $\varepsilon$ - $\delta$ определению.
Коши	Для любого $\varepsilon>0$ находится $\delta>0$ , при котором $\lvert x-x_0\rvert<\delta\Longrightarrow\lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$ .
Гейне	Для любой последовательности $x_n\to x_0$ должно выполняться $f(x_n)\to f(x_0)$ .
Сложная функция	Предел можно перенести через внешнюю функцию, если она непрерывна в предельном значении внутренней функции.
Эквивалентность	$f\sim g$ означает $\dfrac fg\to1$ . Это не равенство функций.
Замена в произведениях и частных	Эквивалентности естественно заменяют множители в произведениях и частных; в суммах и разностях сначала требуется точное преобразование.
Первый замечательный предел	$\dfrac{\sin u}{u}\to1$ при $u\to0$ , причём углы измеряются в радианах.
Второй замечательный предел	Для степенной неопределённости $(1+u)^v$ при $u\to0$ и $\lvert v\rvert\to\infty$ ключевой величиной является произведение $uv$ .
Таблица замен	Проверять нужно стремление к нулю внутреннего аргумента, а не обязательно самой переменной $x$ .

\text{что здесь стремится к нулю?} \qquad \text{заменяю ли я множитель, а не слагаемое?}

А для степени $1^\infty$ добавляется третий:

\text{каков предел произведения «довесок к единице»}\times\text{«показатель»?}

Замечательные пределы. Эквивалентные замены

Содержание

Непрерывность функции

Непрерывность по Коши и по Гейне

Предел сложной функции

Эквивалентные функции и бесконечно малые

Когда эквивалентная замена законна

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Главное условие: аргумент стремится к нулю

Практика: неопределённость \(\left[\dfrac00\right]\)

Практика: неопределённость \([1^\infty]\)

Как выбрать метод

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Замечательные пределы. Эквивалентные замены

Содержание

Непрерывность функции

Непрерывность по Коши и по Гейне

Предел сложной функции

Эквивалентные функции и бесконечно малые

Когда эквивалентная замена законна

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Главное условие: аргумент стремится к нулю

Практика: неопределённость \(\left[\dfrac00\right]\)

Практика: неопределённость \([1^\infty]\)

Как выбрать метод

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Практика: неопределённость $\left[\dfrac00\right]$

Практика: неопределённость $[1^\infty]$

Практика: неопределённость $\left[\dfrac00\right]$

Практика: неопределённость $[1^\infty]$