Вычисление пределов: правило Лопиталя и формула Тейлора
Содержание
Для чтения понадобятся базовые правила вычисления пределов и производных. Все специальные обозначения введём по ходу статьи. В частности, объясним, что означают \(f^{(k)}(x_0)\), \(k!\), \(o(x^n)\) и почему запись неопределённости не является ответом.
В блоках «Пример» решение разобрано полностью. Блоки «Задача» предназначены для самостоятельной работы; ответы к ним собраны в конце статьи.
Неопределённость: почему подстановка не даёт ответа
Первый шаг в задаче на предел — попробовать понять, к чему стремятся отдельные части выражения. Иногда обычная подстановка сразу даёт число. Например,
потому что знаменатель при \(x=2\) не равен нулю.
Но бывают ситуации, когда подстановка приводит не к числу, а к условной записи вроде
Такие записи называют неопределённостями. Они не сообщают значение предела. Они лишь предупреждают: по отдельным пределам частей результат определить нельзя.
Смысл задачи состоит в сравнении скоростей изменения числителя и знаменателя. Правило Лопиталя сравнивает эти скорости через производные. Формула Тейлора раскрывает локальное устройство функций по степеням \(x-x_0\).
Что получилось | Что это означает |
Обычное число | Если все операции непрерывны и знаменатель не обращается в ноль, подстановка завершает вычисление. |
\(\left[\dfrac00\right]\) или \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) | Можно проверить условия правила Лопиталя или использовать разложения. |
\([0\cdot\infty]\), \([\infty-\infty]\), степенная форма | Сначала нужно точным преобразованием получить дробь подходящего вида или перейти к логарифму. |
Другая форма | Правило Лопиталя напрямую не применяется; нужен другой метод. |
Правило Лопиталя: идея и точная формулировка
Сначала сформулируем правило обычными словами. Если дробь имеет форму \(\left[\dfrac00\right]\) или \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\), числитель и знаменатель можно продифференцировать отдельно. Если выполнены условия теоремы и предел нового отношения существует, он равен исходному пределу.
Теперь запишем это правило точно. Предел может быть конечным, бесконечным или односторонним.
Для конечного \(x_0\) выражение проколотая окрестность означает достаточно близкие к \(x_0\) значения \(x\), но без самой точки \(x_0\). При \(x\to+\infty\) рассматривают достаточно большие \(x\), а при \(x\to-\infty\) — отрицательные \(x\), большие по модулю. Функции в самой предельной точке могут быть не определены: для предела важно поведение рядом.
Чтобы формулировка не выглядела как набор незнакомых знаков, прочитаем её ключевые фрагменты обычными словами.
Фрагмент записи | Как читать | Что означает здесь |
\(x\to x_0\) | «\(x\) стремится к \(x_0\)» | Значения \(x\) приближаются к предельной точке, но не обязаны быть равны ей. |
\(g'(x)\neq0\) | «\(g\) штрих от \(x\) не равно нулю» | В новом отношении производных можно делить на \(g'(x)\) для всех достаточно близких допустимых \(x\). |
\(f(x)\to0,\;g(x)\to0\) | «\(f(x)\) и \(g(x)\) стремятся к нулю» | Исходная дробь имеет неопределённую форму \(\left[\dfrac00\right]\). |
\(\lvert f(x)\rvert\to\infty,\;\lvert g(x)\rvert\to\infty\) | «модули \(f(x)\) и \(g(x)\) неограниченно растут» | Исходная дробь имеет форму \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\); знаки функций могут зависеть от стороны приближения. |
\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L\) | «предел отношения производных равен \(L\)» | После проверки остальных условий именно это число становится пределом исходного отношения. |
Как применять правило Лопиталя
Удобно каждый раз проходить один и тот же короткий маршрут.
Шаг | Что проверить |
1 | Найти пределы числителя и знаменателя по отдельности. |
2 | Убедиться, что получена форма \(\left[\dfrac00\right]\) или \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\). |
3 | Проверить дифференцируемость функций рядом с точкой, определённость дроби и условие \(g'(x)\neq0\). |
4 | Дифференцировать числитель и знаменатель отдельно, не применяя правило производной дроби. |
5 | Исследовать новый предел. Если неопределённость сохранилась, заново проверить условия перед повторным применением. |
Повторное применение правила
После первого дифференцирования может снова возникнуть неопределённость. Тогда правило разрешено применить повторно, но только после новой проверки формы и условий.
Как преобразовать другие неопределённости
Правило Лопиталя напрямую относится только к двум дробным формам. Произведение, разность или степень сначала нужно точно преобразовать.
Форма | Обычный первый шаг |
\([0\cdot\infty]\) | Переписать произведение как частное: \(f g=\dfrac{f}{\dfrac1g}\) или \(f g=\dfrac{g}{\dfrac1f}\). |
\([\infty-\infty]\) | Привести к общему знаменателю, вынести общий множитель или домножить на сопряжённое выражение. |
\([0^0]\), \([1^\infty]\), \([\infty^0]\) | При положительном основании положить \(y=u(x)^{v(x)}\), перейти к \(\ln y=v(x)\ln u(x)\), исследовать показатель и затем вернуться через экспоненту. |
Границы метода Лопиталя
Правило Лопиталя даёт достаточное условие, но не является критерием существования предела.
Метод также может быть законным, но неудобным. Если после каждого дифференцирования выражение становится длиннее, а в числителе и знаменателе происходят тонкие сокращения, формула Тейлора обычно показывает структуру быстрее.
Идея многочлена Тейлора
Правило Лопиталя отвечает на вопрос о пределе отношения. Формула Тейлора даёт более подробную картину: она показывает, из каких степенных частей складывается функция рядом с выбранной точкой.
Самая простая локальная модель функции — касательная. Если функция \(f\) дифференцируема в точке \(x_0\), то рядом с \(x_0\)
Правая часть является многочленом первой степени. Она совпадает с функцией по значению и по первой производной в точке \(x_0\).
Если добавить квадрат, куб и следующие степени, можно заставить модель совпасть с функцией ещё и по производным более высоких порядков.
Здесь и далее \(n\) — неотрицательное целое число: \(0,1,2,\ldots\). Оно показывает порядок многочлена, то есть наивысшую сохранённую степень.
Разберём обозначения не по одному символу, а по смысловым частям формулы.
Фрагмент записи | Как читать | Что означает здесь |
\(P_n(x)\) | «\(P\) с индексом \(n\) от \(x\)» | Многочлен, в котором сохранены степени от нулевой до \(n\)-й. |
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) | «сумма по \(k\) от нуля до \(n\)» | Короткая запись всех слагаемых многочлена Тейлора. Индекс \(k\) по очереди принимает значения \(0,1,\ldots,n\). |
\(f^{(k)}(x_0)\) | «производная \(k\)-го порядка в точке \(x_0\)» | Коэффициент берётся из поведения функции в центре разложения; по соглашению \(f^{(0)}=f\). |
\(\displaystyle\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) | «\(k\)-е слагаемое суммы» | Производная задаёт коэффициент, а степень \(x-x_0\) показывает, как слагаемое меняется при удалении от центра. |
Факториал в знаменателе читается «\(k\) факториал» и означает
Порядок \(n\) показывает наивысшую степень, которую мы сохраняем, а \(x-x_0\) является отклонением от центра разложения. Именно это отклонение стремится к нулю при \(x\to x_0\).
Рисунок показывает локальную идею, но не утверждает, что многочлен лучше на всей числовой прямой. Формула Тейлора описывает поведение именно при \(x\to x_0\), то есть вблизи центра разложения.
Формула Тейлора и формула Маклорена
Многочлен \(P_n\) является только приближением. Чтобы получить точное равенство, к нему добавляют остаточный член.
Запись является точным асимптотическим равенством. Символ \(o\left((x-x_0)^n\right)\) обозначает не конкретную функцию, одинаковую во всех формулах, а остаток, который мал по сравнению с \((x-x_0)^n\). Подробный смысл разберём в следующем разделе.
Если центр разложения равен нулю, получаем важный частный случай.
Остаток Пеано особенно удобен в пределах: он сообщает относительный порядок ошибки. Но одна запись \(o(x^n)\) не даёт готовой численной границы погрешности при конкретном \(x\). Для численных оценок часто используют другую форму остатка.
Для углубления: явная оценка погрешности. Буква \(\xi\) читается «кси» и обозначает некоторую промежуточную точку между \(x_0\) и \(x\).
Если на этом промежутке известно
то
Это уже явная верхняя оценка ошибки.
\(o\)-малое и смысл остаточного члена
Символ \(o\)-малого сравнивает не абсолютные размеры функций, а скорость их убывания или роста относительно друг друга.
Здесь подряд появились несколько связанных записей. Таблица показывает, как они выражают одну и ту же мысль.
Фрагмент записи | Как читать | Что означает здесь |
\(\alpha(x)=o(g(x))\) | «альфа от \(x\) есть \(o\)-малое от \(g(x)\)» | Функция \(\alpha\) пренебрежимо мала именно по сравнению с выбранным масштабом \(g\). |
\(\alpha(x)=g(x)\varepsilon(x)\) | «альфа равна \(g\), умноженной на эпсилон» | В \(\alpha\) можно выделить масштаб \(g\) и дополнительный множитель \(\varepsilon(x)\). |
\(\varepsilon(x)\to0\) | «эпсилон от \(x\) стремится к нулю» | Дополнительный множитель исчезает при приближении к предельной точке. |
\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{g(x)}=0\) | «предел отношения альфа к \(g\) равен нулю» | После деления на выбранный масштаб вклад \(\alpha\) исчезает; это проверка записи с \(o\)-малым. |
Функция \(\alpha\) может не быть маленькой сама по себе. Важно, что она пренебрежимо мала по сравнению с выбранной функцией \(g\).
Теперь прочитаем остаток в формуле Тейлора:
Это означает
Следовательно, после деления формулы на \((x-x_0)^n\) вклад остатка исчезает в пределе.
Для \(x\to0\) и неотрицательных целых \(m,n\) полезны свойства
Кроме того,
Эти записи описывают класс возможных остатков, поэтому \(o(x^n)\) нельзя обращаться как с одним фиксированным числом.
Как выбрать порядок разложения
В пределах не нужно автоматически выписывать как можно больше членов. Нужен первый порядок, на котором после всех сокращений остаётся ненулевой вклад.
Рассмотрим выражение
Базовая эквивалентность
читается «\(\sin x\) эквивалентен \(x\)» и означает
Она описывает только главный линейный член. Но в разности именно эти линейные части сокращаются. Поэтому запись
не имеет смысла и не даёт порядка остатка.
Нужен следующий ненулевой член:
Тогда
и становится видно, что разность имеет третий порядок малости.
Шаг | Действие |
1 | Определить, к какой точке стремится аргумент разлагаемой функции. |
2 | Найти ожидаемый порядок знаменателя или другой сравниваемой части. |
3 | Разложить функции до этого порядка и выполнить точные сокращения. |
4 | Если все выписанные члены исчезли, добавить следующий ненулевой член. |
5 | Проверить, что остатки после деления действительно стремятся к нулю. |
Таблица разложений Маклорена
Ниже собраны конечные разложения, удобные для типичных пределов при \(x\to0\). В каждой строке остаток относится именно к последней выписанной степени.
Функция | Разложение при \(x\to0\) |
|---|---|
\(e^x\) | \(e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+o(x^4)\) |
\(\sin x\) | \(\sin x = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)\) |
\(\cos x\) | \(\cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+o(x^4)\) |
\(\ln(1+x)\) | \(\ln(1+x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+o(x^4)\) |
\((1+x)^\alpha\) | \((1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 +o(x^3)\) |
\(\dfrac1{1-x}\) | \(\dfrac1{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4+o(x^4)\) |
\(\dfrac1{1+x}\) | \(\dfrac1{1+x} = 1-x+x^2-x^3+x^4+o(x^4)\) |
\(\tg x\) | \(\tg x = x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5)\) |
\(\arcsin x\) | \(\arcsin x = x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+o(x^5)\) |
\(\arctg x\) | \(\arctg x = x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)\) |
В строке с \((1+x)^\alpha\) число \(\alpha\) считается фиксированным, а основание рассматривается там, где вещественная степень определена. Для логарифма требуется \(1+x>0\), что выполняется для всех достаточно малых \(|x|\).
Таблицу не нужно воспринимать как список независимых заклинаний. Все коэффициенты можно восстановить по производным, а порядок выбирается под конкретную задачу.
Пределы по формуле Тейлора
В каждом примере будем явно отвечать на три вопроса:
около какой точки строится разложение;
до какого порядка оно нужно;
почему остаток исчезает после деления.
Лопиталь или Тейлор: как выбрать метод
Один и тот же предел иногда удобно вычислить обоими способами.
Ситуация | Обычно удобнее |
Дробь формы \(\left[\frac00\right]\) или \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\), а производные заметно упрощают выражение | Правило Лопиталя. |
Произведение, разность или степень | Сначала точное преобразование; затем выбрать Лопиталя или Тейлора. |
Несколько почти одинаковых функций и многократные сокращения | Формула Тейлора. |
Нужно найти первый ненулевой член или порядок малости | Формула Тейлора. |
Нужно численное приближение с оценкой ошибки | Многочлен Тейлора и остаток Лагранжа. |
После дифференцирования отношение становится сложнее | Вернуться к преобразованиям или разложениям. |
Типичные ошибки
Проверьте себя
Сначала ответьте самостоятельно. В вычислительных пунктах подпишите форму неопределённости или требуемый порядок разложения.
К каким двум дробным формам напрямую применяется правило Лопиталя? Почему к пределу
\[\lim_{x\to0}\frac{1+x}{x}\]правило неприменимо?
Вычислите
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\]любым из двух методов.
Объясните, почему при повторном применении правила Лопиталя нельзя просто дифференцировать «до получения ответа».
Вычислите
\[\lim_{x\to0} \frac{e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}}{x^3}\]Вычислите
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}\]и объясните, почему эквивалентность \(\sin x\sim x\) не решает задачу напрямую.
Какие из утверждений верны при \(x\to0\):
\[x^3=o(x^2), \qquad x^2=o(x^3), \qquad x^5=o(x^4)\]Постройте многочлен Маклорена второго порядка для \(e^x\) и проверьте совпадение значений первых двух производных в нуле.
Какой метод вы выберете для предела
\[\lim_{x\to0} \frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}\]и почему?
Ответы к разделу «Проверьте себя».
Ниже приведены не только итоговые ответы, но и ход рассуждения, чтобы можно было проверить каждый переход.
Разберём условие применения правила.
Правило Лопиталя напрямую применяется только к двум дробным неопределённостям:
\[\left[\dfrac00\right] \qquad\text{и}\qquad \left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\]Для дроби из вопроса сначала исследуем числитель и знаменатель по отдельности:
\[1+x\to1, \qquad x\to0 \qquad (x\to0)\]Получилась форма \(\left[\dfrac10\right]\), а не одна из двух допустимых неопределённостей. Поэтому переход к отношению производных был бы незаконным.
Чтобы понять, существует ли сам предел, перепишем дробь:
\[\frac{1+x}{x}=\frac1x+1\]При \(x\to0+\) величина \(\dfrac1x\to+\infty\), поэтому
\[\frac{1+x}{x}\to+\infty\]При \(x\to0-\), наоборот, \(\dfrac1x\to-\infty\), поэтому
\[\frac{1+x}{x}\to-\infty\]Односторонние пределы различны, следовательно, двустороннего предела нет.
Вычислим предел двумя способами.
Способ 1. Формула Тейлора.
Знаменатель имеет порядок \(x^2\), поэтому косинус нужно разложить до квадратного члена:
\[\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\]Отсюда
\[1-\cos x = 1-\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right) = \frac{x^2}{2}+o(x^2)\]Делим на \(x^2\):
\[\begin{aligned} \frac{1-\cos x}{x^2} &= \frac{\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}\\ &= \frac12+\frac{o(x^2)}{x^2} \to \frac12 \end{aligned}\]Последний переход законен по определению \(o\)-малого. Способ 2. Правило Лопиталя.
При \(x\to0\) числитель и знаменатель стремятся к нулю, то есть получена форма \(\left[\dfrac00\right]\). Обе функции дифференцируемы рядом с нулём, а производная знаменателя \(2x\neq0\) при \(x\neq0\). Поэтому
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}\]Новый числитель и знаменатель снова стремятся к нулю. Проверяем условия ещё раз: производная нового знаменателя равна \(2\neq0\). Тогда
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2} = \frac12\]В обоих способах получаем
\[\dfrac12\]Почему нельзя дифференцировать автоматически.
Каждое применение правила Лопиталя является новым использованием теоремы. После дифференцирования возможны три ситуации:
неопределённость исчезла, и новый предел уже вычисляется обычной подстановкой;
форма \(\left[\dfrac00\right]\) или \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\) сохранилась, поэтому правило можно рассмотреть ещё раз;
условия теоремы перестали выполняться, например отношение производных не имеет предела.
Например,
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x} = \lim_{x\to0}(\cos x-1) = 0\]После первого применения получилась обычная форма \(\dfrac01\), поэтому повторное дифференцирование уже не разрешено правилом Лопиталя и не требуется для решения.
Выберем нужный порядок разложения.
Знаменатель равен \(x^3\), поэтому экспоненту нужно разложить до кубического члена:
\[e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\]Подставляем это разложение в числитель и аккуратно сокращаем одинаковые слагаемые:
\[\begin{aligned} e^x-1-x-\frac{x^2}{2} &= \left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right) -1-x-\frac{x^2}{2}\\ &= \frac{x^3}{6}+o(x^3) \end{aligned}\]Теперь делим на \(x^3\):
\[\begin{aligned} \frac{e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}}{x^3} &= \frac{\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}\\ &= \frac16+\frac{o(x^3)}{x^3} \to \frac16 \end{aligned}\]Следовательно,
\[\dfrac16\]Учтём сокращение главных частей.
Разложение синуса до кубического члена имеет вид
\[\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\]После вычитания \(x\) линейные члены исчезают:
\[\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\]Поэтому
\[\begin{aligned} \frac{\sin x-x}{x^3} &= -\frac16+\frac{o(x^3)}{x^3}\\ &\to -\frac16 \end{aligned}\]Итак,
\[-\dfrac16\]Эквивалентность \(\sin x\sim x\) сообщает только, что \(\dfrac{\sin x}{x}\to1\). Она не показывает, как быстро разность \(\sin x-x\) стремится к нулю. В этой разности линейные главные части взаимно уничтожаются, поэтому нужен следующий ненулевой член \(-\dfrac{x^3}{6}\).
Проверим каждую запись по определению.
Равенство \(u(x)=o(v(x))\) означает, что \(\dfrac{u(x)}{v(x)}\to0\).
Для первой записи
\[\frac{x^3}{x^2}=x\to0\]поэтому \(x^3=o(x^2)\).
Для второй записи
\[\frac{x^2}{x^3}=\frac1x\]Отношение не стремится к нулю: справа оно уходит в \(+\infty\), а слева в \(-\infty\). Следовательно, \(x^2\neq o(x^3)\).
Для третьей записи
\[\frac{x^5}{x^4}=x\to0\]поэтому \(x^5=o(x^4)\).
Верны первая и третья записи.
Построим многочлен по производным.
Для \(f(x)=e^x\) все производные снова равны \(e^x\). В точке \(x=0\) получаем
\[f(0)=1, \qquad f'(0)=1, \qquad f''(0)=1\]Формула многочлена Маклорена второго порядка:
\[P_2(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2\]Подставляя найденные значения, имеем
\[P_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}\]Проверим совпадение производных:
\[P_2'(x)=1+x, \qquad P_2''(x)=1\]Поэтому
\[P_2(0)=1=f(0), \qquad P_2'(0)=1=f'(0), \qquad P_2''(0)=1=f''(0)\]Значение функции и значения первых двух производных действительно совпали в центре разложения.
Выберем формулу Тейлора.
В числителе вычитаются две функции с одинаковыми постоянными и квадратными членами. Ответ появляется только на четвёртом порядке, поэтому разложения сразу покажут нужные сокращения. Для косинуса
\[\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\]Для экспоненты положим \(u=-\dfrac{x^2}{2}\). Так как \(u\to0\), используем
\[e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)\]и получаем
\[\begin{aligned} e^{-\frac{x^2}{2}} &= 1-\frac{x^2}{2} +\frac12\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 +o(x^4)\\ &= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4) \end{aligned}\]Вычитаем разложения:
\[\begin{aligned} \cos x-e^{-\frac{x^2}{2}} &= \left(\frac1{24}-\frac18\right)x^4+o(x^4)\\ &= -\frac{x^4}{12}+o(x^4) \end{aligned}\]После деления на \(x^4\)
\[\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} = -\frac1{12}+\frac{o(x^4)}{x^4} \to -\frac1{12}\]Ответ:
\[-\dfrac1{12}\]Правило Лопиталя тоже можно применить, но потребовалось бы несколько раз дифференцировать сложную функцию. Здесь Тейлор заметно яснее показывает причину ответа.
Подробные ответы к задачам по ходу статьи.
Предел с логарифмом.
Логарифм \(\ln(1+x)\) определён при \(1+x>0\), то есть при \(x>-1\). Следовательно, он определён в некоторой окрестности нуля. При \(x\to0\)
\[\ln(1+x)\to\ln1=0, \qquad x\to0\]Получена форма \(\left[\dfrac00\right]\). Числитель и знаменатель дифференцируемы при \(x>-1\), а производная знаменателя равна \(1\neq0\). Поэтому по правилу Лопиталя
\[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x &= \lim_{x\to0} \frac{\dfrac1{1+x}}1\\ &= \frac1{1+0} = 1 \end{aligned}\]Ответ: \(1\).
Полином, делённый на экспоненту.
При \(x\to+\infty\) полином \(3x^2-5x+1\to+\infty\) и \(e^x\to+\infty\). Получена форма \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\). Обе функции дифференцируемы, а \((e^x)'=e^x\neq0\), поэтому
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{6x-5}{e^x}\]После первого применения числитель и знаменатель снова стремятся к \(+\infty\). Условия сохраняются, поэтому применяем правило второй раз:
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{6x-5}{e^x} = \lim_{x\to+\infty}\frac6{e^x}\]Теперь неопределённости нет: числитель постоянен, а знаменатель неограниченно растёт. Следовательно,
\[\lim_{x\to+\infty}\frac6{e^x}=0\]Ответ: \(0\). Третье применение правила не требуется.
Произведение \(x\ln x\).
Рассматривается правосторонний предел, потому что \(\ln x\) определён только при \(x>0\). При \(x\to0+\)
\[x\to0, \qquad \ln x\to-\infty\]Получена форма \([0\cdot(-\infty)]\), к которой правило Лопиталя напрямую неприменимо. Перепишем произведение как дробь:
\[x\ln x = \frac{\ln x}{\dfrac1x}\]Теперь числитель стремится к \(-\infty\), а знаменатель к \(+\infty\). Функции дифференцируемы при \(x>0\), и производная знаменателя \(-\dfrac1{x^2}\neq0\). Поэтому
\[\begin{aligned} \lim_{x\to0+}\frac{\ln x}{\dfrac1x} &= \lim_{x\to0+} \frac{\dfrac1x}{-\dfrac1{x^2}}\\ &= \lim_{x\to0+}(-x)\\ &= 0 \end{aligned}\]Ответ: \(0\).
Многочлен Маклорена для синуса.
Последовательно найдём производные:
\[f(x)=\sin x, \qquad f'(x)=\cos x, \qquad f''(x)=-\sin x, \qquad f'''(x)=-\cos x\]В нуле
\[f(0)=0, \qquad f'(0)=1, \qquad f''(0)=0, \qquad f'''(0)=-1\]Подставляем значения в формулу
\[P_3(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3\]и получаем
\[P_3(x)=x-\frac{x^3}{6}\]Квадратичного члена нет, потому что \(f''(0)=0\).
Проверка записей с \(o\)-малым.
Для каждой пары делим первую функцию на вторую:
\[\frac{x^4}{x^3}=x\to0\]поэтому \(x^4=o(x^3)\). Далее,
\[\frac{x^2}{x^3}=\frac1x\]не стремится к нулю, поэтому \(x^2\neq o(x^3)\). Наконец,
\[\frac{x^5}{x^2}=x^3\to0\]поэтому \(x^5=o(x^2)\). Верны первая и третья записи.
Предел с тангенсом.
Знаменатель имеет третий порядок, поэтому используем разложение тангенса до кубического члена:
\[\tg x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\]После вычитания \(x\)
\[\tg x-x=\frac{x^3}{3}+o(x^3)\]Следовательно,
\[\begin{aligned} \frac{\tg x-x}{x^3} &= \frac13+\frac{o(x^3)}{x^3}\\ &\to \frac13 \end{aligned}\]Ответ: \(\dfrac13\).
Предел с логарифмом по формуле Тейлора.
Знаменатель равен \(x^3\), поэтому разложим логарифм до кубического члена:
\[\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\]Подставляем и выполняем сокращения:
\[\begin{aligned} \ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2} &= \left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right) -x+\frac{x^2}{2}\\ &= \frac{x^3}{3}+o(x^3) \end{aligned}\]После деления на \(x^3\)
\[\frac{\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}}{x^3} = \frac13+\frac{o(x^3)}{x^3} \to \frac13\]Ответ: \(\dfrac13\).
Итог
Идея | Что нужно помнить |
|---|---|
Неопределённость | Это не ответ, а сигнал выбрать метод после точной проверки формы. |
Правило Лопиталя | Применяется к \(\left[\dfrac00\right]\) и \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\). После каждого дифференцирования форму и условия проверяют заново. |
Другие формы | Произведения и разности сначала преобразуют в дробь; положительную степень исследуют через логарифм. |
Тейлор и Маклорен | Функцию представляют как многочлен и остаток; при центре \(x_0=0\) получают формулу Маклорена. |
\(o\)-малое и порядок | Остаток исчезает после деления на выбранный масштаб. Разложение продолжают до первого ненулевого члена после сокращений. |
Выбор метода | Лопиталь удобен, когда производные упрощают дробь; Тейлор — когда важны сокращения, порядок малости и локальная структура. |
Перед применением правила Лопиталя полезно задать три вопроса:
Перед разложением по Тейлору задайте другие три:
Если эти проверки выполняются до вычислений, оба метода перестают быть набором формальных действий и становятся понятными способами сравнивать локальное поведение функций.