Свойства и базовые приёмы вычисления пределов функций

Содержание

С чего начинать вычисление предела
Арифметические свойства пределов
Теорема о зажатой функции
Неопределённость — это не ответ
Неопределённость $\dfrac{\infty}{\infty}$ : отношение многочленов
Односторонние пределы
Неопределённость $\dfrac00$ : многочлены
Неопределённость $\dfrac00$ : корни и сопряжённое
Неопределённость $\infty-\infty$
Как выбрать метод
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Что даст эта статья.

После неё вы сможете не просто узнавать записи вроде

\left[\frac00\right], \qquad \left[\frac{\infty}{\infty}\right], \qquad [\infty-\infty],

а понимать, почему это не ответы и какое преобразование выбирать дальше. Мы разберём арифметические свойства пределов, теорему о зажатой функции, односторонние пределы, отношение многочленов, сокращение общего множителя и работу с сопряжёнными выражениями.

Главная цель — научиться видеть причину каждого преобразования. Поэтому перед применением правила будем проверять его условия, а после преобразования — убеждаться, что новая запись действительно имеет тот же предел.

Для чтения достаточно уметь раскрывать скобки, раскладывать квадратный трёхчлен на множители, работать с дробями и помнить формулу

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

Если какой-то из этих школьных приёмов забылся, это не повод останавливаться: в ключевых примерах нужное разложение или преобразование будет выписано явно. Если строгие формальные определения предела пока непривычны, это тоже не помешает вычислительной части: нужный смысл мы будем проговаривать прямо на месте.

По ходу статьи встречаются два вида практики. В блоках «Пример» метод разобран полностью. Блоки «Задача» предназначены для самостоятельной работы; ответы к ним собраны в конце вместе с ответами к разделу «Проверьте себя».

С чего начинать вычисление предела

Пусть требуется найти

\lim_{x\to a}F(x)

Эта запись читается так: «предел функции $F(x)$ при $x$ , стремящемся к $a$ ». Если

\lim_{x\to a}F(x)=L,

то значения $F(x)$ можно сделать сколь угодно близкими к числу $L$ , выбирая $x$ достаточно близко к $a$ . При этом само значение $F(a)$ может оказаться другим или вообще не существовать: предел описывает прежде всего поведение функции рядом с точкой.

Первый полезный вопрос очень простой: что получится, если вместо $x$ поставить $a$ ?

Подстановка здесь — диагностический шаг, а не универсальная теорема: сначала она помогает понять, с какой ситуацией мы столкнулись. Равенство $F(a)=c$ само по себе ещё не означает, что $\lim_{x\to a}F(x)=c$ . Закончить вычисление подстановкой можно, когда известно, что функция непрерывна в точке $a$ и все используемые операции там допустимы. Например, многочлены непрерывны всюду, а рациональная функция — то есть дробь из многочленов, например $\dfrac{x^2+1}{x-3}$ , — непрерывна в каждой точке, где её знаменатель не равен нулю.

Напомним смысл слова «непрерывна»: функция $F$ непрерывна в точке $a$ , если она определена в этой точке и $\lim_{x\to a}F(x)=F(a)$ . Именно это равенство превращает подстановку из догадки в законный способ вычисления предела.

Пример

Вычислим

\lim_{x\to2}\frac{x^2+3x-1}{x+4}

Числитель и знаменатель — многочлены, поэтому их пределы при $x\to2$ равны значениям в точке $2$ . Для числителя получаем

2^2+3\cdot2-1=9,

а для знаменателя

2+4=6\neq0

Предел знаменателя ненулевой, поэтому теперь выполнены условия правила для частного:

\lim_{x\to2}\frac{x^2+3x-1}{x+4} =\frac96 =\frac32

Так порядок рассуждения прозрачен: сначала найдены пределы числителя и знаменателя, затем проверено условие $6\neq0$ , и только после этого применено правило для частного.

Почему одного значения $F(a)$ недостаточно?

Пусть $F(0)=0$ , а при $x\neq0$ положим $F(x)=1$ . Тогда значение в точке равно нулю, но все значения рядом с ней равны единице, поэтому $\lim_{x\to0}F(x)=1$ . Значит, обычное число после подстановки становится ответом только после проверки непрерывности или условий соответствующего правила. Если же получается $\dfrac00$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ или $\infty-\infty$ , вычисление, наоборот, только начинается. Такая запись сообщает, почему прямой способ не сработал, но ещё ничего не говорит об ответе.

LaTeX — Значение функции в самой точке не определяет предел: здесь $F(0)=0$, но все значения рядом с нулём равны $1$, поэтому $\lim\limits_{x\to0}F(x)=1$

Есть ещё одна важная особенность предела в конечной точке. При $x\to a$ нас интересуют значения $x$ , сколь угодно близкие к $a$ , но отличные от неё. В строгом определении рассматривается условие

0<|x-a|<\delta

Здесь $\delta>0$ — некоторое маленькое расстояние по оси $x$ : неравенство $|x-a|<\delta$ означает « $x$ находится ближе чем на $\delta$ к $a$ », а условие $0<|x-a|$ отдельно исключает саму точку $x=a$ . Такой набор близких точек без самой точки $a$ называют проколотой окрестностью $a$ . Поэтому значение самой функции в точке $a$ может не существовать или быть специально изменено, а предел при этом сохранится. Именно это позже позволит сокращать множитель $x-a$ .

Арифметические свойства пределов

Пусть существуют конечные пределы

\lim_{x\to x_0}f(x)=A, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=B

Тогда пределы можно сочетать почти так же, как обычные числа, но у каждого правила есть свои условия.

В формулах ниже $\mathbb R$ обозначает множество действительных чисел, а запись $c\in\mathbb R$ означает, что $c$ — обычное постоянное действительное число, не зависящее от $x$ .

Почему для дроби отдельно написано $B\neq0$ ? Если знаменатель стремится к ненулевому числу, то достаточно близко к $x_0$ он остаётся отделённым от нуля, и деление безопасно. Если же $B=0$ , правило частного ничего не говорит: дробь может стремиться к числу, к бесконечности или вообще не иметь предела.

Операция	Чт о нужно проверить
Сумма и разность	Оба исходных конечных предела существуют.
Произведение	Оба исходных конечных предела существуют.
Частное	Оба предела существуют, и предел знаменателя не равен нулю.
Натуральная степень	Предел основания существует и конечен.

Для корней действует привычный принцип непрерывности. Например, если $u(x)\to U$ , квадратный корень определён для всех рассматриваемых $x$ и $U\geq0$ , то

\sqrt{u(x)}\to\sqrt U

Для корня нечётной степени ограничение $U\geq0$ не требуется.

Теорема о зажатой функции

Иногда функцию трудно преобразовать напрямую, но её удаётся зажать между двумя более простыми функциями. Если обе границы стремятся к одному и тому же числу, середине «деваться некуда».

Обратите внимание на два условия. Неравенство должно работать не в одной удачной точке, а во всей достаточно малой проколотой окрестности $x_0$ . Кроме того, обе зажимающие функции должны иметь один и тот же предел.

Почему $\cos\dfrac1x$ не имеет предела при $x\to0$? Идея критерия Гейне.

Если предел функции существует, то при любом способе приближения аргумента к точке значения функции должны стремиться к одному и тому же числу. Возьмём две последовательности

x_n=\frac1{2\pi n}, \qquad y_n=\frac1{(2n+1)\pi}, \qquad n\geq1

Обе стремятся к нулю, но

\cos\frac1{x_n}=1, \qquad \cos\frac1{y_n}=-1

Получились два разных предельных поведения, поэтому общего предела у $\cos\dfrac1x$ при $x\to0$ нет. Это и есть идея критерия Гейне: предел функции можно проверять с помощью всех последовательностей допустимых аргументов, стремящихся к нужной точке. Строгое доказательство критерия Гейне и теоремы о зажатой функции подробно разбираем на курсе по высшей математике от Профиматики.

Пример

Найдём

\lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x

Функция $\cos\dfrac1x$ бесконечно колеблется при $x\to0$ , поэтому искать её собственный предел бесполезно. Но для любого $x\neq0$

-1\leq\cos\frac1x\leq1

Так как $x^2\geq0$ , умножение не меняет знаки неравенств:

-x^2 \leq x^2\cos\frac1x \leq x^2

Обе границы стремятся к нулю:

\lim_{x\to0}(-x^2)=0, \qquad \lim_{x\to0}x^2=0

По теореме о зажатой функции

\lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x=0

Здесь мы не «победили» колебания косинуса напрямую. Мы показали, что множитель $x^2$ сжимает их амплитуду, то есть размах колебаний, до нуля.

Неопределённость — это не ответ

При вычислении предела первая диагностическая проверка часто приводит к символической форме, для которой обычной арифметики недостаточно. В этой статье нам особенно важны

\left[\frac00\right], \qquad \left[\frac{\infty}{\infty}\right], \qquad [\infty-\infty]

Квадратные скобки здесь подчёркивают: это тип неопределённости, а не значение предела.

Форма	Пример при $x\to+\infty$ или $x\to0$	Итог
$\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$	$\dfrac{x}{x^2}$ , $\dfrac{x}{x}$ , $\dfrac{x^2}{x}$	$0,\ 1,\ +\infty$
$\left[\dfrac00\right]$	$\dfrac{x^2}{x}$ , $\dfrac{x}{x}$ , $\dfrac{x}{x^2}$ при $x\to0$	$0,\ 1,$ двустороннего предела нет
$[\infty-\infty]$	$x-x$ , $(x+1)-x$ , $2x-x$	$0,\ 1,\ +\infty$

Поэтому фраза «получили $\dfrac00$ » должна означать не конец решения, а выбор следующего шага. Для многочленов этим шагом обычно будет разложение на множители, для радикалов — сопряжённое выражение, а для отношения многочленов на бесконечности — выделение старших степеней.

Неопределённость $\dfrac{\infty}{\infty}$ : отношение многочленов

Пусть

R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

где $P$ и $Q$ — многочлены. На бесконечности главным становится поведение старших степеней.

Степень многочлена — это наибольшая степень $x$ , которая в нём встречается с ненулевым коэффициентом. Старший коэффициент — число перед соответствующей старшей степенью. Например, у многочлена $7x^3-2x+5$ степень равна $3$ , а старший коэффициент равен $7$ . Обозначения $a_n$ и $b_m$ ниже — просто названия старших коэффициентов; индексы $n$ и $m$ напоминают, к каким степеням они относятся.

Пусть степень числителя равна $n$ , степень знаменателя — $m$ , а старшие коэффициенты равны соответственно $a_n\neq0$ и $b_m\neq0$ . Тогда при больших по модулю $x$

\frac{P(x)}{Q(x)} \quad\text{ведёт себя как}\quad \frac{a_n}{b_m}x^{\,n-m}

Эта запись сразу объясняет все три случая.

Сравнение степеней	Что происходит
$n<m$	В знаменателе остаётся более высокая степень, поэтому предел равен $0$ .
$n=m$	Степени сокращаются, и предел равен $\dfrac{a_n}{b_m}$ .
$n>m$	По модулю дробь растёт как $\left\|\dfrac{a_n}{b_m}\right\|\|x\|^{\,n-m}$ . Знак нужно определить по $\dfrac{a_n}{b_m}$ , направлению $x\to+\infty$ или $x\to-\infty$ и чётности $n-m$ .

Надёжный алгоритм для отношения многочленов — разделить числитель и знаменатель на $x^m$ , где $m$ — степень знаменателя. Тогда знаменатель стремится к своему старшему коэффициенту $b_m\neq0$ , а в числителе сразу видно, остаётся ли положительная степень $x$ , константа или только отрицательные степени. Все члены вида $\dfrac1{x^k}$ , $k>0$ , стремятся к нулю.

Односторонние пределы

До сих пор запись $x\to a$ означала, что к точке $a$ можно приближаться с обеих сторон. Но иногда поведение функции слева и справа различается настолько сильно, что рассматривать эти направления нужно отдельно.

Перед строгой формулой зафиксируем обозначения. $D_f$ — область определения функции, то есть множество всех допустимых значений $x$ . Число $\varepsilon>0$ задаёт требуемую точность по значениям функции, а $\delta>0$ — насколько близко для этого нужно подойти по оси $x$ к точке $a$ .

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$x\to a^-,\quad x\to a^+$	«икс стремится к $a$ слева; икс стремится к $a$ справа»	К точке $a$ приближаются только с указанной стороны.
$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$	«для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля»	Какую бы точность по значениям функции ни потребовали, можно подобрать достаточную близость аргумента к $a$ .
$\forall x\in D_f:\ a-\delta<x<a$	«для любого допустимого $x$ между $a-\delta$ и $a$ »	Проверяются все достаточно близкие к $a$ точки области определения слева.
$\forall x\in D_f:\ a<x<a+\delta$	«для любого допустимого $x$ между $a$ и $a+\delta$ »	Проверяются все достаточно близкие к $a$ точки области определения справа.
$\Longrightarrow\ \|f(x)-L\|<\varepsilon$	«тогда модуль $f(x)-L$ меньше эпсилон»	Значение $f(x)$ оказывается от $L$ на расстоянии меньше заданной точности $\varepsilon$ .

Определение

Для левого или правого предела предполагается, что в $D_f$ есть точки с соответствующей стороны от $a$ , сколь угодно близкие к $a$ . Такое $a$ называют односторонней предельной точкой области определения; для вычислений важен именно простой смысл: к $a$ действительно можно подходить по допустимым значениям $x$ с нужной стороны.

Левый предел

\lim_{x\to a^-}f(x)=L

означает, что $x$ приближается к $a$ по точкам области определения, оставаясь меньше $a$ . Формально

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D_f:\quad a-\delta<x<a \ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon

Правый предел

\lim_{x\to a^+}f(x)=L

описывает приближение по точкам $D_f$ со стороны $x>a$ :

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D_f:\quad a<x<a+\delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon

Обозначения $a^-$ и $a^+$ указывают сторону приближения, а не новое число. Встречающиеся в некоторых учебниках записи $a-0$ и $a+0$ передают ту же идею.

Если допустимые точки есть только с одной стороны, предел по области определения рассматривают по этой стороне; требовать несуществующий второй односторонний предел в такой ситуации нельзя.

А что с бесконечными пределами?

Запись $f(x)\to+\infty$ означает, что значения функции можно заставить превысить любой заранее заданный уровень, если подойти к точке достаточно близко. Аналогично $f(x)\to-\infty$ означает, что значения функции становятся меньше любого заранее заданного действительного числа. Это утверждение о величине значений, а не о монотонности функции.

Если слева и справа функция уходит к одному и тому же $+\infty$ , принято писать двусторонний бесконечный предел $+\infty$ ; то же верно для $-\infty$ . Если направления дают разные знаки бесконечности, общего двустороннего предела нет.

Рассмотрим функцию:

f(x)=\frac{3x+2}{2x-1}

При $x=\dfrac12$ знаменатель равен нулю, поэтому сама функция там не определена. Посмотрим на знак знаменателя около этой точки. Числитель около $\dfrac12$ положителен, поскольку

3\cdot\frac12+2=\frac72>0

Слева $2x-1<0$ и стремится к нулю, а справа $2x-1>0$ и тоже стремится к нулю. Поэтому

\lim_{x\to(\frac12)^-}\frac{3x+2}{2x-1}=-\infty, \qquad \lim_{x\to(\frac12)^+}\frac{3x+2}{2x-1}=+\infty

Прямую $x=\dfrac12$ называют вертикальной асимптотой: приближаясь к ней по графику слева или справа, мы видим, что модуль значений функции неограниченно растёт.

Неопределённость $\dfrac00$ : многочлены

Пусть при $x\to a$ дана дробь

\frac{P(x)}{Q(x)}

из многочленов, а подстановка даёт

P(a)=0, \qquad Q(a)=0

Получилась неопределённость $\dfrac00$ . Здесь общий нуль обычно указывает на общий множитель.

Отсюда получается алгоритм:

убедиться, что действительно получена форма $\dfrac00$ ;
разложить числитель и знаменатель на множители;
сократить общий множитель $x-a$ для $x\neq a$ ;
снова выполнить подстановку уже в сокращённое выражение.

Пример

Вычислим

\lim_{x\to-1} \frac{2x^2-3x-5}{x+1}

Подстановка даёт

2(-1)^2-3(-1)-5=0, \qquad -1+1=0

Это форма $\dfrac00$ . Число $-1$ является корнем числителя, поэтому по теореме Безу у него есть множитель $x+1$ . В данном случае получаем

2x^2-3x-5 =(x+1)(2x-5)

Разложение легко проверить раскрытием скобок: $(x+1)(2x-5)=2x^2-3x-5$ . При $x\neq-1$ сокращаем общий множитель:

\begin{aligned} \lim_{x\to-1} \frac{(x+1)(2x-5)}{x+1} &= \lim_{x\to-1}(2x-5) \\ &= 2(-1)-5 = -7 \end{aligned}

Само исходное выражение при $x=-1$ не определено, но это не мешает пределу быть равным $-7$ .

Пример

Рассмотрим более объёмное разложение:

\lim_{x\to2} \frac{x^3-8}{x^3-3x-2}

Подстановка снова даёт $\dfrac00$ . В числителе используем формулу разности кубов $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ :

x^3-8=x^3-2^3 =(x-2)(x^2+2x+4)

Для знаменателя $Q(x)=x^3-3x-2$ имеем $Q(2)=0$ , поэтому по теореме Безу $x-2$ является множителем. Деление многочлена на $x-2$ даёт

x^3-3x-2 =(x-2)(x^2+2x+1)

Если деление многочленов непривычно, проверьте разложение раскрытием скобок. Затем сокращаем общий множитель $x-2$ в проколотой окрестности точки $2$ :

\begin{aligned} \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)} {(x-2)(x^2+2x+1)} &= \lim_{x\to2} \frac{x^2+2x+4}{x^2+2x+1} \\ &= \frac{4+4+4}{4+4+1} = \frac{12}{9} = \frac43 \end{aligned}

После сокращения знаменатель при $x=2$ уже равен $9\neq0$ , поэтому обычное правило частного снова работает.

Неопределённость $\dfrac00$ : корни и сопряжённое

Если нуль создают выражения с квадратными корнями, вынести общий множитель напрямую часто неудобно. Тогда помогает сопряжённое выражение.

Словом «радикал» ниже мы называем выражение с корнем. В наших примерах рационализация — это домножение на подходящее сопряжённое: после разности квадратов корень перестаёт скрывать общий множитель.

Для разности $A-B$ сопряжённым является $A+B$ , и наоборот. Их произведение убирает разность:

(A-B)(A+B)=A^2-B^2

Например,

\bigl(\sqrt{u}-\sqrt{v}\bigr) \bigl(\sqrt{u}+\sqrt{v}\bigr) =u-v

Пример

Теперь нуль создают радикалы и в числителе, и в знаменателе:

\lim_{x\to5} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}}

Подстановка даёт $\dfrac00$ . Рационализируем числитель:

\sqrt{6-x}-1 = \frac{(6-x)-1}{\sqrt{6-x}+1} = \frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}

Отдельно рационализируем знаменатель:

3-\sqrt{4+x} = \frac{9-(4+x)}{3+\sqrt{4+x}} = \frac{5-x}{3+\sqrt{4+x}}

При $x\neq5$ общий множитель $5-x$ сокращается:

\begin{aligned} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}} &= \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1} \end{aligned}

Теперь подстановка разрешена:

\lim_{x\to5} \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1} = \frac{3+\sqrt9}{\sqrt1+1} = \frac62 = 3

Этот пример показывает полезный приём: если радикалы мешают сразу в двух частях дроби, их можно рационализировать по очереди.

Неопределённость $\infty-\infty$

Сопряжённое выражение полезно не только при $\dfrac00$ . Оно часто превращает разность двух больших радикальных выражений в дробь, где уже можно сравнить скорости роста.

Пример

Вычислим предел

\lim_{x\to+\infty} \left(x-\sqrt{x^2+5x-2}\right)

По отдельности $x\to+\infty$ и $\sqrt{x^2+5x-2}\to+\infty$ , поэтому сравнение предельного поведения двух частей даёт форму $[\infty-\infty]$ . Здесь мы не «подставляем бесконечность» как число, а фиксируем, к чему стремится каждое слагаемое.

Домножаем и делим на сопряжённую сумму:

\begin{aligned} x-\sqrt{x^2+5x-2} &= \frac{\left(x-\sqrt{x^2+5x-2}\right) \left(x+\sqrt{x^2+5x-2}\right)} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} \\ &= \frac{x^2-(x^2+5x-2)} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} \\ &= \frac{-5x+2} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} \end{aligned}

Получилась форма $\dfrac{\infty}{\infty}$ , которую уже умеем обрабатывать. В корне выделяем $x^2$ :

\sqrt{x^2+5x-2} = |x|\sqrt{1+\frac5x-\frac2{x^2}}

Так как здесь $x\to+\infty$ , для всех достаточно больших $x$ выполнено $|x|=x$ . Делим числитель и знаменатель на $x>0$ :

\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty} \frac{-5x+2} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} &= \lim_{x\to+\infty} \frac{-5+\dfrac2x} {1+\sqrt{1+\dfrac5x-\dfrac2{x^2}}} \\ &= \frac{-5+0}{1+\sqrt1} = -\frac52 \end{aligned}

Мини-пример при $x\to-\infty$ . Так как для всех достаточно больших по модулю отрицательных $x$ выполнено $|x|=-x$ , получаем

\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{x} =-1

Если бы мы ошибочно заменили $\sqrt{x^2}$ на $x$ , получился бы неверный ответ $1$ .

Как выбрать метод

После нескольких типов примеров легко начать выбирать преобразование по внешнему виду: «вижу корень — сразу домножаю на сопряжённое». Надёжнее действовать иначе: сначала определить, что показывают предельные значения отдельных частей выражения и почему этого ещё недостаточно для ответа.

Базовый порядок действий.

Уточните, куда стремится $x$ : к конечной точке, к $+\infty$ или к $-\infty$ .
Проведите диагностическую проверку: в конечной точке начните с подстановки, а при $x\to\pm\infty$ определите предельное поведение отдельных частей. Символ $\infty$ не является числом, поэтому запись $x=\infty$ здесь не используется.
Если в конечной точке получили обычное число, проверьте непрерывность составляющих и законность операций; только после этого заканчивайте вычисление подстановкой.
Если появилась неопределённость, определите её тип.
Выберите преобразование, которое устраняет именно источник этой неопределённости.
После преобразования снова проверьте знаменатели, области определения, знаки и направление предела.

Что увидели	Что это обычно означает	Первый разумный шаг
Обычное число после подстановки в конечной точке	Возможно, предел находится по непрерывности	Проверить непрерывность составляющих и условия операций; только затем закончить подстановкой.
$\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$ у многочленов	Конкурируют скорости роста	Выделить старшую степень или разделить на неё.
$\left[\dfrac00\right]$ у многочленов	Скрыт общий множитель $x-a$	Разложить на множители и сократить в проколотой окрестности.
$\left[\dfrac00\right]$ с корнями	Общий множитель скрыт радикалом	Использовать сопряжённое выражение.
$[\infty-\infty]$ с корнями	Два больших слагаемых почти компенсируются	Домножить на сопряжённое и получить дробь.
Знаменатель $\to0$ , числитель $\to C\neq0$	Возможны разные знаки слева и справа	Исследовать односторонние пределы и знак выражения.
Сложная, но зажатая функция	Прямой предел внутренней части может не существовать	Найти две простые границы и применить теорему о зажатой функции.

Пример

Посмотрим, как два приёма могут работать вместе:

\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-2}

Подстановка даёт $\dfrac00$ . В числителе сразу виден множитель

x^2-4=(x-2)(x+2)

а в знаменателе такой множитель скрыт корнем. Рационализируем знаменатель:

\sqrt{x+2}-2 = \frac{x+2-4}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}

При $x\neq2$

\begin{aligned} \frac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-2} &= \frac{(x-2)(x+2)} {\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}} \\ &= (x+2)(\sqrt{x+2}+2) \end{aligned}

Теперь неопределённость исчезла:

\lim_{x\to2} (x+2)(\sqrt{x+2}+2) = 4(2+2) = 16

Метод здесь выбрался не по слову «корень», а по задаче: сделать скрытый множитель $x-2$ явным.

Типичные ошибки

Проверьте себя

Попробуйте сначала ответить самостоятельно, а затем свериться с ответами ниже.

Что означает запись $\left[\dfrac00\right]$ : значение предела, отсутствие предела или сигнал, что прямой подстановки недостаточно?
Известно, что
$f(x)\to3, \qquad g(x)\to-2 \qquad (x\to x_0)$
Найдите
$\lim_{x\to x_0} \frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)}$
и проверьте условие для знаменателя.
Вычислите
$\lim_{x\to+\infty} \frac{7x^2-x+3}{2x^2+5}$
Определите знак бесконечного предела:
$\lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+1}{x^2+4}$
Исследуйте односторонние пределы функции
$\frac1{(x-1)^2}$
при $x\to1$ . Можно ли записать общий бесконечный предел?
Вычислите
$\lim_{x\to2} \frac{x^2+x-6}{x-2}$
Используйте сопряжённое выражение:
$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
Вычислите
$\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)$
Какую теорему удобнее всего применить к
$\lim_{x\to0}|x|\sin\frac1x$
если предел $\sin\dfrac1x$ не существует?
Почему сокращение множителя $x-a$ при вычислении предела $x\to a$ не означает, что мы разрешили деление на ноль?
Найдите
$\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}$
Существует ли двусторонний предел?
Какое дополнительное условие нужно проверить, чтобы из
$f(x)\to A, \qquad g(x)\to B$
заключить
$\frac{f(x)}{g(x)}\to\frac AB?$

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Ниже приведены не только итоговые ответы, но и ход рассуждения. Если результат не совпал, сравнивайте решение по шагам: где применяется теорема, какое условие проверяется и почему выполненное преобразование законно.

Запись $\left[\frac00\right]$ — не значение предела и не сообщение о том, что предела нет. Это неопределённая форма: прямая подстановка дала ноль и в числителе, и в знаменателе, поэтому по одной этой записи ответ определить нельзя. Например,
$\frac{x}{x}=1 \quad (x\neq0), \qquad \frac{x^2}{x}=x \quad (x\neq0),$
поэтому при $x\to0$ первая дробь стремится к $1$ , а вторая — к $0$ . Значит, после появления $\frac00$ нужно преобразовывать конкретное выражение.
Из условий
$f(x)\to3, \qquad g(x)\to-2 \qquad (x\to x_0)$
сначала найдём предел числителя:
$2f(x)+g(x)\to2\cdot3+(-2)=4$
Теперь проверим знаменатель:
$f(x)-g(x)\to3-(-2)=5\neq0$
Именно ненулевой предел знаменателя разрешает применить правило частного. Поэтому
$\lim_{x\to x_0}\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} =\frac45$
И числитель, и знаменатель имеют степень $2$ . Чтобы не пользоваться правилом как «лайфхаком», разделим дробь на $x^2$ :
$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{7x^2-x+3}{2x^2+5} &= \lim_{x\to+\infty} \frac{7-\dfrac1x+\dfrac3{x^2}} {2+\dfrac5{x^2}} \\ &=\frac{7-0+0}{2+0} =\frac72 \end{aligned}$
Все дроби $\dfrac1x$ и $\dfrac1{x^2}$ стремятся к нулю, поэтому остаётся отношение старших коэффициентов.
Выделим множитель $x$ :
$\frac{x^3+1}{x^2+4} = x\,\frac{1+\dfrac1{x^3}}{1+\dfrac4{x^2}}$
Внутренняя дробь стремится к $1>0$ . Значит, начиная с некоторого момента её знак положителен, и знак всего выражения определяется множителем $x$ . Так как $x\to-\infty$ , получаем
$\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{x^2+4}=-\infty$
Рассмотрим
$\frac1{(x-1)^2}$
При $x\neq1$ квадрат $(x-1)^2$ всегда положителен. Когда $x\to1$ с любой стороны, этот положительный знаменатель стремится к нулю. Поэтому дробь становится сколь угодно большой положительной:
$\lim_{x\to1^-}\frac1{(x-1)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{(x-1)^2}=+\infty$
Односторонние бесконечные пределы совпадают, поэтому здесь принято писать и общий двусторонний бесконечный предел
$\lim_{x\to1}\frac1{(x-1)^2}=+\infty$
Подстановка даёт $\dfrac00$ , поэтому разложим числитель:
$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$
Для $x\neq2$ можно сократить общий множитель $x-2$ :
$\frac{x^2+x-6}{x-2}=x+3$
Предел рассматривает как раз значения $x$ , близкие к $2$ , но отличные от $2$ , поэтому сокращение законно. Тогда
$\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+3) =5$
Подстановка снова даёт $\dfrac00$ . Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{1+x}+1$ :
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)} \\ &= \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} \end{aligned}$
При $x\neq0$ сокращаем $x$ :
$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac1{\sqrt{1+x}+1}$
Теперь знаменатель при $x=0$ равен $2\neq0$ , и обычная подстановка допустима:
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac12$
Получаем форму $[\infty-\infty]$ , поэтому используем сопряжённую сумму:
$\begin{aligned} \sqrt{x^2+4x}-x &= \frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x} \\ &= \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} \end{aligned}$
При $x\to+\infty$ все достаточно большие $x$ положительны, поэтому
$\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac4x}$
Делим числитель и знаменатель на $x>0$ :
$\frac{4}{\sqrt{1+\dfrac4x}+1} \longrightarrow \frac4{1+1}=2$
Следовательно, исходный предел равен $2$ .
Сам предел $\sin\dfrac1x$ при $x\to0$ не существует, но для любого $x\neq0$
$-1\leq\sin\frac1x\leq1$
Умножаем на $|x|\geq0$ , поэтому знаки неравенств сохраняются:
$-|x| \leq |x|\sin\frac1x \leq |x|$
Обе границы стремятся к нулю. По теореме о зажатой функции
$\lim_{x\to0}|x|\sin\frac1x=0$
Сокращение выполняется не в самой точке $x=a$ , а для близких к ней значений $x\neq a$ . В проколотой окрестности
$x-a\neq0,$
поэтому деление на этот множитель законно. После сокращения исходная и новая функции совпадают во всех рассматриваемых точках достаточно близко к $a$ ; возможное различие только в самой точке $a$ на предел не влияет.
У дроби
$\frac1{x-1}$
числитель постоянно положителен. При $x\to1^-$ знаменатель $x-1$ отрицателен и стремится к нулю, поэтому
$\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty$
При $x\to1^+$ знаменатель положителен и стремится к нулю:
$\lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty$
Левое и правое поведения различаются, поэтому общего двустороннего предела в этой точке нет.
Для правила частного недостаточно только существования пределов $A$ и $B$ . Нужно дополнительно проверить
$B\neq0$
Тогда достаточно близко к предельной точке знаменатель $g(x)$ остаётся отделённым от нуля, и деление корректно. После этой проверки можно заключить
$\frac{f(x)}{g(x)}\to\frac AB$

Решения задач по ходу статьи.

По арифметическим свойствам пределов
$2f(x)+3g(x)\to2(-2)+3\cdot3=5$
Для произведения сначала находим пределы обоих множителей:
$f(x)-g(x)\to-2-3=-5, \qquad f(x)+g(x)\to-2+3=1$
Поэтому
$\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\to(-5)\cdot1=-5$
В третьем выражении отдельно проверяем знаменатель:
$f(x)+g(x)\to1\neq0$
Значит, правило частного применимо, и
$\frac{2f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)} \to \frac{2(-2)-3}{-2+3} =-7$
Из неравенства
$-1\leq\sin\frac1x\leq1$
и условия $x^2\geq0$ получаем
$-x^2 \leq x^2\sin\frac1x \leq x^2$
При $x\to0$
$-x^2\to0, \qquad x^2\to0$
Обе зажимающие функции имеют один предел, поэтому по теореме о зажатой функции
$\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0$
Выделим множитель $x$ :
$\frac{2x^5-x}{x^4+3} = x\,\frac{2-\dfrac1{x^4}}{1+\dfrac3{x^4}}$
Внутренняя дробь стремится к
$\frac{2-0}{1+0}=2>0$
Следовательно, её знак начиная с некоторого момента положителен. Поскольку $x\to-\infty$ , произведение положительной величины, близкой к $2$ , на $x$ стремится к $-\infty$ :
$\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^5-x}{x^4+3}=-\infty$
Для
$r(x)=\frac{x+1}{x-2}$
около точки $2$ числитель $x+1$ близок к $3$ , поэтому остаётся положительным. Слева от $2$
$x-2\to0^-,$
значит,
$\lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty$
Справа
$x-2\to0^+,$
поэтому
$\lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty$
Односторонние пределы различаются, следовательно, двустороннего предела при $x\to2$ нет.
Подстановка даёт $\dfrac00$ . Используем разность квадратов:
$x^2-9=(x-3)(x+3)$
Для $x\neq3$
$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$
Мы не делим на ноль: сокращение выполняется только в проколотой окрестности точки $3$ , где $x-3\neq0$ . Поэтому
$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3} =\lim_{x\to3}(x+3) =6$
Подстановка даёт $\dfrac00$ . Сопряжённое к числителю — $\sqrt{x+4}+3$ . Домножаем на него:
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} &= \frac{(\sqrt{x+4}-3)(\sqrt{x+4}+3)} {(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \\ &= \frac{x+4-9}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \\ &= \frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \end{aligned}$
При $x\neq5$ сокращается именно множитель $x-5$ :
$\frac1{\sqrt{x+4}+3}$
Теперь можно подставить $x=5$ :
$\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} =\frac1{3+3} =\frac16$
Здесь получаем форму $[\infty-\infty]$ . Домножаем на сопряжённую сумму:
$\begin{aligned} \sqrt{x^2+3x}-x &= \frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} \\ &= \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} \end{aligned}$
Так как $x\to+\infty$ , все достаточно большие $x$ положительны. Поэтому $|x|=x$ , и
$\sqrt{x^2+3x} =x\sqrt{1+\frac3x}$
После деления числителя и знаменателя на $x>0$ получаем
$\frac3{\sqrt{1+\dfrac3x}+1} \longrightarrow \frac3{1+1} =\frac32$
Следовательно,
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\frac32$

Итог

В вычислении пределов важнее не запомнить длинный список трюков, а научиться распознавать, что показывает первая диагностическая проверка и почему она ещё не всегда даёт ответ.

Главная смысловая схема.

Ситуация	Главная мысль
Арифметика пределов	Сначала убедиться, что исходные пределы существуют; для частного предел знаменателя должен быть ненулевым.
Теорема о зажатой функции	Если $h(x)\leq g(x)\leq f(x)$ , а обе границы стремятся к одному $A$ , то и $g(x)\to A$ .
$\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$	У многочленов сравнить старшие степени; при неограниченном результате обязательно определить знак.
Односторонние пределы	Если к точке можно подходить по области определения и слева, и справа, двусторонний конечный предел существует именно при совпадении левого и правого конечных пределов.
$\left[\dfrac00\right]$ у многочленов	Найти общий множитель $x-a$ и сократить его для $x\neq a$ .
$\left[\dfrac00\right]$ с корнями	Сопряжённое выражение превращает разность радикалов в разность квадратов.
$[\infty-\infty]$	Сопряжённое часто переводит разность в дробь, где можно сравнить скорости роста.
Корень на бесконечности	Всегда помнить $\sqrt{x^2}=\|x\|$ и только затем учитывать знак $x$ .

Удобно держать в голове один маршрут:

\begin{gathered} \text{диагностическая проверка} \longrightarrow \text{проверка условий} \longrightarrow \text{тип ситуации}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{подходящее преобразование} \longrightarrow \text{повторная проверка} \longrightarrow \text{предел} \end{gathered}

Эти методы составляют базовый набор алгебраических приёмов для вычисления пределов, но не исчерпывают все возможные неопределённости. Например, форма $[0\cdot\infty]$ потребует отдельного преобразования. Следующий естественный шаг — замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые, которые позволяют работать с тригонометрическими, показательными и логарифмическими выражениями.

Свойства и базовые приёмы вычисления пределов функций

Содержание

С чего начинать вычисление предела
Арифметические свойства пределов
Теорема о зажатой функции
Неопределённость — это не ответ
Неопределённость $\dfrac{\infty}{\infty}$ : отношение многочленов
Односторонние пределы
Неопределённость $\dfrac00$ : многочлены
Неопределённость $\dfrac00$ : корни и сопряжённое
Неопределённость $\infty-\infty$
Как выбрать метод
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Что даст эта статья.

После неё вы сможете не просто узнавать записи вроде

\left[\frac00\right], \qquad \left[\frac{\infty}{\infty}\right], \qquad [\infty-\infty],

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

С чего начинать вычисление предела

Пусть требуется найти

\lim_{x\to a}F(x)

Эта запись читается так: «предел функции $F(x)$ при $x$ , стремящемся к $a$ ». Если

\lim_{x\to a}F(x)=L,

Первый полезный вопрос очень простой: что получится, если вместо $x$ поставить $a$ ?

Пример

Вычислим

\lim_{x\to2}\frac{x^2+3x-1}{x+4}

2^2+3\cdot2-1=9,

а для знаменателя

2+4=6\neq0

Предел знаменателя ненулевой, поэтому теперь выполнены условия правила для частного:

\lim_{x\to2}\frac{x^2+3x-1}{x+4} =\frac96 =\frac32

Почему одного значения $F(a)$ недостаточно?

0<|x-a|<\delta

Арифметические свойства пределов

Пусть существуют конечные пределы

\lim_{x\to x_0}f(x)=A, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=B

Тогда пределы можно сочетать почти так же, как обычные числа, но у каждого правила есть свои условия.

Операция	Чт о нужно проверить
Сумма и разность	Оба исходных конечных предела существуют.
Произведение	Оба исходных конечных предела существуют.
Частное	Оба предела существуют, и предел знаменателя не равен нулю.
Натуральная степень	Предел основания существует и конечен.

\sqrt{u(x)}\to\sqrt U

Для корня нечётной степени ограничение $U\geq0$ не требуется.

Теорема о зажатой функции

Почему $\cos\dfrac1x$ не имеет предела при $x\to0$? Идея критерия Гейне.

x_n=\frac1{2\pi n}, \qquad y_n=\frac1{(2n+1)\pi}, \qquad n\geq1

Обе стремятся к нулю, но

\cos\frac1{x_n}=1, \qquad \cos\frac1{y_n}=-1

Пример

Найдём

\lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x

-1\leq\cos\frac1x\leq1

Так как $x^2\geq0$ , умножение не меняет знаки неравенств:

-x^2 \leq x^2\cos\frac1x \leq x^2

Обе границы стремятся к нулю:

\lim_{x\to0}(-x^2)=0, \qquad \lim_{x\to0}x^2=0

По теореме о зажатой функции

\lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x=0

Неопределённость — это не ответ

\left[\frac00\right], \qquad \left[\frac{\infty}{\infty}\right], \qquad [\infty-\infty]

Квадратные скобки здесь подчёркивают: это тип неопределённости, а не значение предела.

Форма	Пример при $x\to+\infty$ или $x\to0$	Итог
$\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$	$\dfrac{x}{x^2}$ , $\dfrac{x}{x}$ , $\dfrac{x^2}{x}$	$0,\ 1,\ +\infty$
$\left[\dfrac00\right]$	$\dfrac{x^2}{x}$ , $\dfrac{x}{x}$ , $\dfrac{x}{x^2}$ при $x\to0$	$0,\ 1,$ двустороннего предела нет
$[\infty-\infty]$	$x-x$ , $(x+1)-x$ , $2x-x$	$0,\ 1,\ +\infty$

Неопределённость $\dfrac{\infty}{\infty}$ : отношение многочленов

Пусть

R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

где $P$ и $Q$ — многочлены. На бесконечности главным становится поведение старших степеней.

\frac{P(x)}{Q(x)} \quad\text{ведёт себя как}\quad \frac{a_n}{b_m}x^{\,n-m}

Эта запись сразу объясняет все три случая.

Сравнение степеней	Что происходит
$n<m$	В знаменателе остаётся более высокая степень, поэтому предел равен $0$ .
$n=m$	Степени сокращаются, и предел равен $\dfrac{a_n}{b_m}$ .
$n>m$	По модулю дробь растёт как $\left\|\dfrac{a_n}{b_m}\right\|\|x\|^{\,n-m}$ . Знак нужно определить по $\dfrac{a_n}{b_m}$ , направлению $x\to+\infty$ или $x\to-\infty$ и чётности $n-m$ .

Односторонние пределы

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$x\to a^-,\quad x\to a^+$	«икс стремится к $a$ слева; икс стремится к $a$ справа»	К точке $a$ приближаются только с указанной стороны.
$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$	«для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля»	Какую бы точность по значениям функции ни потребовали, можно подобрать достаточную близость аргумента к $a$ .
$\forall x\in D_f:\ a-\delta<x<a$	«для любого допустимого $x$ между $a-\delta$ и $a$ »	Проверяются все достаточно близкие к $a$ точки области определения слева.
$\forall x\in D_f:\ a<x<a+\delta$	«для любого допустимого $x$ между $a$ и $a+\delta$ »	Проверяются все достаточно близкие к $a$ точки области определения справа.
$\Longrightarrow\ \|f(x)-L\|<\varepsilon$	«тогда модуль $f(x)-L$ меньше эпсилон»	Значение $f(x)$ оказывается от $L$ на расстоянии меньше заданной точности $\varepsilon$ .

Определение

Левый предел

\lim_{x\to a^-}f(x)=L

означает, что $x$ приближается к $a$ по точкам области определения, оставаясь меньше $a$ . Формально

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D_f:\quad a-\delta<x<a \ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon

Правый предел

\lim_{x\to a^+}f(x)=L

описывает приближение по точкам $D_f$ со стороны $x>a$ :

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D_f:\quad a<x<a+\delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-L|<\varepsilon

А что с бесконечными пределами?

Рассмотрим функцию:

f(x)=\frac{3x+2}{2x-1}

3\cdot\frac12+2=\frac72>0

Слева $2x-1<0$ и стремится к нулю, а справа $2x-1>0$ и тоже стремится к нулю. Поэтому

\lim_{x\to(\frac12)^-}\frac{3x+2}{2x-1}=-\infty, \qquad \lim_{x\to(\frac12)^+}\frac{3x+2}{2x-1}=+\infty

Неопределённость $\dfrac00$ : многочлены

Пусть при $x\to a$ дана дробь

\frac{P(x)}{Q(x)}

из многочленов, а подстановка даёт

P(a)=0, \qquad Q(a)=0

Получилась неопределённость $\dfrac00$ . Здесь общий нуль обычно указывает на общий множитель.

Отсюда получается алгоритм:

убедиться, что действительно получена форма $\dfrac00$ ;
разложить числитель и знаменатель на множители;
сократить общий множитель $x-a$ для $x\neq a$ ;
снова выполнить подстановку уже в сокращённое выражение.

Пример

Вычислим

\lim_{x\to-1} \frac{2x^2-3x-5}{x+1}

Подстановка даёт

2(-1)^2-3(-1)-5=0, \qquad -1+1=0

2x^2-3x-5 =(x+1)(2x-5)

Разложение легко проверить раскрытием скобок: $(x+1)(2x-5)=2x^2-3x-5$ . При $x\neq-1$ сокращаем общий множитель:

\begin{aligned} \lim_{x\to-1} \frac{(x+1)(2x-5)}{x+1} &= \lim_{x\to-1}(2x-5) \\ &= 2(-1)-5 = -7 \end{aligned}

Само исходное выражение при $x=-1$ не определено, но это не мешает пределу быть равным $-7$ .

Пример

Рассмотрим более объёмное разложение:

\lim_{x\to2} \frac{x^3-8}{x^3-3x-2}

Подстановка снова даёт $\dfrac00$ . В числителе используем формулу разности кубов $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ :

x^3-8=x^3-2^3 =(x-2)(x^2+2x+4)

x^3-3x-2 =(x-2)(x^2+2x+1)

\begin{aligned} \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)} {(x-2)(x^2+2x+1)} &= \lim_{x\to2} \frac{x^2+2x+4}{x^2+2x+1} \\ &= \frac{4+4+4}{4+4+1} = \frac{12}{9} = \frac43 \end{aligned}

После сокращения знаменатель при $x=2$ уже равен $9\neq0$ , поэтому обычное правило частного снова работает.

Неопределённость $\dfrac00$ : корни и сопряжённое

Для разности $A-B$ сопряжённым является $A+B$ , и наоборот. Их произведение убирает разность:

(A-B)(A+B)=A^2-B^2

Например,

\bigl(\sqrt{u}-\sqrt{v}\bigr) \bigl(\sqrt{u}+\sqrt{v}\bigr) =u-v

Пример

Теперь нуль создают радикалы и в числителе, и в знаменателе:

\lim_{x\to5} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}}

Подстановка даёт $\dfrac00$ . Рационализируем числитель:

\sqrt{6-x}-1 = \frac{(6-x)-1}{\sqrt{6-x}+1} = \frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}

Отдельно рационализируем знаменатель:

3-\sqrt{4+x} = \frac{9-(4+x)}{3+\sqrt{4+x}} = \frac{5-x}{3+\sqrt{4+x}}

При $x\neq5$ общий множитель $5-x$ сокращается:

\begin{aligned} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}} &= \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1} \end{aligned}

Теперь подстановка разрешена:

\lim_{x\to5} \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1} = \frac{3+\sqrt9}{\sqrt1+1} = \frac62 = 3

Неопределённость $\infty-\infty$

Пример

Вычислим предел

\lim_{x\to+\infty} \left(x-\sqrt{x^2+5x-2}\right)

Домножаем и делим на сопряжённую сумму:

\begin{aligned} x-\sqrt{x^2+5x-2} &= \frac{\left(x-\sqrt{x^2+5x-2}\right) \left(x+\sqrt{x^2+5x-2}\right)} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} \\ &= \frac{x^2-(x^2+5x-2)} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} \\ &= \frac{-5x+2} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} \end{aligned}

Получилась форма $\dfrac{\infty}{\infty}$ , которую уже умеем обрабатывать. В корне выделяем $x^2$ :

\sqrt{x^2+5x-2} = |x|\sqrt{1+\frac5x-\frac2{x^2}}

Так как здесь $x\to+\infty$ , для всех достаточно больших $x$ выполнено $|x|=x$ . Делим числитель и знаменатель на $x>0$ :

\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty} \frac{-5x+2} {x+\sqrt{x^2+5x-2}} &= \lim_{x\to+\infty} \frac{-5+\dfrac2x} {1+\sqrt{1+\dfrac5x-\dfrac2{x^2}}} \\ &= \frac{-5+0}{1+\sqrt1} = -\frac52 \end{aligned}

\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{x} =-1

Если бы мы ошибочно заменили $\sqrt{x^2}$ на $x$ , получился бы неверный ответ $1$ .

Как выбрать метод

Базовый порядок действий.

Уточните, куда стремится $x$ : к конечной точке, к $+\infty$ или к $-\infty$ .
Проведите диагностическую проверку: в конечной точке начните с подстановки, а при $x\to\pm\infty$ определите предельное поведение отдельных частей. Символ $\infty$ не является числом, поэтому запись $x=\infty$ здесь не используется.
Если в конечной точке получили обычное число, проверьте непрерывность составляющих и законность операций; только после этого заканчивайте вычисление подстановкой.
Если появилась неопределённость, определите её тип.
Выберите преобразование, которое устраняет именно источник этой неопределённости.
После преобразования снова проверьте знаменатели, области определения, знаки и направление предела.

Что увидели	Что это обычно означает	Первый разумный шаг
Обычное число после подстановки в конечной точке	Возможно, предел находится по непрерывности	Проверить непрерывность составляющих и условия операций; только затем закончить подстановкой.
$\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$ у многочленов	Конкурируют скорости роста	Выделить старшую степень или разделить на неё.
$\left[\dfrac00\right]$ у многочленов	Скрыт общий множитель $x-a$	Разложить на множители и сократить в проколотой окрестности.
$\left[\dfrac00\right]$ с корнями	Общий множитель скрыт радикалом	Использовать сопряжённое выражение.
$[\infty-\infty]$ с корнями	Два больших слагаемых почти компенсируются	Домножить на сопряжённое и получить дробь.
Знаменатель $\to0$ , числитель $\to C\neq0$	Возможны разные знаки слева и справа	Исследовать односторонние пределы и знак выражения.
Сложная, но зажатая функция	Прямой предел внутренней части может не существовать	Найти две простые границы и применить теорему о зажатой функции.

Пример

Посмотрим, как два приёма могут работать вместе:

\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-2}

Подстановка даёт $\dfrac00$ . В числителе сразу виден множитель

x^2-4=(x-2)(x+2)

а в знаменателе такой множитель скрыт корнем. Рационализируем знаменатель:

\sqrt{x+2}-2 = \frac{x+2-4}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}

При $x\neq2$

\begin{aligned} \frac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-2} &= \frac{(x-2)(x+2)} {\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}} \\ &= (x+2)(\sqrt{x+2}+2) \end{aligned}

Теперь неопределённость исчезла:

\lim_{x\to2} (x+2)(\sqrt{x+2}+2) = 4(2+2) = 16

Метод здесь выбрался не по слову «корень», а по задаче: сделать скрытый множитель $x-2$ явным.

Типичные ошибки

Проверьте себя

Попробуйте сначала ответить самостоятельно, а затем свериться с ответами ниже.

Что означает запись $\left[\dfrac00\right]$ : значение предела, отсутствие предела или сигнал, что прямой подстановки недостаточно?
Известно, что
$f(x)\to3, \qquad g(x)\to-2 \qquad (x\to x_0)$
Найдите
$\lim_{x\to x_0} \frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)}$
и проверьте условие для знаменателя.
Вычислите
$\lim_{x\to+\infty} \frac{7x^2-x+3}{2x^2+5}$
Определите знак бесконечного предела:
$\lim_{x\to-\infty} \frac{x^3+1}{x^2+4}$
Исследуйте односторонние пределы функции
$\frac1{(x-1)^2}$
при $x\to1$ . Можно ли записать общий бесконечный предел?
Вычислите
$\lim_{x\to2} \frac{x^2+x-6}{x-2}$
Используйте сопряжённое выражение:
$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
Вычислите
$\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)$
Какую теорему удобнее всего применить к
$\lim_{x\to0}|x|\sin\frac1x$
если предел $\sin\dfrac1x$ не существует?
Почему сокращение множителя $x-a$ при вычислении предела $x\to a$ не означает, что мы разрешили деление на ноль?
Найдите
$\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}$
Существует ли двусторонний предел?
Какое дополнительное условие нужно проверить, чтобы из
$f(x)\to A, \qquad g(x)\to B$
заключить
$\frac{f(x)}{g(x)}\to\frac AB?$

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Запись $\left[\frac00\right]$ — не значение предела и не сообщение о том, что предела нет. Это неопределённая форма: прямая подстановка дала ноль и в числителе, и в знаменателе, поэтому по одной этой записи ответ определить нельзя. Например,
$\frac{x}{x}=1 \quad (x\neq0), \qquad \frac{x^2}{x}=x \quad (x\neq0),$
поэтому при $x\to0$ первая дробь стремится к $1$ , а вторая — к $0$ . Значит, после появления $\frac00$ нужно преобразовывать конкретное выражение.
Из условий
$f(x)\to3, \qquad g(x)\to-2 \qquad (x\to x_0)$
сначала найдём предел числителя:
$2f(x)+g(x)\to2\cdot3+(-2)=4$
Теперь проверим знаменатель:
$f(x)-g(x)\to3-(-2)=5\neq0$
Именно ненулевой предел знаменателя разрешает применить правило частного. Поэтому
$\lim_{x\to x_0}\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} =\frac45$
И числитель, и знаменатель имеют степень $2$ . Чтобы не пользоваться правилом как «лайфхаком», разделим дробь на $x^2$ :
$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{7x^2-x+3}{2x^2+5} &= \lim_{x\to+\infty} \frac{7-\dfrac1x+\dfrac3{x^2}} {2+\dfrac5{x^2}} \\ &=\frac{7-0+0}{2+0} =\frac72 \end{aligned}$
Все дроби $\dfrac1x$ и $\dfrac1{x^2}$ стремятся к нулю, поэтому остаётся отношение старших коэффициентов.
Выделим множитель $x$ :
$\frac{x^3+1}{x^2+4} = x\,\frac{1+\dfrac1{x^3}}{1+\dfrac4{x^2}}$
Внутренняя дробь стремится к $1>0$ . Значит, начиная с некоторого момента её знак положителен, и знак всего выражения определяется множителем $x$ . Так как $x\to-\infty$ , получаем
$\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{x^2+4}=-\infty$
Рассмотрим
$\frac1{(x-1)^2}$
При $x\neq1$ квадрат $(x-1)^2$ всегда положителен. Когда $x\to1$ с любой стороны, этот положительный знаменатель стремится к нулю. Поэтому дробь становится сколь угодно большой положительной:
$\lim_{x\to1^-}\frac1{(x-1)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{(x-1)^2}=+\infty$
Односторонние бесконечные пределы совпадают, поэтому здесь принято писать и общий двусторонний бесконечный предел
$\lim_{x\to1}\frac1{(x-1)^2}=+\infty$
Подстановка даёт $\dfrac00$ , поэтому разложим числитель:
$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$
Для $x\neq2$ можно сократить общий множитель $x-2$ :
$\frac{x^2+x-6}{x-2}=x+3$
Предел рассматривает как раз значения $x$ , близкие к $2$ , но отличные от $2$ , поэтому сокращение законно. Тогда
$\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+3) =5$
Подстановка снова даёт $\dfrac00$ . Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{1+x}+1$ :
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)} \\ &= \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} \end{aligned}$
При $x\neq0$ сокращаем $x$ :
$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac1{\sqrt{1+x}+1}$
Теперь знаменатель при $x=0$ равен $2\neq0$ , и обычная подстановка допустима:
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\frac12$
Получаем форму $[\infty-\infty]$ , поэтому используем сопряжённую сумму:
$\begin{aligned} \sqrt{x^2+4x}-x &= \frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x} \\ &= \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} \end{aligned}$
При $x\to+\infty$ все достаточно большие $x$ положительны, поэтому
$\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac4x}$
Делим числитель и знаменатель на $x>0$ :
$\frac{4}{\sqrt{1+\dfrac4x}+1} \longrightarrow \frac4{1+1}=2$
Следовательно, исходный предел равен $2$ .
Сам предел $\sin\dfrac1x$ при $x\to0$ не существует, но для любого $x\neq0$
$-1\leq\sin\frac1x\leq1$
Умножаем на $|x|\geq0$ , поэтому знаки неравенств сохраняются:
$-|x| \leq |x|\sin\frac1x \leq |x|$
Обе границы стремятся к нулю. По теореме о зажатой функции
$\lim_{x\to0}|x|\sin\frac1x=0$
Сокращение выполняется не в самой точке $x=a$ , а для близких к ней значений $x\neq a$ . В проколотой окрестности
$x-a\neq0,$
поэтому деление на этот множитель законно. После сокращения исходная и новая функции совпадают во всех рассматриваемых точках достаточно близко к $a$ ; возможное различие только в самой точке $a$ на предел не влияет.
У дроби
$\frac1{x-1}$
числитель постоянно положителен. При $x\to1^-$ знаменатель $x-1$ отрицателен и стремится к нулю, поэтому
$\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty$
При $x\to1^+$ знаменатель положителен и стремится к нулю:
$\lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty$
Левое и правое поведения различаются, поэтому общего двустороннего предела в этой точке нет.
Для правила частного недостаточно только существования пределов $A$ и $B$ . Нужно дополнительно проверить
$B\neq0$
Тогда достаточно близко к предельной точке знаменатель $g(x)$ остаётся отделённым от нуля, и деление корректно. После этой проверки можно заключить
$\frac{f(x)}{g(x)}\to\frac AB$

Решения задач по ходу статьи.

По арифметическим свойствам пределов
$2f(x)+3g(x)\to2(-2)+3\cdot3=5$
Для произведения сначала находим пределы обоих множителей:
$f(x)-g(x)\to-2-3=-5, \qquad f(x)+g(x)\to-2+3=1$
Поэтому
$\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\to(-5)\cdot1=-5$
В третьем выражении отдельно проверяем знаменатель:
$f(x)+g(x)\to1\neq0$
Значит, правило частного применимо, и
$\frac{2f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)} \to \frac{2(-2)-3}{-2+3} =-7$
Из неравенства
$-1\leq\sin\frac1x\leq1$
и условия $x^2\geq0$ получаем
$-x^2 \leq x^2\sin\frac1x \leq x^2$
При $x\to0$
$-x^2\to0, \qquad x^2\to0$
Обе зажимающие функции имеют один предел, поэтому по теореме о зажатой функции
$\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0$
Выделим множитель $x$ :
$\frac{2x^5-x}{x^4+3} = x\,\frac{2-\dfrac1{x^4}}{1+\dfrac3{x^4}}$
Внутренняя дробь стремится к
$\frac{2-0}{1+0}=2>0$
Следовательно, её знак начиная с некоторого момента положителен. Поскольку $x\to-\infty$ , произведение положительной величины, близкой к $2$ , на $x$ стремится к $-\infty$ :
$\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^5-x}{x^4+3}=-\infty$
Для
$r(x)=\frac{x+1}{x-2}$
около точки $2$ числитель $x+1$ близок к $3$ , поэтому остаётся положительным. Слева от $2$
$x-2\to0^-,$
значит,
$\lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty$
Справа
$x-2\to0^+,$
поэтому
$\lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty$
Односторонние пределы различаются, следовательно, двустороннего предела при $x\to2$ нет.
Подстановка даёт $\dfrac00$ . Используем разность квадратов:
$x^2-9=(x-3)(x+3)$
Для $x\neq3$
$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$
Мы не делим на ноль: сокращение выполняется только в проколотой окрестности точки $3$ , где $x-3\neq0$ . Поэтому
$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3} =\lim_{x\to3}(x+3) =6$
Подстановка даёт $\dfrac00$ . Сопряжённое к числителю — $\sqrt{x+4}+3$ . Домножаем на него:
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} &= \frac{(\sqrt{x+4}-3)(\sqrt{x+4}+3)} {(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \\ &= \frac{x+4-9}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \\ &= \frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)} \end{aligned}$
При $x\neq5$ сокращается именно множитель $x-5$ :
$\frac1{\sqrt{x+4}+3}$
Теперь можно подставить $x=5$ :
$\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} =\frac1{3+3} =\frac16$
Здесь получаем форму $[\infty-\infty]$ . Домножаем на сопряжённую сумму:
$\begin{aligned} \sqrt{x^2+3x}-x &= \frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} \\ &= \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} \end{aligned}$
Так как $x\to+\infty$ , все достаточно большие $x$ положительны. Поэтому $|x|=x$ , и
$\sqrt{x^2+3x} =x\sqrt{1+\frac3x}$
После деления числителя и знаменателя на $x>0$ получаем
$\frac3{\sqrt{1+\dfrac3x}+1} \longrightarrow \frac3{1+1} =\frac32$
Следовательно,
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\frac32$

Итог

Главная смысловая схема.

Ситуация	Главная мысль
Арифметика пределов	Сначала убедиться, что исходные пределы существуют; для частного предел знаменателя должен быть ненулевым.
Теорема о зажатой функции	Если $h(x)\leq g(x)\leq f(x)$ , а обе границы стремятся к одному $A$ , то и $g(x)\to A$ .
$\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]$	У многочленов сравнить старшие степени; при неограниченном результате обязательно определить знак.
Односторонние пределы	Если к точке можно подходить по области определения и слева, и справа, двусторонний конечный предел существует именно при совпадении левого и правого конечных пределов.
$\left[\dfrac00\right]$ у многочленов	Найти общий множитель $x-a$ и сократить его для $x\neq a$ .
$\left[\dfrac00\right]$ с корнями	Сопряжённое выражение превращает разность радикалов в разность квадратов.
$[\infty-\infty]$	Сопряжённое часто переводит разность в дробь, где можно сравнить скорости роста.
Корень на бесконечности	Всегда помнить $\sqrt{x^2}=\|x\|$ и только затем учитывать знак $x$ .

Удобно держать в голове один маршрут:

\begin{gathered} \text{диагностическая проверка} \longrightarrow \text{проверка условий} \longrightarrow \text{тип ситуации}\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{подходящее преобразование} \longrightarrow \text{повторная проверка} \longrightarrow \text{предел} \end{gathered}

Свойства и базовые приёмы вычисления пределов функций

Содержание

С чего начинать вычисление предела

Арифметические свойства пределов

Теорема о зажатой функции

Неопределённость — это не ответ

Неопределённость \(\dfrac{\infty}{\infty}\): отношение многочленов

Односторонние пределы

Неопределённость \(\dfrac00\): многочлены

Неопределённость \(\dfrac00\): корни и сопряжённое

Неопределённость \(\infty-\infty\)

Как выбрать метод

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Свойства и базовые приёмы вычисления пределов функций

Содержание

С чего начинать вычисление предела

Арифметические свойства пределов

Теорема о зажатой функции

Неопределённость — это не ответ

Неопределённость \(\dfrac{\infty}{\infty}\): отношение многочленов

Односторонние пределы

Неопределённость \(\dfrac00\): многочлены

Неопределённость \(\dfrac00\): корни и сопряжённое

Неопределённость \(\infty-\infty\)

Как выбрать метод

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Неопределённость $\dfrac{\infty}{\infty}$ : отношение многочленов

Неопределённость $\dfrac00$ : многочлены

Неопределённость $\dfrac00$ : корни и сопряжённое

Неопределённость $\infty-\infty$

Неопределённость $\dfrac{\infty}{\infty}$ : отношение многочленов

Неопределённость $\dfrac00$ : многочлены

Неопределённость $\dfrac00$ : корни и сопряжённое

Неопределённость $\infty-\infty$