Производная функции: от скорости изменения к касательной

Содержание

От средней скорости к мгновенной
Приращения и разностное отношение
Строгое определение производной
Как находить производную по определению
Секущая, касательная и геометрический смысл
Механический смысл производной
Что говорят знак и нулевое значение производной
Дифференцируемость и непрерывность
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Для чтения достаточно понимать, что такое функция и её график, уметь находить угловой коэффициент прямой и знать основной смысл предела функции. Если предел пока воспринимается непривычно, ключевые переходы будем каждый раз проговаривать словами.

По ходу статьи встречаются два вида практики. В блоках «Пример» метод разобран полностью. Блоки «Задача» предназначены для самостоятельной работы; ответы к ним собраны в конце вместе с ответами к разделу «Проверьте себя».

От средней скорости к мгновенной

Представьте поездку на автомобиле по прямой. Пусть за $2$ часа его координата увеличилась на $100$ километров. Тогда средняя скорость на всём промежутке равна

\frac{100\,\text{км}}{2\,\text{ч}} = 50\,\frac{\text{км}}{\text{ч}}

Это число описывает изменение координаты за большой промежуток времени, но не говорит, с какой скоростью автомобиль двигался в каждую отдельную секунду: он мог разгоняться, тормозить и останавливаться. Спидометр отвечает на другой вопрос — как быстро меняется положение сейчас.

Здесь и далее под средней скоростью мы понимаем среднюю скорость изменения координаты; она может быть как положительной, так и отрицательной. Это отличается от средней быстроты, связанной с пройденным путём. К этому различию вернёмся в разделе о механическом смысле производной.

Ту же проблему сформулируем математически. Пусть $s(t)$ — координата движущейся точки в момент времени $t$ . Для $\Delta t\neq0$ рассмотрим отношение

v_{\text{ср}} = \frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}

При $\Delta t>0$ оно сравнивает момент $t_0$ с более поздним моментом, а при $\Delta t<0$ — с более ранним. Отрицательное $\Delta t$ не означает «отрицательную длительность»: оно лишь показывает, что мы подходим к $t_0$ слева по оси времени.

Чем меньше $|\Delta t|$ , тем ближе сравниваемый момент к $t_0$ . Если при приближении и справа, и слева соответствующие средние скорости стремятся к одному конечному числу, это число естественно принять за мгновенную скорость в момент $t_0$ .

Пример

Пусть координата точки задаётся законом

s(t)=t^2

где $s$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах. Посмотрим на движение около момента $t_0=2$ . Для $\Delta t\neq0$

\begin{aligned} v_{\text{ср}} &=\frac{(2+\Delta t)^2-2^2}{\Delta t}=\\ &=\frac{4+4\Delta t+(\Delta t)^2-4}{\Delta t}=\\ &=4+\Delta t \end{aligned}

Значит, при уменьшении $\Delta t$ средняя скорость приближается к $4$ .

-2pt $\Delta t>0$	$v_{\text{ср}}$	$\Delta t<0$	$v_{\text{ср}}$
$0{,}5$	$4{,}5$	$-0{,}5$	$3{,}5$
$0{,}1$	$4{,}1$	$-0{,}1$	$3{,}9$

С обеих сторон значения стремятся к $4$ . Поэтому мгновенная скорость в момент $t=2$ равна $4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Здесь появилась главная идея производной: берём среднюю скорость изменения на малом промежутке и затем уменьшаем этот промежуток до нуля в смысле предела.

Приращения и разностное отношение

Идея не зависит от физики. Пусть есть произвольная функция $y=f(x)$ и фиксирована точка $x_0$ . Сдвинем аргумент от $x_0$ к $x_0+\Delta x$ .

Разностное отношение отвечает на вопрос: на сколько единиц в среднем меняется значение функции при изменении аргумента на одну единицу на выбранном промежутке. Знак отношения тоже важен: если $\Delta x$ и $\Delta y$ имеют одинаковые знаки, отношение положительно; если разные — отрицательно.

Единицы измерения у разностного отношения наследуются от исходных величин. Если $x$ измеряется в секундах, а $f(x)$ — в метрах, то $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ измеряется в метрах в секунду. Если $x$ измеряется в метрах, а $f(x)$ — в градусах, единицей будет «градус на метр». У производной будет тот же тип единиц.

На графике это число имеет точный геометрический смысл. Точки

A=(x_0,f(x_0)) \qquad B=(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))

лежат на графике. Прямая $AB$ называется секущей, а её угловой коэффициент равен

k_{AB} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

LaTeX — Разностное отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ равно угловому коэффициенту секущей через две точки графика

Строгое определение производной

Теперь сделаем решающий шаг: будем уменьшать модуль приращения аргумента и следить не за самой секущей, а за её наклоном. Само приращение при этом остаётся ненулевым: мы рассматриваем всё более близкие к $x_0$ точки, но не подменяем предел подстановкой $x=x_0$ .

Это определение относится к обычной двусторонней производной во внутренней точке области определения. В граничной точке можно рассматривать одностороннюю производную; к ней вернёмся ниже.

В самой дроби всегда $x\neq x_0$ . Предел исследует значения дроби рядом с $x_0$ , поэтому деления на ноль в определении не происходит.

Если положить

h=x-x_0

то $x=x_0+h$ , а условие $x\to x_0$ равносильно $h\to0$ . Получаем вторую, полностью равносильную форму определения:

f'(x_0) = \lim_{h\to0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Если вместо $h$ использовать обозначение приращения аргумента $\Delta x$ , получаем ту же запись:

f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

-2pt Фрагмент записи	Что означает
$x\to x_0$	Точка с абсциссой $x$ приближается к фиксированной точке $x_0$ , но в разностном отношении остаётся отличной от неё.
$h=x-x_0,\quad x=x_0+h$	$h$ показывает, на сколько и в какую сторону мы сдвинулись от $x_0$ ; точка $x_0+h$ лежит рядом с $x_0$ .
$h\to0$	Модуль сдвига уменьшается: точка $x_0+h$ приближается к $x_0$ и справа, и слева.
$\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Разностное отношение: средняя скорость изменения функции на ненулевом промежутке и одновременно наклон секущей.
$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Производная в точке: конечное число, к которому стремятся наклоны секущих, когда вторая точка приближается к $x_0$ .

Кроме записи $f'(x_0)$ , часто используют обозначение

\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_0}

Оно обозначает ту же производную функции $f$ по переменной $x$ , вычисленную в точке $x_0$ . На этом этапе важно не воспринимать символ $\dfrac{df}{dx}$ как обычную числовую дробь: это специальное обозначение производной. Позже, когда появятся дифференциалы, смысл этой записи станет богаче, но определение производной сейчас задаётся именно пределом разностного отношения.

Как находить производную по определению

На первых задачах полезно не запоминать готовые правила, а каждый раз проходить один и тот же маршрут:

\begin{gathered} f(x_0+h)-f(x_0) \longrightarrow \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \longrightarrow \text{упрощение при }h\neq0 \longrightarrow \lim_{h\to0} \end{gathered}

Пример

Найдём производную $f(x)=x^2$ уже не в одной точке, а в произвольной точке $x_0$ . Имеем

\begin{aligned} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} &=\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=\\ &=\frac{2x_0h+h^2}{h}=\\ &=2x_0+h \end{aligned}

Следовательно,

f'(x_0) = \lim_{h\to0}(2x_0+h) = 2x_0

Поскольку $x_0$ был произвольным, можно заменить его обычной переменной $x$ и записать

f'(x)=2x

Здесь уже $f'$ — новая функция, но её область определения состоит только из тех точек, где у исходной функции существует конечная производная. Для $f(x)=x^2$ производная существует при всех действительных $x$ , поэтому в данном случае $f'(x)=2x$ определена на всей числовой прямой.

При работе по определению главный технический вопрос обычно один: как упростить разностное отношение при $h\neq0$ , чтобы затем можно было перейти к пределу. Для многочленов часто помогает вынесение $h$ за скобки; для выражений с корнями — домножение на сопряжённое; для дробно-рациональных функций — приведение к общему знаменателю. Во всех случаях преобразования выполняются при $h\neq0$ , то есть до перехода к пределу.

Перед примером с корнем напомним школьное тождество

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Выражения $a-b$ и $a+b$ называют сопряжёнными. Если в разностном отношении появляется разность квадратных корней, домножение на сопряжённую сумму позволяет убрать корни из числителя с помощью разности квадратов.

Пример

Рассмотрим функцию

f(x)=\sqrt{x}

и найдём её производную в точке $x_0=1$ по определению. Получаем

f'(1) = \lim_{h\to0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h}

Прямо подставлять $h=0$ нельзя: снова возникло бы $\frac00$ . Здесь $a=\sqrt{1+h}$ , $b=1$ , поэтому сопряжённым к $\sqrt{1+h}-1$ является выражение $\sqrt{1+h}+1$ . Домножаем числитель и знаменатель на него:

\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} &=\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\\ &=\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+h}+1},\qquad h\neq0 \end{aligned}

Для достаточно малых $|h|$ выражение $1+h$ положительно, поэтому корень определён. После сокращения можно перейти к пределу:

f'(1) = \lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1} = \frac12

Этот пример показывает, что при вычислении производной по определению главный технический шаг — не всегда раскрытие скобок. Иногда нужно сначала преобразовать разностное отношение так, чтобы устранить неопределённость вида $\dfrac00$ .

Пример

Теперь разберём другой тип преобразования. Пусть

f(x)=\frac1x

и $x_0\neq0$ . Условие $x_0\neq0$ важно: в нуле сама функция не определена, поэтому производную там искать нельзя. По определению

\begin{aligned} f'(x_0) &=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac1{x_0+h}-\dfrac1{x_0}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x_0-(x_0+h)}{x_0(x_0+h)h}=\\ &=\lim_{h\to0}\frac{-h}{x_0(x_0+h)h} =\lim_{h\to0}\left(-\frac1{x_0(x_0+h)}\right) =-\frac1{x_0^2} \end{aligned}

Во второй строке мы привели две дроби к общему знаменателю. Сокращение на $h$ законно, потому что при вычислении разностного отношения рассматриваются только $h\neq0$ . Кроме того, при достаточно малых $|h|$ число $x_0+h$ остаётся ненулевым, так как $x_0\neq0$ . Поэтому окончательно

f'(x)=-\frac1{x^2} \qquad x\neq0

Этот пример показывает, что перед вычислением предела иногда нужно сначала привести дроби к общему знаменателю и обязательно сохранить ограничения области определения.

Секущая, касательная и геометрический смысл

Вернёмся к графику. Для каждого ненулевого $h$ точки

A=(x_0,f(x_0)) \qquad B_h=(x_0+h,f(x_0+h))

задают секущую. Её угловой коэффициент равен разностному отношению

k_h = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Если производная $f'(x_0)$ существует и конечна, то касательной к графику функции в точке $A$ назовём прямую, проходящую через $A$ и имеющую угловой коэффициент $f'(x_0)$ . При этом

k_h\to f'(x_0)\qquad h\to0,

поэтому геометрически касательную можно воспринимать как предельное положение секущих.

На рисунке ниже синяя кривая — график $y=x^2$ , а точка $A$ соответствует $x_0=1$ . Остальные отмеченные точки — возможные положения точки $B_h$ при отрицательных и положительных $h$ . Цветные прямые — соответствующие секущие через $A$ и $B_h$ . Чем ближе $B_h$ к $A$ , тем ближе наклон секущей к $2$ . Тёмная прямая — касательная $y=2x-1$ , её наклон равен $2=f'(1)$ .

Угол наклона прямой измеряют от положительного направления оси $x$ до самой прямой против часовой стрелки. Если касательная невертикальна и образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha$ , отличный от $\dfrac{\pi}{2}$ , то её угловой коэффициент равен $\tan\alpha$ . Поэтому при существовании конечной производной геометрический смысл записывается так:

\boxed{f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha}

Пример

Рассмотрим функцию

f(x)=\sqrt[3]{x-1}

в точке $x_0=1$ . Здесь $f(1)=0$ . Для $h\neq0$ разностное отношение равно

\begin{aligned} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\frac{\sqrt[3]{h}}{h}=\\ &=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{h}\right)^2} \end{aligned}

При $h\to0$ число $\sqrt[3]{h}$ стремится к нулю, а его квадрат остаётся положительным при $h\neq0$ . Поэтому

\frac{1}{\left(\sqrt[3]{h}\right)^2} \longrightarrow +\infty

Запись $\longrightarrow+\infty$ читается «стремится к плюс бесконечности»: значения становятся сколь угодно большими и не приближаются ни к какому конечному числу.

Разностное отношение не стремится к конечному числу, поэтому конечной производной $f'(1)$ нет. Однако наклоны секущих становятся всё больше, и график приближается к вертикальному направлению. В точке $(1,0)$ вертикальная касательная имеет уравнение

x=1

Этот пример показывает разницу между существованием вертикальной касательной и существованием конечной производной.

У прямой с угловым коэффициентом $k$ , проходящей через точку $(x_0,y_0)$ , уравнение имеет вид

y-y_0=k(x-x_0)

Подставляя $y_0=f(x_0)$ и $k=f'(x_0)$ , получаем уравнение касательной:

\boxed{y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}

Зачем нужна касательная, кроме рисунка?

Если функция дифференцируема в $x_0$ , то совсем рядом с этой точкой её график хорошо приближается касательной. Поэтому для $x$ , близких к $x_0$ , можно мыслить так:

f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Это не означает, что график функции совпадает с касательной. Смысл в другом: при сильном увеличении небольшого участка около точки дифференцируемый график всё больше напоминает прямую с наклоном $f'(x_0)$ .

Например, для $f(x)=x^2$ около $x_0=1$ касательная имеет вид $y=2x-1$ . При $x=1{,}05$ она даёт приближённое значение $1{,}10$ , а точное значение функции равно $1{,}05^2=1{,}1025$ . Разница мала именно потому, что точка $1{,}05$ близка к $1$ .

Механический смысл производной

Пусть $s(t)$ — координата материальной точки, движущейся вдоль прямой. Тогда

\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}

— средняя скорость между моментами $t_0$ и $t_0+\Delta t$ . Такая формулировка удобна и при $\Delta t>0$ , и при $\Delta t<0$ : во втором случае момент $t_0+\Delta t$ находится раньше $t_0$ . Переходя к пределу, получаем мгновенную скорость:

\boxed{ v(t_0) = s'(t_0) = \lim_{\Delta t\to0} \frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} }

Если скорость сама меняется со временем и имеет производную, то производная скорости называется ускорением:

a(t)=v'(t)

Что говорят знак и нулевое значение производной

Геометрический смысл позволяет быстро читать знак производной.

-2pt Знак	Геометрический смысл в точке
$f'(x_0)>0$	Касательная поднимается слева направо: мгновенная скорость изменения положительна.
$f'(x_0)<0$	Касательная опускается слева направо: мгновенная скорость изменения отрицательна.
$f'(x_0)=0$	Касательная горизонтальна. Само по себе это ещё не означает максимум или минимум.

Для $f(x)=x^2$ имеем $f'(x)=2x$ . Поэтому слева от нуля производная отрицательна, в нуле равна нулю, а справа положительна. На следующем рисунке синяя кривая — график $y=x^2$ , а три цветные прямые — касательные в точках с абсциссами $-1$ , $0$ и $1$ .

Но из равенства $f'(x_0)=0$ нельзя автоматически заключать, что в точке находится вершина или впадина.

Запись $x\in I$ читается « $x$ принадлежит $I$ »: здесь речь идёт о точке $x$ , лежащей внутри рассматриваемого промежутка $I$ .

Для вывода о поведении функции на всём промежутке знак производной должен быть известен во всех его внутренних точках, а не в одной выбранной точке. Непрерывность на $I$ нужна, чтобы утверждение сохранялось и для включённых граничных точек.

Дифференцируемость и непрерывность

Перед сравнением двух понятий напомним, что означает непрерывность в точке.

Производная предъявляет к функции более сильное требование, чем непрерывность.

Если $f'(x_0)$ существует и конечна, то при $h\to0$ приращение функции $f(x_0+h)-f(x_0)$ должно стремиться к нулю. Именно это связывает существование производной с непрерывностью в точке.

Идея доказательства видна из равенства, верного при $h\neq0$ :

f(x_0+h)-f(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,h

Если $h\to0$ , первый множитель стремится к конечному числу $f'(x_0)$ , а второй — к нулю. Поэтому приращение функции стремится к нулю, то есть $f(x_0+h)\to f(x_0)$ . Это и есть механизм связи дифференцируемости с непрерывностью; строгая формализация использует свойства пределов.

Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Классический пример — функция

f(x)=|x|

Она непрерывна в нуле, поскольку

\lim_{x\to0}|x|=0=f(0)

Но разностное отношение в нуле ведёт себя по-разному справа и слева.

Определение

Знак $h\to0+$ означает, что $h$ остаётся положительным и приближается к нулю справа; знак $h\to0-$ означает, что $h$ остаётся отрицательным и приближается к нулю слева.

Правой производной в точке $x_0$ называют предел

f'_+(x_0) = \lim_{h\to0+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

а левой производной — предел

f'_-(x_0) = \lim_{h\to0-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

если соответствующие конечные пределы существуют. Обычная двусторонняя производная существует тогда, когда обе односторонние производные существуют и равны.

-2pt Фрагмент записи	Что означает здесь
$h\to0+$	$h$ остаётся положительным, поэтому точка $x_0+h$ приближается к $x_0$ только справа.
$f'_+(x_0)=\lim_{h\to0^+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Правая производная: предел наклонов секущих, когда вторая точка графика приближается к $x_0$ только справа.
$h\to0-$	$h$ остаётся отрицательным, поэтому точка $x_0+h$ приближается к $x_0$ только слева.
$f'_-(x_0)=\lim_{h\to0^-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Левая производная: предел наклонов секущих, когда вторая точка графика приближается к $x_0$ только слева.
$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$	Если обе односторонние производные существуют как конечные числа и совпадают, то существует обычная двусторонняя производная.

Для $f(x)=|x|$ и $x_0=0$ имеем при $h>0$

\frac{|h|-|0|}{h} = \frac{h}{h} =1

поэтому

f'_+(0)=1

При $h<0$ выполнено $|h|=-h$ , значит,

\frac{|h|-|0|}{h} = \frac{-h}{h} =-1

и потому

f'_-(0)=-1

Левая и правая производные не совпадают, поэтому $f'(0)$ не существует.

Типичные ошибки

Проверьте эти места перед решением.

Проверьте себя

Вопросы и мини-задачи.

Чем разностное отношение при фиксированном $h\neq0$ отличается от производной $f'(x_0)$ ?
Почему в определении производной нельзя просто подставить $h=0$ в дробь $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ ?
Что означает двусторонний переход $h\to0$ ? Что должно происходить с разностным отношением при $h\to0-$ и при $h\to0+$ , чтобы производная существовала?
Если $x$ измеряется в секундах, а $f(x)$ — в метрах, в каких единицах измеряется $f'(x)$ ?
Для $f(x)=x^2$ найдите $f'(3)$ , используя полученную в статье формулу $f'(x)=2x$ .
Запишите уравнение касательной к $y=x^2$ в точке с абсциссой $x_0=3$ .
Пусть координата тела $s(t)=t^2$ , где $s$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах. Найдите мгновенную скорость при $t=3$ .
Верно ли утверждение: «Если $f'(x_0)=0$ , то в точке $x_0$ обязательно находится максимум или минимум»? Обоснуйте ответ примером.
Может ли функция иметь конечную производную в точке и быть разрывной в этой же точке?
Функция $f(x)=|x|$ непрерывна в нуле. Почему этого недостаточно для существования $f'(0)$ ? Укажите значения односторонних производных.

Ответы к разделу «Проверьте себя».

При фиксированном $h\neq0$ разностное отношение
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
описывает среднюю скорость изменения функции между двумя различными точками $x_0$ и $x_0+h$ . Производная отвечает на другой вопрос: что происходит с этими средними скоростями, когда вторая точка приближается к первой. Поэтому
$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
если этот двусторонний предел существует и конечен. Итак, разностное отношение относится к конкретному ненулевому промежутку, а производная — к предельному поведению при исчезающей ширине промежутка.
Подстановка $h=0$ в саму дробь невозможна, потому что получается
$\frac{f(x_0)-f(x_0)}0=\frac00$
а деление на ноль не определено. В определении производной поэтому рассматривают только $h\neq0$ . Сначала разностное отношение упрощают при ненулевом $h$ , а затем исследуют, к какому числу оно стремится при $h\to0$ . Например, для $f(x)=x^2$
$\begin{aligned} \frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h} &=\frac{2x_0h+h^2}{h} =2x_0+h \end{aligned}$
и только после сокращения можно перейти к пределу.
Двусторонняя запись $h\to0$ означает, что рассматриваются два способа приближения: $h\to0-$ , когда $h<0$ , и $h\to0+$ , когда $h>0$ . Для существования обычной производной нужно, чтобы оба односторонних предела разностного отношения существовали как конечные числа и были равны:
$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$
Если значения различаются, как у $f(x)=|x|$ в нуле, двусторонней производной нет.
Единицы производной получаются как «единицы функции на единицу аргумента». Здесь $f(x)$ измеряется в метрах, а $x$ — в секундах, поэтому
$[f'(x)]=\frac{\text{м}}{\text{с}}$
То есть производная имеет размерность скорости.
В статье для функции $f(x)=x^2$ уже получена формула $f'(x)=2x$ . Подставляем $x=3$ :
$f'(3)=2\cdot3=6$
Значит, касательная к параболе в точке с абсциссой $3$ имеет угловой коэффициент $6$ .
Сначала найдём координаты точки касания и наклон касательной. Для $f(x)=x^2$
$f(3)=3^2=9 \qquad f'(3)=2\cdot3=6$
Точка касания имеет координаты $(3,9)$ . Используем формулу
$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$
Подставляем $x_0=3$ , $f(3)=9$ , $f'(3)=6$ :
$\begin{aligned} y-9&=6(x-3)=\\ &=6x-18 \end{aligned}$
поэтому
$y=6x-9$
Проверка точки касания: при $x=3$ правая часть равна $18-9=9$ , то есть прямая действительно проходит через $(3,9)$ .
Координата тела равна $s(t)=t^2$ . Мгновенная скорость — производная координаты:
$v(t)=s'(t)$
Для функции $t^2$ производная равна $2t$ , поэтому
$v(3)=2\cdot3=6\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$
Положительный знак означает, что в этот момент координата увеличивается.
Утверждение неверно. Рассмотрим $f(x)=x^3$ . По определению
$\begin{aligned} f'(0) &=\lim_{h\to0}\frac{h^3-0}{h}=\\ &=\lim_{h\to0}h^2=0 \end{aligned}$
Однако при $x<0$ близко к нулю имеем $x^3<0=f(0)$ , а при $x>0$ — $x^3>0=f(0)$ . Поэтому в любой окрестности нуля есть значения и меньше, и больше $f(0)$ : в нуле нет ни максимума, ни минимума. Равенство $f'(x_0)=0$ гарантирует только горизонтальную касательную.
Нет. Если конечная производная $f'(x_0)$ существует, то функция обязательно непрерывна в $x_0$ . Идея видна из равенства
$f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\,h$
Первый множитель стремится к конечному числу $f'(x_0)$ , второй — к нулю, поэтому приращение функции стремится к нулю. Следовательно, разрыв в той же точке невозможен.
Для $f(x)=|x|$ непрерывность в нуле действительно есть:
$\lim_{x\to0}|x|=0=f(0)$
Но для производной нужно проверить разностное отношение
$\frac{|h|-0}{h}=\frac{|h|}{h}$
Если $h>0$ , то $|h|=h$ , поэтому
$f'_+(0)=\lim_{h\to0+}\frac{h}{h}=1$
Если $h<0$ , то $|h|=-h$ , поэтому
$f'_-(0)=\lim_{h\to0-}\frac{-h}{h}=-1$
Получили разные значения: $f'_-(0)=-1$ и $f'_+(0)=1$ . Следовательно, обычная двусторонняя производная $f'(0)$ не существует. Непрерывность необходима для дифференцируемости, но сама по себе её не гарантирует.

Решения задач по ходу статьи.

Дано $f(x)=x^2$ , $x_0=1$ , $\Delta x=-\frac12$ . Сначала найдём вторую абсциссу:
$x_0+\Delta x=1-\frac12=\frac12$
Приращение функции равно
$\begin{aligned} \Delta y &=f\left(\frac12\right)-f(1)=\\ &=\frac14-1 =-\frac34 \end{aligned}$
Теперь делим приращение функции на приращение аргумента:
$\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} &=\frac{-\dfrac34}{-\dfrac12} =\frac32 \end{aligned}$
Оба приращения отрицательны, поэтому их отношение положительно. Ответ: $\Delta y=-\frac34$ , $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac32$ .
Дано $f(x)=\frac1x$ и $x_0=1$ . По определению
$\begin{aligned} f'(1) &=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac1{1+h}-1}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1-(1+h)}{h(1+h)}=\\ &=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h(1+h)} =\lim_{h\to0}\left(-\frac1{1+h}\right)= -1 \end{aligned}$
Сокращение на $h$ законно, поскольку $h\neq0$ внутри разностного отношения. Полученный ответ совпадает с общей формулой $f'(x)=-\frac1{x^2}$ : при $x=1$ она тоже даёт $-1$ .
Для $f(x)=x^2$ при $x_0=-1$ сначала находим точку касания и наклон:
$f(-1)=1 \qquad f'(-1)=2\cdot(-1)=-2$
Подставляем в формулу касательной:
$\begin{aligned} y-1&=-2(x+1)=\\ &=-2x-2 \end{aligned}$
поэтому
$y=-2x-1$
При $x=-1$ получаем $y=1$ , поэтому прямая проходит через нужную точку графика.
Пусть $g(x)=|x-2|$ , $x_0=2$ . Тогда
$g(2)=0 \qquad g(2+h)=|h|$
и разностное отношение равно
$\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac{|h|}{h}$
Справа от нуля $h>0$ , поэтому $|h|=h$ :
$g'_+(2)=\lim_{h\to0+}\frac{h}{h}=1$
Слева от нуля $h<0$ , поэтому $|h|=-h$ :
$g'_-(2)=\lim_{h\to0-}\frac{-h}{h}=-1$
Односторонние производные существуют, но не равны. Следовательно,
$g'(2)\text{ не существует}$
Геометрически в точке $(2,0)$ у графика есть излом: левый и правый наклоны различаются.

Итог

Производная соединяет три взгляда на одну идею: скорость изменения величины, предел разностных отношений и наклон касательной. Дальше её обычно вычисляют быстрее с помощью таблицы производных и правил дифференцирования.

Главная смысловая схема.

-2pt Понятие	Суть
Приращение	$\Delta x$ — изменение аргумента, $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — изменение функции.
Разностное отношение	При $\Delta x\neq0$ величина $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ даёт среднюю скорость изменения и наклон секущей.
Производная	$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ , если конечный двусторонний предел существует.
Двусторонность	Левый и правый пределы разностного отношения должны существовать как конечные числа и совпадать.
Производная как функция	$f'$ определена только там, где у $f$ существует конечная производная; её область определения может быть меньше области определения $f$ .
Единицы измерения	Единицы производной — «единица функции на единицу аргумента», например метры в секунду.
Геометрический смысл	Конечная производная — наклон невертикальной касательной: $f'(x_0)=\tan\alpha$ . При вертикальной касательной конечной производной нет.
Касательная	$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ; вблизи $x_0$ эта прямая приближает график функции.
Механический смысл	Для координаты $s(t)$ : $v(t)=s'(t)$ , а при существовании следующей производной $a(t)=v'(t)$ .
Нулевая производная	Означает горизонтальную касательную, но сама по себе не гарантирует экстремум.
Монотонность	При непрерывности на промежутке и дифференцируемости внутри него знак $f'$ во всех внутренних точках задаёт строгое возрастание или убывание.
Непрерывность	Дифференцируемость в точке влечёт непрерывность, но обратное неверно.
Излом $y=\|x\|$	В нуле $f'_-(0)=-1$ , $f'_+(0)=1$ ; односторонние производные различаются, поэтому производной нет.

Удобно держать в голове один маршрут:

\begin{gathered} \text{изменение на промежутке} \longrightarrow \text{разностное отношение} \longrightarrow \text{предел при }h\to0\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{производная} \longleftrightarrow \text{наклон касательной} \longleftrightarrow \text{мгновенная скорость изменения} \end{gathered}

Производная функции: от скорости изменения к касательной

Содержание

От средней скорости к мгновенной
Приращения и разностное отношение
Строгое определение производной
Как находить производную по определению
Секущая, касательная и геометрический смысл
Механический смысл производной
Что говорят знак и нулевое значение производной
Дифференцируемость и непрерывность
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

От средней скорости к мгновенной

\frac{100\,\text{км}}{2\,\text{ч}} = 50\,\frac{\text{км}}{\text{ч}}

v_{\text{ср}} = \frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}

Пример

Пусть координата точки задаётся законом

s(t)=t^2

где $s$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах. Посмотрим на движение около момента $t_0=2$ . Для $\Delta t\neq0$

\begin{aligned} v_{\text{ср}} &=\frac{(2+\Delta t)^2-2^2}{\Delta t}=\\ &=\frac{4+4\Delta t+(\Delta t)^2-4}{\Delta t}=\\ &=4+\Delta t \end{aligned}

Значит, при уменьшении $\Delta t$ средняя скорость приближается к $4$ .

-2pt $\Delta t>0$	$v_{\text{ср}}$	$\Delta t<0$	$v_{\text{ср}}$
$0{,}5$	$4{,}5$	$-0{,}5$	$3{,}5$
$0{,}1$	$4{,}1$	$-0{,}1$	$3{,}9$

С обеих сторон значения стремятся к $4$ . Поэтому мгновенная скорость в момент $t=2$ равна $4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Приращения и разностное отношение

На графике это число имеет точный геометрический смысл. Точки

A=(x_0,f(x_0)) \qquad B=(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))

лежат на графике. Прямая $AB$ называется секущей, а её угловой коэффициент равен

k_{AB} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Строгое определение производной

Если положить

h=x-x_0

то $x=x_0+h$ , а условие $x\to x_0$ равносильно $h\to0$ . Получаем вторую, полностью равносильную форму определения:

f'(x_0) = \lim_{h\to0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Если вместо $h$ использовать обозначение приращения аргумента $\Delta x$ , получаем ту же запись:

f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

-2pt Фрагмент записи	Что означает
$x\to x_0$	Точка с абсциссой $x$ приближается к фиксированной точке $x_0$ , но в разностном отношении остаётся отличной от неё.
$h=x-x_0,\quad x=x_0+h$	$h$ показывает, на сколько и в какую сторону мы сдвинулись от $x_0$ ; точка $x_0+h$ лежит рядом с $x_0$ .
$h\to0$	Модуль сдвига уменьшается: точка $x_0+h$ приближается к $x_0$ и справа, и слева.
$\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Разностное отношение: средняя скорость изменения функции на ненулевом промежутке и одновременно наклон секущей.
$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Производная в точке: конечное число, к которому стремятся наклоны секущих, когда вторая точка приближается к $x_0$ .

Кроме записи $f'(x_0)$ , часто используют обозначение

\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_0}

Как находить производную по определению

На первых задачах полезно не запоминать готовые правила, а каждый раз проходить один и тот же маршрут:

\begin{gathered} f(x_0+h)-f(x_0) \longrightarrow \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \longrightarrow \text{упрощение при }h\neq0 \longrightarrow \lim_{h\to0} \end{gathered}

Пример

Найдём производную $f(x)=x^2$ уже не в одной точке, а в произвольной точке $x_0$ . Имеем

\begin{aligned} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} &=\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=\\ &=\frac{2x_0h+h^2}{h}=\\ &=2x_0+h \end{aligned}

Следовательно,

f'(x_0) = \lim_{h\to0}(2x_0+h) = 2x_0

Поскольку $x_0$ был произвольным, можно заменить его обычной переменной $x$ и записать

f'(x)=2x

Перед примером с корнем напомним школьное тождество

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Пример

Рассмотрим функцию

f(x)=\sqrt{x}

и найдём её производную в точке $x_0=1$ по определению. Получаем

f'(1) = \lim_{h\to0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h}

\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} &=\frac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\\ &=\frac{1+h-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+h}+1},\qquad h\neq0 \end{aligned}

f'(1) = \lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1} = \frac12

Пример

Теперь разберём другой тип преобразования. Пусть

f(x)=\frac1x

\begin{aligned} f'(x_0) &=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac1{x_0+h}-\dfrac1{x_0}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x_0-(x_0+h)}{x_0(x_0+h)h}=\\ &=\lim_{h\to0}\frac{-h}{x_0(x_0+h)h} =\lim_{h\to0}\left(-\frac1{x_0(x_0+h)}\right) =-\frac1{x_0^2} \end{aligned}

f'(x)=-\frac1{x^2} \qquad x\neq0

Секущая, касательная и геометрический смысл

Вернёмся к графику. Для каждого ненулевого $h$ точки

A=(x_0,f(x_0)) \qquad B_h=(x_0+h,f(x_0+h))

задают секущую. Её угловой коэффициент равен разностному отношению

k_h = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

k_h\to f'(x_0)\qquad h\to0,

поэтому геометрически касательную можно воспринимать как предельное положение секущих.

\boxed{f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha}

Пример

Рассмотрим функцию

f(x)=\sqrt[3]{x-1}

в точке $x_0=1$ . Здесь $f(1)=0$ . Для $h\neq0$ разностное отношение равно

\begin{aligned} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\frac{\sqrt[3]{h}}{h}=\\ &=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{h}\right)^2} \end{aligned}

При $h\to0$ число $\sqrt[3]{h}$ стремится к нулю, а его квадрат остаётся положительным при $h\neq0$ . Поэтому

\frac{1}{\left(\sqrt[3]{h}\right)^2} \longrightarrow +\infty

x=1

У прямой с угловым коэффициентом $k$ , проходящей через точку $(x_0,y_0)$ , уравнение имеет вид

y-y_0=k(x-x_0)

Подставляя $y_0=f(x_0)$ и $k=f'(x_0)$ , получаем уравнение касательной:

\boxed{y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}

Зачем нужна касательная, кроме рисунка?

f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Механический смысл производной

Пусть $s(t)$ — координата материальной точки, движущейся вдоль прямой. Тогда

\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}

\boxed{ v(t_0) = s'(t_0) = \lim_{\Delta t\to0} \frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} }

Если скорость сама меняется со временем и имеет производную, то производная скорости называется ускорением:

a(t)=v'(t)

Что говорят знак и нулевое значение производной

Геометрический смысл позволяет быстро читать знак производной.

-2pt Знак	Геометрический смысл в точке
$f'(x_0)>0$	Касательная поднимается слева направо: мгновенная скорость изменения положительна.
$f'(x_0)<0$	Касательная опускается слева направо: мгновенная скорость изменения отрицательна.
$f'(x_0)=0$	Касательная горизонтальна. Само по себе это ещё не означает максимум или минимум.

Но из равенства $f'(x_0)=0$ нельзя автоматически заключать, что в точке находится вершина или впадина.

Дифференцируемость и непрерывность

Перед сравнением двух понятий напомним, что означает непрерывность в точке.

Производная предъявляет к функции более сильное требование, чем непрерывность.

Идея доказательства видна из равенства, верного при $h\neq0$ :

f(x_0+h)-f(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,h

f(x)=|x|

Она непрерывна в нуле, поскольку

\lim_{x\to0}|x|=0=f(0)

Но разностное отношение в нуле ведёт себя по-разному справа и слева.

Определение

Правой производной в точке $x_0$ называют предел

f'_+(x_0) = \lim_{h\to0+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

а левой производной — предел

f'_-(x_0) = \lim_{h\to0-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

-2pt Фрагмент записи	Что означает здесь
$h\to0+$	$h$ остаётся положительным, поэтому точка $x_0+h$ приближается к $x_0$ только справа.
$f'_+(x_0)=\lim_{h\to0^+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Правая производная: предел наклонов секущих, когда вторая точка графика приближается к $x_0$ только справа.
$h\to0-$	$h$ остаётся отрицательным, поэтому точка $x_0+h$ приближается к $x_0$ только слева.
$f'_-(x_0)=\lim_{h\to0^-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$	Левая производная: предел наклонов секущих, когда вторая точка графика приближается к $x_0$ только слева.
$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$	Если обе односторонние производные существуют как конечные числа и совпадают, то существует обычная двусторонняя производная.

Для $f(x)=|x|$ и $x_0=0$ имеем при $h>0$

\frac{|h|-|0|}{h} = \frac{h}{h} =1

поэтому

f'_+(0)=1

При $h<0$ выполнено $|h|=-h$ , значит,

\frac{|h|-|0|}{h} = \frac{-h}{h} =-1

и потому

f'_-(0)=-1

Левая и правая производные не совпадают, поэтому $f'(0)$ не существует.

Типичные ошибки

Проверьте эти места перед решением.

Проверьте себя

Вопросы и мини-задачи.

Чем разностное отношение при фиксированном $h\neq0$ отличается от производной $f'(x_0)$ ?
Почему в определении производной нельзя просто подставить $h=0$ в дробь $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ ?
Что означает двусторонний переход $h\to0$ ? Что должно происходить с разностным отношением при $h\to0-$ и при $h\to0+$ , чтобы производная существовала?
Если $x$ измеряется в секундах, а $f(x)$ — в метрах, в каких единицах измеряется $f'(x)$ ?
Для $f(x)=x^2$ найдите $f'(3)$ , используя полученную в статье формулу $f'(x)=2x$ .
Запишите уравнение касательной к $y=x^2$ в точке с абсциссой $x_0=3$ .
Пусть координата тела $s(t)=t^2$ , где $s$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах. Найдите мгновенную скорость при $t=3$ .
Верно ли утверждение: «Если $f'(x_0)=0$ , то в точке $x_0$ обязательно находится максимум или минимум»? Обоснуйте ответ примером.
Может ли функция иметь конечную производную в точке и быть разрывной в этой же точке?
Функция $f(x)=|x|$ непрерывна в нуле. Почему этого недостаточно для существования $f'(0)$ ? Укажите значения односторонних производных.

Ответы к разделу «Проверьте себя».

При фиксированном $h\neq0$ разностное отношение
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
описывает среднюю скорость изменения функции между двумя различными точками $x_0$ и $x_0+h$ . Производная отвечает на другой вопрос: что происходит с этими средними скоростями, когда вторая точка приближается к первой. Поэтому
$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
если этот двусторонний предел существует и конечен. Итак, разностное отношение относится к конкретному ненулевому промежутку, а производная — к предельному поведению при исчезающей ширине промежутка.
Подстановка $h=0$ в саму дробь невозможна, потому что получается
$\frac{f(x_0)-f(x_0)}0=\frac00$
а деление на ноль не определено. В определении производной поэтому рассматривают только $h\neq0$ . Сначала разностное отношение упрощают при ненулевом $h$ , а затем исследуют, к какому числу оно стремится при $h\to0$ . Например, для $f(x)=x^2$
$\begin{aligned} \frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h} &=\frac{2x_0h+h^2}{h} =2x_0+h \end{aligned}$
и только после сокращения можно перейти к пределу.
Двусторонняя запись $h\to0$ означает, что рассматриваются два способа приближения: $h\to0-$ , когда $h<0$ , и $h\to0+$ , когда $h>0$ . Для существования обычной производной нужно, чтобы оба односторонних предела разностного отношения существовали как конечные числа и были равны:
$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$
Если значения различаются, как у $f(x)=|x|$ в нуле, двусторонней производной нет.
Единицы производной получаются как «единицы функции на единицу аргумента». Здесь $f(x)$ измеряется в метрах, а $x$ — в секундах, поэтому
$[f'(x)]=\frac{\text{м}}{\text{с}}$
То есть производная имеет размерность скорости.
В статье для функции $f(x)=x^2$ уже получена формула $f'(x)=2x$ . Подставляем $x=3$ :
$f'(3)=2\cdot3=6$
Значит, касательная к параболе в точке с абсциссой $3$ имеет угловой коэффициент $6$ .
Сначала найдём координаты точки касания и наклон касательной. Для $f(x)=x^2$
$f(3)=3^2=9 \qquad f'(3)=2\cdot3=6$
Точка касания имеет координаты $(3,9)$ . Используем формулу
$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$
Подставляем $x_0=3$ , $f(3)=9$ , $f'(3)=6$ :
$\begin{aligned} y-9&=6(x-3)=\\ &=6x-18 \end{aligned}$
поэтому
$y=6x-9$
Проверка точки касания: при $x=3$ правая часть равна $18-9=9$ , то есть прямая действительно проходит через $(3,9)$ .
Координата тела равна $s(t)=t^2$ . Мгновенная скорость — производная координаты:
$v(t)=s'(t)$
Для функции $t^2$ производная равна $2t$ , поэтому
$v(3)=2\cdot3=6\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$
Положительный знак означает, что в этот момент координата увеличивается.
Утверждение неверно. Рассмотрим $f(x)=x^3$ . По определению
$\begin{aligned} f'(0) &=\lim_{h\to0}\frac{h^3-0}{h}=\\ &=\lim_{h\to0}h^2=0 \end{aligned}$
Однако при $x<0$ близко к нулю имеем $x^3<0=f(0)$ , а при $x>0$ — $x^3>0=f(0)$ . Поэтому в любой окрестности нуля есть значения и меньше, и больше $f(0)$ : в нуле нет ни максимума, ни минимума. Равенство $f'(x_0)=0$ гарантирует только горизонтальную касательную.
Нет. Если конечная производная $f'(x_0)$ существует, то функция обязательно непрерывна в $x_0$ . Идея видна из равенства
$f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\,h$
Первый множитель стремится к конечному числу $f'(x_0)$ , второй — к нулю, поэтому приращение функции стремится к нулю. Следовательно, разрыв в той же точке невозможен.
Для $f(x)=|x|$ непрерывность в нуле действительно есть:
$\lim_{x\to0}|x|=0=f(0)$
Но для производной нужно проверить разностное отношение
$\frac{|h|-0}{h}=\frac{|h|}{h}$
Если $h>0$ , то $|h|=h$ , поэтому
$f'_+(0)=\lim_{h\to0+}\frac{h}{h}=1$
Если $h<0$ , то $|h|=-h$ , поэтому
$f'_-(0)=\lim_{h\to0-}\frac{-h}{h}=-1$
Получили разные значения: $f'_-(0)=-1$ и $f'_+(0)=1$ . Следовательно, обычная двусторонняя производная $f'(0)$ не существует. Непрерывность необходима для дифференцируемости, но сама по себе её не гарантирует.

Решения задач по ходу статьи.

Дано $f(x)=x^2$ , $x_0=1$ , $\Delta x=-\frac12$ . Сначала найдём вторую абсциссу:
$x_0+\Delta x=1-\frac12=\frac12$
Приращение функции равно
$\begin{aligned} \Delta y &=f\left(\frac12\right)-f(1)=\\ &=\frac14-1 =-\frac34 \end{aligned}$
Теперь делим приращение функции на приращение аргумента:
$\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} &=\frac{-\dfrac34}{-\dfrac12} =\frac32 \end{aligned}$
Оба приращения отрицательны, поэтому их отношение положительно. Ответ: $\Delta y=-\frac34$ , $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac32$ .
Дано $f(x)=\frac1x$ и $x_0=1$ . По определению
$\begin{aligned} f'(1) &=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac1{1+h}-1}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1-(1+h)}{h(1+h)}=\\ &=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h(1+h)} =\lim_{h\to0}\left(-\frac1{1+h}\right)= -1 \end{aligned}$
Сокращение на $h$ законно, поскольку $h\neq0$ внутри разностного отношения. Полученный ответ совпадает с общей формулой $f'(x)=-\frac1{x^2}$ : при $x=1$ она тоже даёт $-1$ .
Для $f(x)=x^2$ при $x_0=-1$ сначала находим точку касания и наклон:
$f(-1)=1 \qquad f'(-1)=2\cdot(-1)=-2$
Подставляем в формулу касательной:
$\begin{aligned} y-1&=-2(x+1)=\\ &=-2x-2 \end{aligned}$
поэтому
$y=-2x-1$
При $x=-1$ получаем $y=1$ , поэтому прямая проходит через нужную точку графика.
Пусть $g(x)=|x-2|$ , $x_0=2$ . Тогда
$g(2)=0 \qquad g(2+h)=|h|$
и разностное отношение равно
$\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac{|h|}{h}$
Справа от нуля $h>0$ , поэтому $|h|=h$ :
$g'_+(2)=\lim_{h\to0+}\frac{h}{h}=1$
Слева от нуля $h<0$ , поэтому $|h|=-h$ :
$g'_-(2)=\lim_{h\to0-}\frac{-h}{h}=-1$
Односторонние производные существуют, но не равны. Следовательно,
$g'(2)\text{ не существует}$
Геометрически в точке $(2,0)$ у графика есть излом: левый и правый наклоны различаются.

Итог

-2pt Понятие	Суть
Приращение	$\Delta x$ — изменение аргумента, $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — изменение функции.
Разностное отношение	При $\Delta x\neq0$ величина $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ даёт среднюю скорость изменения и наклон секущей.
Производная	$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ , если конечный двусторонний предел существует.
Двусторонность	Левый и правый пределы разностного отношения должны существовать как конечные числа и совпадать.
Производная как функция	$f'$ определена только там, где у $f$ существует конечная производная; её область определения может быть меньше области определения $f$ .
Единицы измерения	Единицы производной — «единица функции на единицу аргумента», например метры в секунду.
Геометрический смысл	Конечная производная — наклон невертикальной касательной: $f'(x_0)=\tan\alpha$ . При вертикальной касательной конечной производной нет.
Касательная	$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ; вблизи $x_0$ эта прямая приближает график функции.
Механический смысл	Для координаты $s(t)$ : $v(t)=s'(t)$ , а при существовании следующей производной $a(t)=v'(t)$ .
Нулевая производная	Означает горизонтальную касательную, но сама по себе не гарантирует экстремум.
Монотонность	При непрерывности на промежутке и дифференцируемости внутри него знак $f'$ во всех внутренних точках задаёт строгое возрастание или убывание.
Непрерывность	Дифференцируемость в точке влечёт непрерывность, но обратное неверно.
Излом $y=\|x\|$	В нуле $f'_-(0)=-1$ , $f'_+(0)=1$ ; односторонние производные различаются, поэтому производной нет.

Удобно держать в голове один маршрут:

\begin{gathered} \text{изменение на промежутке} \longrightarrow \text{разностное отношение} \longrightarrow \text{предел при }h\to0\\ \Downarrow\\[-2pt] \text{производная} \longleftrightarrow \text{наклон касательной} \longleftrightarrow \text{мгновенная скорость изменения} \end{gathered}