Предел последовательности: от интуитивного понимания к строгой теории

Содержание

Числовая последовательность
Что значит «последовательность стремится к числу»
Расстояние и $\varepsilon$ -окрестность
Строгое определение предела
Как работать с $\varepsilon$ – $N$ -условием
Что не влияет на предел
Как понять, что предела нет
Сходимость, ограниченность и монотонность
Бесконечно малые последовательности
Арифметические свойства пределов
Как вычислять пределы последовательностей
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Для чтения достаточно помнить три школьных факта: модуль $|u-v|$ задаёт расстояние между числами $u$ и $v$ ; натуральные числа $1,2,3,\ldots$ можно продолжать без конца; неравенства разрешено преобразовывать с учётом знаков участвующих величин. Все необходимые определения введём по ходу статьи, а ключевые теоремы сформулируем и подробно разберём по смыслу без полных доказательств.

По ходу статьи будут два вида практики. В блоках «Пример» задача сразу разбирается с решением и пояснением каждого существенного шага. Блоки «Задача» предназначены для самостоятельной проверки: короткие ответы к ним собраны в конце статьи.

Числовая последовательность

В обычной речи последовательность — это объекты, расположенные в определённом порядке. В математике роль объектов играют числа, а место каждого числа задаёт его номер.

Запись $n\mapsto x_n$ можно читать как работу механизма: подаём на вход номер $n$ , получаем на выходе член $x_n$ .

LaTeX — Соответствие $n\mapsto x_n$ для последовательности $x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$

Одну и ту же последовательность удобно представлять несколькими способами.

Способ	Пример для $x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$
Формула общего члена	По номеру $n$ сразу вычисляется $x_n$ .
Таблица	$x_1=-1$ , $x_2=\dfrac12$ , $x_3=-\dfrac13$ , $x_4=\dfrac14$ , $\ldots$
График	Отмечаются отдельные точки $(n,x_n)$ , где $n\in\mathbb N$ .
Словесное правило	Знак чередуется, а модуль $\|x_n\|=\dfrac1n$ уменьшается.

Таблица здесь показывает первые члены уже заданной последовательности. Конечный фрагмент сам по себе не определяет продолжение однозначно: после одних и тех же первых четырёх значений можно придумать бесконечно много разных правил для следующих членов. Поэтому, если в задаче требуется задать последовательность, нужен общий закон, рекуррентное правило или другое условие, определяющее все её члены.

Что значит «последовательность стремится к числу»

Слово «стремится» полезно для первого знакомства, но само по себе слишком расплывчато. Сравним три последовательности.

$x_n=\frac1n$ : члены остаются положительными и приближаются к нулю.
$y_n=\frac{(-1)^n}{n}$ : знаки чередуются, последовательность бесконечно много раз переходит с одной стороны нуля на другую, но расстояние до нуля уменьшается.
$z_n=(-1)^n$ : значения $-1$ и $1$ чередуются, а расстояние до нуля не уменьшается.

Хвостом последовательности с номера $N$ называют члены $x_N,x_{N+1},x_{N+2},\ldots$

Отсюда уже видны важные факты:

предел не обязан быть членом последовательности;
но предел может достигаться: постоянная последовательность $x_n=3$ имеет предел $3$ и равна ему при каждом $n$ ;
члены последовательности могут бесконечно много раз оказываться по разные стороны от предела, как у $\dfrac{(-1)^n}{n}$ ;
расстояние до предела не обязано уменьшаться на каждом шаге;
у бесконечной последовательности нет «последнего члена» $x_\infty$ : символ $\infty$ не является натуральным номером.

Расстояние и $\varepsilon$ -окрестность

Чтобы заменить расплывчатое слово «близко» точным условием, зададим допустимую погрешность $\varepsilon>0$ . Неравенство

|x_n-a|<\varepsilon

означает, что расстояние от $x_n$ до $a$ меньше $\varepsilon$ . Раскрывая модуль, получаем равносильную двойную оценку

a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon

Интервал $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ называют $\varepsilon$ -окрестностью числа $a$ .

Удобно представлять эту окрестность как коридор вокруг уровня $a$ . Расстояние от середины коридора до каждой его границы равно $\varepsilon$ , поэтому полная ширина коридора равна $2\varepsilon$ . Мы заранее задаём ширину, а затем ищем номер, после которого весь хвост последовательности остаётся внутри. Если коридор сузить, прежнего номера может уже не хватить и придётся перейти дальше. Для конкретной последовательности $x_n=\dfrac1n$ это хорошо видно на рисунках ниже.

Посмотрим, как это работает для $x_n=\dfrac1n$ и предполагаемого предела $a=0$ .

Границы не входят в окрестность, потому что в определении стоит строгий знак $<$ . Поэтому при $\varepsilon=\dfrac12$ член $x_2=\dfrac12$ лежит на границе, а весь хвост оказывается строго внутри только начиная с $x_3$ . Аналогично при $\varepsilon=\dfrac15$ выбираем $N=6$ , а не $N=5$ .

Строгое определение предела

Теперь соберём интуитивную идею в точную формулировку.

Разберём запись слева направо. Здесь полезно читать не отдельные значки, а целые смысловые фрагменты формулы.

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$\forall\varepsilon>0$	«для любого эпсилон больше нуля»	Какую бы положительную точность $\varepsilon$ нам ни задали.
$\exists N_\varepsilon\in\mathbb N$	«существует натуральный номер $N_\varepsilon$ »	После выбора точности можно подобрать начало хвоста; этот номер может зависеть от $\varepsilon$ .
$\forall n\in\mathbb N$	«для любого натурального $n$ »	После выбора $N_\varepsilon$ условие должно работать для всех допустимых номеров.
$n\geq N_\varepsilon$	«номер $n$ не меньше $N_\varepsilon$ »	Рассматриваются все члены хвоста, начиная с выбранного номера.
$\Longrightarrow$	«если ..., то ...»	Попадание номера в хвост должно гарантировать нужную близость к пределу.
$\lvert x_n-a\rvert<\varepsilon$	«расстояние от $x_n$ до $a$ меньше эпсилон»	Каждый член выбранного хвоста лежит внутри $\varepsilon$ -окрестности числа $a$ .

Ключевой порядок такой: сначала задают произвольное $\varepsilon>0$ , затем подбирают зависящий от него номер $N_\varepsilon$ , и после этого неравенство должно работать для всех $n\geq N_\varepsilon$ .

Подходящий номер не обязан быть наименьшим. Если работает $N_\varepsilon=20$ , то также работают $21,22,\ldots$ : мы просто отбрасываем ещё несколько первых членов.

Пример

Первое полное доказательство по определению: $\dfrac1n\to0$ .

Пусть нам задано произвольное $\varepsilon>0$ . Нужно подобрать натуральный номер $N_\varepsilon$ так, чтобы для каждого $n\geq N_\varepsilon$ выполнялось

\left|\frac1n-0\right|<\varepsilon.

Так как $n>0$ , это условие имеет вид

\frac1n<\varepsilon,

то есть достаточно потребовать

n>\frac1\varepsilon.

Натуральные числа можно брать сколь угодно большими, поэтому выбираем любое $N_\varepsilon\in\mathbb N$ , для которого

N_\varepsilon>\frac1\varepsilon.

Теперь проверяем не один член, а весь хвост. Если $n\geq N_\varepsilon$ , то

0<\frac1n\leq\frac1{N_\varepsilon}<\varepsilon.

Значит, для любого $\varepsilon>0$ найден подходящий номер $N_\varepsilon$ , после которого все члены находятся от нуля на расстоянии меньше $\varepsilon$ . По определению

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n=0.

Как работать с $\varepsilon$ – $N$ -условием

После полного доказательства видно общий принцип: нужно превратить требование $|x_n-a|<\varepsilon$ в условие на номер $n$ , а затем проверить весь хвост. Для задач с заданной точностью удобно действовать по одному шаблону.

Последний шаг важен: недостаточно найти один подходящий член, нужно убедиться, что условие выполняется и для всех последующих.

Пример

Рассмотрим $x_n=\dfrac{n}{2n+1}$ и $\varepsilon$ -окрестность числа $a=\dfrac12$ с $\varepsilon=0{,}05$ . Здесь сначала важно аккуратно вычислить расстояние до предполагаемого центра. Приводим дроби к общему знаменателю:

\left|\frac{n}{2n+1}-\frac12\right| =\left|\frac{2n-(2n+1)}{2(2n+1)}\right| =\frac{1}{4n+2}

Знаменатель $4n+2$ положителен для натуральных $n$ , поэтому дальше можно сравнивать положительные дроби без дополнительного разбора знаков. Требуем

\frac{1}{4n+2}<0{,}05=\frac1{20}

Обе части положительны, поэтому это равносильно $4n+2>20$ , то есть $n>4{,}5$ . Первый натуральный номер с этим свойством — $N=5$ .

Проверим весь хвост. При $n\geq5$ имеем $4n+2\geq22$ , поэтому

\left|\frac{n}{2n+1}-\frac12\right| =\frac1{4n+2} \leq\frac1{22} <\frac1{20} =0{,}05

Таким образом, начиная с $N=5$ каждый последующий член находится внутри выбранной $\varepsilon$ -окрестности. Номер $4$ ещё не годится, поскольку $\dfrac1{18}>\dfrac1{20}$ .

Что не влияет на предел

Определение контролирует хвост, поэтому любое конечное число первых членов можно изменить, не меняя предела.

Смысл теоремы прост: предел не зависит от конечного начала. Какую бы узкую $\varepsilon$ -окрестность числа $a$ мы ни выбрали, для предела важно только поведение достаточно далёкого хвоста. Если два хвоста с некоторого места совпадают, то относительно предела они ведут себя одинаково.

Например, последовательности

x_n=\frac1n

y_1=100,\qquad y_2=-50,\qquad y_3=7,\qquad y_n=\frac1n\quad(n\geq4)

имеют один и тот же предел $0$ , хотя их первые три члена ведут себя совершенно по-разному.

Пример

Пусть $x_n=5+\dfrac1n\to5$ . Построим $(y_n)$ : первые пятьдесят членов заменим любыми числами, а при $n\geq51$ положим $y_n=x_n$ .

Предел останется равным $5$ . Действительно, для любой выбранной $\varepsilon$ -окрестности числа $5$ у $(x_n)$ есть подходящее начало хвоста $N$ . Берём $K=\max\{N,51\}$ . Тогда при каждом $n\geq K$ одновременно выполнены два факта: $x_n$ уже лежит в этой окрестности и $y_n=x_n$ . Значит, весь хвост $(y_n)$ лежит в той же окрестности. Важна именно конечность числа изменений, а не величина заменённых членов.

Как понять, что предела нет

Сначала разберём смысл на самом простом примере. У последовательности

x_n=(-1)^n

чётные члены равны $1$ , а нечётные — $-1$ . Как далеко мы ни уйдём по последовательности, оба значения будут встречаться снова. Поэтому никакой хвост не сможет навсегда собраться около одного числа.

Покажем это без угадывания предполагаемого предела. Возьмём произвольное число $a\in\mathbb R$ . Оно не может находиться на расстоянии меньше $1$ одновременно и от $1$ , и от $-1$ : иначе пришлось бы одновременно иметь $0<a<2$ и $-2<a<0$ . Значит, хотя бы для одного из двух значений выполняется

|1-a|\geq1 \qquad\text{или}\qquad |-1-a|\geq1.

Это «неподходящее» значение встречается бесконечно много раз. Поэтому какой бы номер $N$ мы ни выбрали, найдётся $n\geq N$ , для которого

|x_n-a|\geq1.

Таким образом, ни одно действительное число $a$ не может быть пределом $(-1)^n$ .

Теперь запишем тот же механизм строгим языком. Для фиксированного числа $a$ утверждение « $a$ не является пределом $(x_n)$ » равносильно условию

\exists\varepsilon_0>0\quad \forall N\in\mathbb N\quad \exists n\geq N:\quad |x_n-a|\geq\varepsilon_0.

Читается оно так: можно подобрать одну положительную точность $\varepsilon_0$ , для которой какой бы номер $N$ мы ни взяли, дальше всё равно найдётся член, не попавший внутрь соответствующей $\varepsilon_0$ -окрестности числа $a$ .

Замечание

Расходиться можно по разным причинам. Последовательность $(-1)^n$ остаётся ограниченной, но колеблется. Последовательность $x_n=n$ неограниченно растёт; запись $x_n\to+\infty$ означает

\forall M>0\quad\exists N\in\mathbb N\quad\forall n\geq N:\quad x_n>M.

Здесь $M$ — не предел, а произвольно высокий положительный уровень. Какой бы уровень $M$ ни задали, можно уйти достаточно далеко по последовательности так, что весь последующий хвост окажется выше него. Символ $+\infty$ не является действительным числом и не является конечным пределом.

Сходимость, ограниченность и монотонность

Сходимость накладывает на последовательность строгие ограничения. Два главных свойства — единственность предела и ограниченность.

Это значит, что у сходящейся последовательности нельзя получить два разных «ответа» в зависимости от способа рассуждения: если предел существует, число $a$ определяется однозначно.

Отдельно говорят, что последовательность ограничена сверху, если существует число $M$ , для которого $x_n\leq M$ при всех $n$ , и ограничена снизу, если существует число $m$ , для которого $x_n\geq m$ при всех $n$ . Ограниченная последовательность имеет обе границы одновременно.

По смыслу это естественно: после некоторого номера все члены сходящейся последовательности находятся в небольшой $\varepsilon$ -окрестности её предела, а до этого номера остаётся только конечное число отдельных членов. Поэтому вся последовательность целиком помещается между некоторыми двумя конечными границами.

Обратное утверждение неверно: ограниченность ещё не гарантирует сходимость.

Неубывание разрешает соседним членам быть равными; для возрастающей последовательности потребовался бы строгий знак $x_{n+1}>x_n$ . Аналогично различаются невозрастающая и убывающая последовательности.

Утверждение	Верно?	Пояснение
Сходящаяся последовательность ограничена	да	Это необходимое свойство любой сходящейся последовательности.
Ограниченная последовательность сходится	нет	$(-1)^n$ ограничена отрезком $[-1,1]$ , но не имеет предела.
Монотонная последовательность имеет конечный предел	нет	$x_n=n$ возрастает, но неограниченна.
Монотонная и ограниченная последовательность сходится	да	Это теорема о монотонной ограниченной последовательности.

У этой теоремы два условия, и каждое действительно нужно. Монотонность не даёт членам бесконечно метаться вверх и вниз, а односторонняя ограниченность не позволяет им уходить без конца в направлении движения. Например, $x_n=n$ неубывает, но не ограничена сверху и потому не имеет конечного предела; последовательность $(-1)^n$ ограничена, но не монотонна и тоже не сходится.

Пример

Исследуем последовательность

x_n=\frac{n}{n+2}

Сначала проверим монотонность, а не будем угадывать её по нескольким первым значениям. Вычислим разность соседних членов:

\begin{aligned} x_{n+1}-x_n &=\frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2}\\ &=\frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+2)(n+3)}\\ &=\frac{2}{(n+2)(n+3)}>0 \end{aligned}

Значит, последовательность строго возрастает. Теперь нужна верхняя граница. Для каждого натурального $n$

0<\frac{n}{n+2}<1,

поэтому последовательность ограничена сверху числом $1$ . Оба условия теоремы выполнены: $(x_n)$ сходится. Сама теорема гарантирует существование предела, но не вычисляет его значение; позже из деления числителя и знаменателя на $n$ получим предел $1$ .

Бесконечно малые последовательности

Название не означает, что каждый член «бесконечно мал». Первые значения могут быть какими угодно; важен предел. Например,

\frac1n,\qquad \frac{(-1)^n}{n},\qquad \frac{1}{2^n}

являются бесконечно малыми последовательностями.

Величина $\alpha_n=x_n-a$ играет роль погрешности: предел задаёт основную часть, а бесконечно малая показывает, насколько конкретный член от неё отличается. Поэтому запись $x_n=a+\alpha_n$ можно читать так: «член последовательности равен пределу плюс ошибка, которая со временем становится сколь угодно малой».

Первое свойство означает, что несколько ошибок, каждая из которых стремится к нулю, вместе тоже дают ошибку, стремящуюся к нулю. Во втором свойстве ограниченный множитель не может «разогнать» бесконечно малую величину до ненулевого масштаба. Важно именно слово «ограниченный»: без этого условия вывод в общем случае неверен.

Пример

Покажем, как свойство произведения экономит вычисления. Рассмотрим

u_n=\frac{2+(-1)^n}{n} =\frac1n\bigl(2+(-1)^n\bigr)

Последовательность $\dfrac1n$ бесконечно мала. Второй множитель не имеет предела: он принимает значения $1$ и $3$ . Но для свойства произведения от него и не требуется сходимость — достаточно ограниченности:

1\leq 2+(-1)^n\leq3

Следовательно, бесконечно малая последовательность умножена на ограниченную, поэтому $u_n\to0$ . Этот пример полезен тем, что показывает разницу между условиями «ограничена» и «сходится»: здесь ограниченности множителя вполне достаточно.

Арифметические свойства пределов

После того как существование пределов установлено, с ними можно выполнять привычные арифметические операции.

Смысл правил тот же, что и в обычной арифметике: если отдельные части выражения стабилизируются около чисел $a$ и $b$ , то их сумма, произведение и постоянный множитель стабилизируются около соответствующего результата. Для частного есть отдельное условие $b\neq0$ : оно гарантирует, что знаменатель со временем остаётся отделённым от нуля. Поэтому перед применением правила для дроби всегда проверяйте предел знаменателя.

Пример

Вычислим предел дроби

\lim_{n\to\infty} \frac{2+\dfrac1n}{3-\dfrac2n}

Сначала проверяем части выражения отдельно. Так как $\dfrac1n\to0$ , то числитель стремится к $2$ , а знаменатель — к $3$ . Полученный предел знаменателя не равен нулю, поэтому условие теоремы для частного выполнено. Теперь можно применить правило:

\lim_{n\to\infty} \frac{2+\dfrac1n}{3-\dfrac2n} =\frac{2+0}{3-0} =\frac23

Порядок здесь принципиален: сначала устанавливаем предел знаменателя и проверяем, что он ненулевой, и только после этого делим пределы.

Как вычислять пределы последовательностей

Вычислительные преобразования опираются на арифметические свойства и на базовые пределы

\frac{1}{n^p}\to0\quad(p>0), \qquad q^n\to0\quad(|q|<1)

Первый предел удобно понимать так: степень $n^p$ неограниченно растёт, поэтому обратная величина $\dfrac{1}{n^p}$ становится сколь угодно малой. Во втором случае условие $|q|<1$ означает, что при каждом новом умножении модуль уменьшается в одно и то же число раз. Поэтому $|q|^n$ приближается к нулю; знак при отрицательном $q$ может чередоваться, но модуль всё равно стремится к нулю. Эти два факта дальше используем как стандартные базовые пределы.

1. Отношение многочленов.

В рациональном выражении удобно разделить числитель и знаменатель на наибольшую встречающуюся степень $n$ . После этого все слагаемые с отрицательными степенями стремятся к нулю.

Для отношения многочленов, определённого при всех достаточно больших $n$ , сравнивают степени числителя и знаменателя. Одинаковые степени дают отношение старших коэффициентов, меньшая степень числителя — ноль. Если степень числителя больше, дробь неограниченно растёт по модулю, а её знак определяется старшими коэффициентами.

Пример

Разберём отдельно случай, когда степень числителя выше:

x_n=\frac{2n^3-n}{n^2+1}

Выносим главный масштаб $n$ :

x_n =n\,\frac{2-\dfrac1{n^2}}{1+\dfrac1{n^2}}

При $n\geq1$ числитель внутренней дроби не меньше $1$ , а знаменатель не больше $2$ . Поэтому

x_n\geq\frac n2

Правая часть неограниченно растёт, значит, $x_n\to+\infty$ . Здесь ответом не является конечное число: более высокая степень числителя действительно привела к неограниченному росту, а не к ещё одному отношению коэффициентов.

2. Пределы с корнями: выносим главную степень.

Здесь используем правило перехода к пределу под знаком корня. Если $u_n\to u$ , то $\sqrt[3]{u_n}\to\sqrt[3]{u}$ . Если дополнительно $u_n\geq0$ при всех достаточно больших $n$ и $u\geq0$ , то $\sqrt{u_n}\to\sqrt{u}$ .

3. Сопряжённое выражение.

Пример

Найдём

\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{9n^2+8n+7} -\sqrt{9n^2-10n+11} \right)

Обозначим корни через

A_n=\sqrt{9n^2+8n+7}, \qquad B_n=\sqrt{9n^2-10n+11}

Оба подкоренных выражения положительны при каждом $n\in\mathbb N$ : для второго, например,

9n^2-10n+11 =9\left(n-\frac59\right)^2+\frac{74}{9}>0

Поэтому корни и их сумма определены, а знаменатель после домножения на сопряжённое не равен нулю. Домножаем на сопряжённую сумму и используем разность квадратов:

\begin{aligned} A_n-B_n &=\frac{A_n^2-B_n^2}{A_n+B_n} =\frac{18n-4} {\sqrt{9n^2+8n+7}+\sqrt{9n^2-10n+11}} \end{aligned}

Поскольку $n>0$ , выносим $n$ из каждого квадратного корня и делим числитель и знаменатель на $n$ :

\begin{aligned} A_n-B_n =\frac{18-\dfrac4n} {\sqrt{9+\dfrac8n+\dfrac7{n^2}} +\sqrt{9-\dfrac{10}n+\dfrac{11}{n^2}}} \end{aligned}

Теперь предел вычисляется по арифметическим свойствам:

\lim_{n\to\infty}(A_n-B_n) =\frac{18}{3+3}=3

4. Показательные последовательности

Если числитель и знаменатель дроби являются конечными суммами показательных членов с положительными основаниями, полезно привести их к виду $c q^n$ , выбрать наибольшее основание $Q$ и разделить числитель и знаменатель на $Q^n$ . Тогда степени отношений меньших оснований к $Q$ имеют основания меньше единицы и потому стремятся к нулю.

Пример

Сначала разберём максимально прозрачный пример:

\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{5^n+3^n}.

Наибольшее основание равно $5$ , поэтому делим числитель и знаменатель на $5^n$ :

\begin{aligned} \frac{2^n+3^n}{5^n+3^n} &=\frac{\left(\dfrac25\right)^n+\left(\dfrac35\right)^n} {1+\left(\dfrac35\right)^n}\\ &\longrightarrow\frac{0+0}{1+0}=0. \end{aligned}

Идея метода здесь видна без лишних вычислений: после деления на наибольшую степень все отношения меньших оснований к $5$ имеют модуль меньше единицы, поэтому их степени стремятся к нулю.

Тот же приём работает и в более насыщенных выражениях.

1.5

Типичные ошибки

Проверьте себя перед решением.

Проверьте себя

Вопросы и мини-задачи.

Чем последовательность отличается от множества её значений?
Что выбирают сначала в определении предела: $\varepsilon$ или $N_\varepsilon$ ? Для одного или для всех $n\geq N_\varepsilon$ проверяется неравенство?
Для $x_n=\dfrac1n$ и $\varepsilon=0{,}04$ укажите натуральный номер $N$ , начиная с которого $|x_n|<\varepsilon$ .
Последовательность $y_1=1000$ , $y_n=\dfrac1n$ при $n\geq2$ имеет предел? Если да, то какой?
Достаточно ли доказать, что $0$ не является пределом $(-1)^n$ , чтобы получить расходимость?
Верно ли утверждение «всякая ограниченная последовательность сходится»? Приведите контрпример.
Вычислите
$\lim_{n\to\infty}\frac{5n^2-1}{2n^2+3n}$
Для последовательности
$x_n=2+\frac1n$
и $\varepsilon=0{,}01$ найдите первый натуральный номер $N$ , начиная с которого $|x_n-2|<\varepsilon$ .
Определите монотонность и ограниченность последовательности $x_n=1-\dfrac1n$ . Можно ли применить теорему о монотонной ограниченной последовательности?
Вычислите предел, домножив на сопряжённое выражение:
$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$
Вычислите
$\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot5^n+3^n}{4\cdot5^n+2^n}$
Какие из последовательностей бесконечно малы:
$\frac1n, \qquad \frac{(-1)^n}{n}, \qquad (-1)^n?$

Ответы.

Последовательность хранит не только значения, но и их номера: это функция $n\mapsto x_n$ . Множество значений порядка и повторений не хранит, поэтому две разные последовательности могут иметь одно и то же множество значений.
Сначала выбирают произвольное $\varepsilon>0$ , и только после этого разрешено подобрать зависящий от него номер $N_\varepsilon$ . Неравенство должно выполняться не для одного удачного члена, а для каждого $n\geq N_\varepsilon$ , то есть для всего хвоста.
Требуется
$\frac1n<0{,}04=\frac1{25}$
Отсюда $n>25$ , поэтому первый натуральный номер — $N=26$ . Номер $25$ не подходит: при нём расстояние равно ровно $\varepsilon$ , а в определении стоит строгий знак $<$ .
Да, предел равен $0$ . Начиная уже со второго номера имеем $y_n=\dfrac1n$ , а изменение одного начального члена не меняет хвост и потому не влияет на предел.
Нет. Так мы исключим только кандидат $a=0$ , но теоретически пределом могло бы быть другое число. Для доказательства расходимости нужно исключить произвольное $a\in\mathbb R$ ; у $(-1)^n$ этому мешают два значения $-1$ и $1$ , которые продолжают появляться в каждом хвосте.
Утверждение неверно. Контрпример — $x_n=(-1)^n$ : все члены лежат на отрезке $[-1,1]$ , поэтому последовательность ограничена, но значения $-1$ и $1$ не сближаются и конечного предела нет.
Наибольшая степень в числителе и знаменателе — $n^2$ , поэтому делим на неё: так мы сразу видим главный масштаб дроби.
$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{5n^2-1}{2n^2+3n} &=\lim_{n\to\infty} \frac{5-\dfrac1{n^2}}{2+\dfrac3n}\\ &=\frac{5-0}{2+0}=\frac52 \end{aligned}$
Здесь $\dfrac1{n^2}\to0$ и $\dfrac3n\to0$ . Предел знаменателя равен $2\neq0$ , поэтому правило для частного применимо.
Нужно
$\left|2+\frac1n-2\right|=\frac1n<0{,}01=\frac1{100},$
поэтому $n>100$ и первый подходящий номер равен $N=101$ . При любом $n\geq101$ имеем $\dfrac1n\leq\dfrac1{101}<0{,}01$ , то есть проверен весь хвост.
Последовательность строго возрастает, поскольку
$x_{n+1}-x_n =\frac1n-\frac1{n+1} =\frac{1}{n(n+1)}>0$
Кроме того, $0\leq x_n=1-\dfrac1n<1$ , поэтому последовательность ограничена (в частности, ограничена сверху). Теорему о монотонной ограниченной последовательности применять можно; она гарантирует сходимость. Из $\dfrac1n\to0$ получаем сам предел $x_n\to1$ .
Домножаем на сопряжённое выражение. Произведение разности и суммы корней превращается в разность квадратов:
$\begin{aligned} \sqrt{n^2+n}-n &=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac1n}+1} \longrightarrow\frac12 \end{aligned}$
После точного преобразования неопределённость $[\infty-\infty]$ исчезает. Так как $\dfrac1n\to0$ , выражение под корнем стремится к $1$ , а знаменатель — к $2$ .
Наибольшее основание равно $5$ , поэтому делим числитель и знаменатель на $5^n$ :
$\begin{aligned} \frac{2\cdot5^n+3^n}{4\cdot5^n+2^n} &=\frac{2+\left(\dfrac35\right)^n} {4+\left(\dfrac25\right)^n}\\ &\longrightarrow\frac{2+0}{4+0}=\frac12. \end{aligned}$
Отношения $\dfrac35$ и $\dfrac25$ меньше единицы по модулю, поэтому их степени стремятся к нулю. После этого остаётся отношение коэффициентов при ведущем основании $5^n$ .
Бесконечно малы $\dfrac1n$ и $\dfrac{(-1)^n}{n}$ : в обоих случаях расстояние до нуля стремится к нулю. Последовательность $(-1)^n$ не является бесконечно малой, потому что $|(-1)^n|=1$ при каждом $n$ .

Короткие ответы к задачам по ходу статьи.

$x_5=-\dfrac15$ , $x_6=\dfrac16$ ; множество значений не хранит порядок и индексы.
Для $\varepsilon=0{,}1$ первый номер $N=11$ , для $\varepsilon=0{,}01$ — $N=101$ ; более узкая $\varepsilon$ -окрестность требует более далёкого начала хвоста.
Замена первых ста членов последовательности предела не меняет. При изменении всех чётных членов меняется бесконечно много элементов хвоста, поэтому теорема о конечном изменении уже неприменима: в зависимости от новых значений предел может остаться равным $2$ или исчезнуть. Более сильные выводы здесь потребовали бы дополнительных результатов, которые в статье ещё не вводились.
$1-\dfrac1n$ возрастает и ограничена: $0\leq1-\dfrac1n<1$ ; $(-1)^n$ ограничена, но не монотонна; $n$ возрастает, но не ограничена сверху.
$\alpha_n$ и $\beta_n$ бесконечно малы, $\gamma_n$ — нет; при этом $\alpha_n+\beta_n\to0$ и $\alpha_n\gamma_n\to0$ .
$3x_n-y_n\to7$ , $x_ny_n\to-2$ , $\dfrac{x_n}{y_n}\to-2$ ; для частного существенно, что $y_n\to-1\neq0$ .

Как использовать результат: 1–2 проверяют понимание определений; 3 и 8 — работу с $\varepsilon$ -окрестностью; 4–6 и 9 — свойства сходимости; 7 и 10–11 — вычисление пределов; 12 — бесконечно малые последовательности.
Вернуться к содержанию

Итог

Главная смысловая схема.

Понятие	Суть
Последовательность	Функция $n\mapsto x_n$ натурального аргумента; её график дискретен.
Предел $a$	В любой $\varepsilon$ -окрестности $a$ целиком помещается некоторый хвост последовательности.
Строгое определение	$\forall\varepsilon>0\ \exists N_\varepsilon\in\mathbb N\ \forall n\geq N_\varepsilon:\ \lvert x_n-a\rvert<\varepsilon$ .
$\varepsilon$ – $N$ -условие	Для заданного $\varepsilon$ найти номер, после которого весь хвост находится от $a$ на расстоянии меньше $\varepsilon$ .
Расходимость	Для отсутствия конечного предела нужно исключить любой возможный кандидат $a\in\mathbb R$ , а не только одно число.
Общие свойства	Предел единственен; сходящаяся последовательность ограничена; конечные изменения начала не влияют на предел.
Ограниченность и монотонность	Каждое из этих свойств по отдельности не гарантирует сходимость; монотонность вместе с нужной односторонней ограниченностью гарантирует её.
Бесконечно малая	Последовательность с пределом $0$ ; запись $x_n=a+\alpha_n$ , где $\alpha_n\to0$ , можно понимать как «предел плюс исчезающая ошибка».
Арифметика пределов	Сумму, произведение и постоянный множитель можно переносить к пределам после проверки существования исходных пределов; для частного нужен ненулевой предел знаменателя.
Вычисление	Сначала преобразовать выражение и проверить условия используемых теорем; бесконечность нельзя подставлять как обычное число.

Предел не является «очень далёким значением» и не получается подстановкой бесконечности. Это точное утверждение о том, что весь достаточно далёкий хвост последовательности можно удержать на сколь угодно малом расстоянии от одного числа.

Предел последовательности: от интуитивного понимания к строгой теории

Содержание

Числовая последовательность
Что значит «последовательность стремится к числу»
Расстояние и $\varepsilon$ -окрестность
Строгое определение предела
Как работать с $\varepsilon$ – $N$ -условием
Что не влияет на предел
Как понять, что предела нет
Сходимость, ограниченность и монотонность
Бесконечно малые последовательности
Арифметические свойства пределов
Как вычислять пределы последовательностей
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Числовая последовательность

Запись $n\mapsto x_n$ можно читать как работу механизма: подаём на вход номер $n$ , получаем на выходе член $x_n$ .

Одну и ту же последовательность удобно представлять несколькими способами.

Способ	Пример для $x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$
Формула общего члена	По номеру $n$ сразу вычисляется $x_n$ .
Таблица	$x_1=-1$ , $x_2=\dfrac12$ , $x_3=-\dfrac13$ , $x_4=\dfrac14$ , $\ldots$
График	Отмечаются отдельные точки $(n,x_n)$ , где $n\in\mathbb N$ .
Словесное правило	Знак чередуется, а модуль $\|x_n\|=\dfrac1n$ уменьшается.

Что значит «последовательность стремится к числу»

$x_n=\frac1n$ : члены остаются положительными и приближаются к нулю.
$y_n=\frac{(-1)^n}{n}$ : знаки чередуются, последовательность бесконечно много раз переходит с одной стороны нуля на другую, но расстояние до нуля уменьшается.
$z_n=(-1)^n$ : значения $-1$ и $1$ чередуются, а расстояние до нуля не уменьшается.

Хвостом последовательности с номера $N$ называют члены $x_N,x_{N+1},x_{N+2},\ldots$

Отсюда уже видны важные факты:

предел не обязан быть членом последовательности;
но предел может достигаться: постоянная последовательность $x_n=3$ имеет предел $3$ и равна ему при каждом $n$ ;
члены последовательности могут бесконечно много раз оказываться по разные стороны от предела, как у $\dfrac{(-1)^n}{n}$ ;
расстояние до предела не обязано уменьшаться на каждом шаге;
у бесконечной последовательности нет «последнего члена» $x_\infty$ : символ $\infty$ не является натуральным номером.

Расстояние и $\varepsilon$ -окрестность

|x_n-a|<\varepsilon

означает, что расстояние от $x_n$ до $a$ меньше $\varepsilon$ . Раскрывая модуль, получаем равносильную двойную оценку

a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon

Интервал $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ называют $\varepsilon$ -окрестностью числа $a$ .

Посмотрим, как это работает для $x_n=\dfrac1n$ и предполагаемого предела $a=0$ .

Строгое определение предела

Теперь соберём интуитивную идею в точную формулировку.

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$\forall\varepsilon>0$	«для любого эпсилон больше нуля»	Какую бы положительную точность $\varepsilon$ нам ни задали.
$\exists N_\varepsilon\in\mathbb N$	«существует натуральный номер $N_\varepsilon$ »	После выбора точности можно подобрать начало хвоста; этот номер может зависеть от $\varepsilon$ .
$\forall n\in\mathbb N$	«для любого натурального $n$ »	После выбора $N_\varepsilon$ условие должно работать для всех допустимых номеров.
$n\geq N_\varepsilon$	«номер $n$ не меньше $N_\varepsilon$ »	Рассматриваются все члены хвоста, начиная с выбранного номера.
$\Longrightarrow$	«если ..., то ...»	Попадание номера в хвост должно гарантировать нужную близость к пределу.
$\lvert x_n-a\rvert<\varepsilon$	«расстояние от $x_n$ до $a$ меньше эпсилон»	Каждый член выбранного хвоста лежит внутри $\varepsilon$ -окрестности числа $a$ .

Пример

Первое полное доказательство по определению: $\dfrac1n\to0$ .

\left|\frac1n-0\right|<\varepsilon.

Так как $n>0$ , это условие имеет вид

\frac1n<\varepsilon,

то есть достаточно потребовать

n>\frac1\varepsilon.

Натуральные числа можно брать сколь угодно большими, поэтому выбираем любое $N_\varepsilon\in\mathbb N$ , для которого

N_\varepsilon>\frac1\varepsilon.

Теперь проверяем не один член, а весь хвост. Если $n\geq N_\varepsilon$ , то

0<\frac1n\leq\frac1{N_\varepsilon}<\varepsilon.

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n=0.

Как работать с $\varepsilon$ – $N$ -условием

Пример

\left|\frac{n}{2n+1}-\frac12\right| =\left|\frac{2n-(2n+1)}{2(2n+1)}\right| =\frac{1}{4n+2}

\frac{1}{4n+2}<0{,}05=\frac1{20}

Проверим весь хвост. При $n\geq5$ имеем $4n+2\geq22$ , поэтому

\left|\frac{n}{2n+1}-\frac12\right| =\frac1{4n+2} \leq\frac1{22} <\frac1{20} =0{,}05

Что не влияет на предел

Например, последовательности

x_n=\frac1n

y_1=100,\qquad y_2=-50,\qquad y_3=7,\qquad y_n=\frac1n\quad(n\geq4)

имеют один и тот же предел $0$ , хотя их первые три члена ведут себя совершенно по-разному.

Пример

Пусть $x_n=5+\dfrac1n\to5$ . Построим $(y_n)$ : первые пятьдесят членов заменим любыми числами, а при $n\geq51$ положим $y_n=x_n$ .

Как понять, что предела нет

Сначала разберём смысл на самом простом примере. У последовательности

x_n=(-1)^n

|1-a|\geq1 \qquad\text{или}\qquad |-1-a|\geq1.

|x_n-a|\geq1.

Таким образом, ни одно действительное число $a$ не может быть пределом $(-1)^n$ .

\exists\varepsilon_0>0\quad \forall N\in\mathbb N\quad \exists n\geq N:\quad |x_n-a|\geq\varepsilon_0.

Замечание

\forall M>0\quad\exists N\in\mathbb N\quad\forall n\geq N:\quad x_n>M.

Сходимость, ограниченность и монотонность

Обратное утверждение неверно: ограниченность ещё не гарантирует сходимость.

Утверждение	Верно?	Пояснение
Сходящаяся последовательность ограничена	да	Это необходимое свойство любой сходящейся последовательности.
Ограниченная последовательность сходится	нет	$(-1)^n$ ограничена отрезком $[-1,1]$ , но не имеет предела.
Монотонная последовательность имеет конечный предел	нет	$x_n=n$ возрастает, но неограниченна.
Монотонная и ограниченная последовательность сходится	да	Это теорема о монотонной ограниченной последовательности.

Пример

Исследуем последовательность

x_n=\frac{n}{n+2}

\begin{aligned} x_{n+1}-x_n &=\frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2}\\ &=\frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+2)(n+3)}\\ &=\frac{2}{(n+2)(n+3)}>0 \end{aligned}

Значит, последовательность строго возрастает. Теперь нужна верхняя граница. Для каждого натурального $n$

0<\frac{n}{n+2}<1,

Бесконечно малые последовательности

\frac1n,\qquad \frac{(-1)^n}{n},\qquad \frac{1}{2^n}

являются бесконечно малыми последовательностями.

Пример

Покажем, как свойство произведения экономит вычисления. Рассмотрим

u_n=\frac{2+(-1)^n}{n} =\frac1n\bigl(2+(-1)^n\bigr)

1\leq 2+(-1)^n\leq3

Арифметические свойства пределов

Пример

Вычислим предел дроби

\lim_{n\to\infty} \frac{2+\dfrac1n}{3-\dfrac2n}

\lim_{n\to\infty} \frac{2+\dfrac1n}{3-\dfrac2n} =\frac{2+0}{3-0} =\frac23

Как вычислять пределы последовательностей

Вычислительные преобразования опираются на арифметические свойства и на базовые пределы

\frac{1}{n^p}\to0\quad(p>0), \qquad q^n\to0\quad(|q|<1)

1. Отношение многочленов.

Пример

Разберём отдельно случай, когда степень числителя выше:

x_n=\frac{2n^3-n}{n^2+1}

Выносим главный масштаб $n$ :

x_n =n\,\frac{2-\dfrac1{n^2}}{1+\dfrac1{n^2}}

При $n\geq1$ числитель внутренней дроби не меньше $1$ , а знаменатель не больше $2$ . Поэтому

x_n\geq\frac n2

2. Пределы с корнями: выносим главную степень.

3. Сопряжённое выражение.

Пример

Найдём

\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{9n^2+8n+7} -\sqrt{9n^2-10n+11} \right)

Обозначим корни через

A_n=\sqrt{9n^2+8n+7}, \qquad B_n=\sqrt{9n^2-10n+11}

Оба подкоренных выражения положительны при каждом $n\in\mathbb N$ : для второго, например,

9n^2-10n+11 =9\left(n-\frac59\right)^2+\frac{74}{9}>0

\begin{aligned} A_n-B_n &=\frac{A_n^2-B_n^2}{A_n+B_n} =\frac{18n-4} {\sqrt{9n^2+8n+7}+\sqrt{9n^2-10n+11}} \end{aligned}

Поскольку $n>0$ , выносим $n$ из каждого квадратного корня и делим числитель и знаменатель на $n$ :

\begin{aligned} A_n-B_n =\frac{18-\dfrac4n} {\sqrt{9+\dfrac8n+\dfrac7{n^2}} +\sqrt{9-\dfrac{10}n+\dfrac{11}{n^2}}} \end{aligned}

Теперь предел вычисляется по арифметическим свойствам:

\lim_{n\to\infty}(A_n-B_n) =\frac{18}{3+3}=3

4. Показательные последовательности

Пример

Сначала разберём максимально прозрачный пример:

\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{5^n+3^n}.

Наибольшее основание равно $5$ , поэтому делим числитель и знаменатель на $5^n$ :

\begin{aligned} \frac{2^n+3^n}{5^n+3^n} &=\frac{\left(\dfrac25\right)^n+\left(\dfrac35\right)^n} {1+\left(\dfrac35\right)^n}\\ &\longrightarrow\frac{0+0}{1+0}=0. \end{aligned}

Тот же приём работает и в более насыщенных выражениях.

1.5

Типичные ошибки

Проверьте себя перед решением.

Проверьте себя

Вопросы и мини-задачи.

Чем последовательность отличается от множества её значений?
Что выбирают сначала в определении предела: $\varepsilon$ или $N_\varepsilon$ ? Для одного или для всех $n\geq N_\varepsilon$ проверяется неравенство?
Для $x_n=\dfrac1n$ и $\varepsilon=0{,}04$ укажите натуральный номер $N$ , начиная с которого $|x_n|<\varepsilon$ .
Последовательность $y_1=1000$ , $y_n=\dfrac1n$ при $n\geq2$ имеет предел? Если да, то какой?
Достаточно ли доказать, что $0$ не является пределом $(-1)^n$ , чтобы получить расходимость?
Верно ли утверждение «всякая ограниченная последовательность сходится»? Приведите контрпример.
Вычислите
$\lim_{n\to\infty}\frac{5n^2-1}{2n^2+3n}$
Для последовательности
$x_n=2+\frac1n$
и $\varepsilon=0{,}01$ найдите первый натуральный номер $N$ , начиная с которого $|x_n-2|<\varepsilon$ .
Определите монотонность и ограниченность последовательности $x_n=1-\dfrac1n$ . Можно ли применить теорему о монотонной ограниченной последовательности?
Вычислите предел, домножив на сопряжённое выражение:
$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$
Вычислите
$\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot5^n+3^n}{4\cdot5^n+2^n}$
Какие из последовательностей бесконечно малы:
$\frac1n, \qquad \frac{(-1)^n}{n}, \qquad (-1)^n?$

Ответы.

Последовательность хранит не только значения, но и их номера: это функция $n\mapsto x_n$ . Множество значений порядка и повторений не хранит, поэтому две разные последовательности могут иметь одно и то же множество значений.
Сначала выбирают произвольное $\varepsilon>0$ , и только после этого разрешено подобрать зависящий от него номер $N_\varepsilon$ . Неравенство должно выполняться не для одного удачного члена, а для каждого $n\geq N_\varepsilon$ , то есть для всего хвоста.
Требуется
$\frac1n<0{,}04=\frac1{25}$
Отсюда $n>25$ , поэтому первый натуральный номер — $N=26$ . Номер $25$ не подходит: при нём расстояние равно ровно $\varepsilon$ , а в определении стоит строгий знак $<$ .
Да, предел равен $0$ . Начиная уже со второго номера имеем $y_n=\dfrac1n$ , а изменение одного начального члена не меняет хвост и потому не влияет на предел.
Нет. Так мы исключим только кандидат $a=0$ , но теоретически пределом могло бы быть другое число. Для доказательства расходимости нужно исключить произвольное $a\in\mathbb R$ ; у $(-1)^n$ этому мешают два значения $-1$ и $1$ , которые продолжают появляться в каждом хвосте.
Утверждение неверно. Контрпример — $x_n=(-1)^n$ : все члены лежат на отрезке $[-1,1]$ , поэтому последовательность ограничена, но значения $-1$ и $1$ не сближаются и конечного предела нет.
Наибольшая степень в числителе и знаменателе — $n^2$ , поэтому делим на неё: так мы сразу видим главный масштаб дроби.
$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{5n^2-1}{2n^2+3n} &=\lim_{n\to\infty} \frac{5-\dfrac1{n^2}}{2+\dfrac3n}\\ &=\frac{5-0}{2+0}=\frac52 \end{aligned}$
Здесь $\dfrac1{n^2}\to0$ и $\dfrac3n\to0$ . Предел знаменателя равен $2\neq0$ , поэтому правило для частного применимо.
Нужно
$\left|2+\frac1n-2\right|=\frac1n<0{,}01=\frac1{100},$
поэтому $n>100$ и первый подходящий номер равен $N=101$ . При любом $n\geq101$ имеем $\dfrac1n\leq\dfrac1{101}<0{,}01$ , то есть проверен весь хвост.
Последовательность строго возрастает, поскольку
$x_{n+1}-x_n =\frac1n-\frac1{n+1} =\frac{1}{n(n+1)}>0$
Кроме того, $0\leq x_n=1-\dfrac1n<1$ , поэтому последовательность ограничена (в частности, ограничена сверху). Теорему о монотонной ограниченной последовательности применять можно; она гарантирует сходимость. Из $\dfrac1n\to0$ получаем сам предел $x_n\to1$ .
Домножаем на сопряжённое выражение. Произведение разности и суммы корней превращается в разность квадратов:
$\begin{aligned} \sqrt{n^2+n}-n &=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac1n}+1} \longrightarrow\frac12 \end{aligned}$
После точного преобразования неопределённость $[\infty-\infty]$ исчезает. Так как $\dfrac1n\to0$ , выражение под корнем стремится к $1$ , а знаменатель — к $2$ .
Наибольшее основание равно $5$ , поэтому делим числитель и знаменатель на $5^n$ :
$\begin{aligned} \frac{2\cdot5^n+3^n}{4\cdot5^n+2^n} &=\frac{2+\left(\dfrac35\right)^n} {4+\left(\dfrac25\right)^n}\\ &\longrightarrow\frac{2+0}{4+0}=\frac12. \end{aligned}$
Отношения $\dfrac35$ и $\dfrac25$ меньше единицы по модулю, поэтому их степени стремятся к нулю. После этого остаётся отношение коэффициентов при ведущем основании $5^n$ .
Бесконечно малы $\dfrac1n$ и $\dfrac{(-1)^n}{n}$ : в обоих случаях расстояние до нуля стремится к нулю. Последовательность $(-1)^n$ не является бесконечно малой, потому что $|(-1)^n|=1$ при каждом $n$ .

Короткие ответы к задачам по ходу статьи.

$x_5=-\dfrac15$ , $x_6=\dfrac16$ ; множество значений не хранит порядок и индексы.
Для $\varepsilon=0{,}1$ первый номер $N=11$ , для $\varepsilon=0{,}01$ — $N=101$ ; более узкая $\varepsilon$ -окрестность требует более далёкого начала хвоста.
Замена первых ста членов последовательности предела не меняет. При изменении всех чётных членов меняется бесконечно много элементов хвоста, поэтому теорема о конечном изменении уже неприменима: в зависимости от новых значений предел может остаться равным $2$ или исчезнуть. Более сильные выводы здесь потребовали бы дополнительных результатов, которые в статье ещё не вводились.
$1-\dfrac1n$ возрастает и ограничена: $0\leq1-\dfrac1n<1$ ; $(-1)^n$ ограничена, но не монотонна; $n$ возрастает, но не ограничена сверху.
$\alpha_n$ и $\beta_n$ бесконечно малы, $\gamma_n$ — нет; при этом $\alpha_n+\beta_n\to0$ и $\alpha_n\gamma_n\to0$ .
$3x_n-y_n\to7$ , $x_ny_n\to-2$ , $\dfrac{x_n}{y_n}\to-2$ ; для частного существенно, что $y_n\to-1\neq0$ .

Итог

Главная смысловая схема.

Понятие	Суть
Последовательность	Функция $n\mapsto x_n$ натурального аргумента; её график дискретен.
Предел $a$	В любой $\varepsilon$ -окрестности $a$ целиком помещается некоторый хвост последовательности.
Строгое определение	$\forall\varepsilon>0\ \exists N_\varepsilon\in\mathbb N\ \forall n\geq N_\varepsilon:\ \lvert x_n-a\rvert<\varepsilon$ .
$\varepsilon$ – $N$ -условие	Для заданного $\varepsilon$ найти номер, после которого весь хвост находится от $a$ на расстоянии меньше $\varepsilon$ .
Расходимость	Для отсутствия конечного предела нужно исключить любой возможный кандидат $a\in\mathbb R$ , а не только одно число.
Общие свойства	Предел единственен; сходящаяся последовательность ограничена; конечные изменения начала не влияют на предел.
Ограниченность и монотонность	Каждое из этих свойств по отдельности не гарантирует сходимость; монотонность вместе с нужной односторонней ограниченностью гарантирует её.
Бесконечно малая	Последовательность с пределом $0$ ; запись $x_n=a+\alpha_n$ , где $\alpha_n\to0$ , можно понимать как «предел плюс исчезающая ошибка».
Арифметика пределов	Сумму, произведение и постоянный множитель можно переносить к пределам после проверки существования исходных пределов; для частного нужен ненулевой предел знаменателя.
Вычисление	Сначала преобразовать выражение и проверить условия используемых теорем; бесконечность нельзя подставлять как обычное число.

Предел последовательности: от интуитивного понимания к строгой теории

Содержание

Числовая последовательность

Что значит «последовательность стремится к числу»

Расстояние и \(\varepsilon\)-окрестность

Строгое определение предела

Как работать с \(\varepsilon\)–\(N\)-условием

Что не влияет на предел

Как понять, что предела нет

Сходимость, ограниченность и монотонность

Бесконечно малые последовательности

Арифметические свойства пределов

Как вычислять пределы последовательностей

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Предел последовательности: от интуитивного понимания к строгой теории

Содержание

Числовая последовательность

Что значит «последовательность стремится к числу»

Расстояние и \(\varepsilon\)-окрестность

Строгое определение предела

Как работать с \(\varepsilon\)–\(N\)-условием

Что не влияет на предел

Как понять, что предела нет

Сходимость, ограниченность и монотонность

Бесконечно малые последовательности

Арифметические свойства пределов

Как вычислять пределы последовательностей

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Расстояние и $\varepsilon$ -окрестность

Как работать с $\varepsilon$ – $N$ -условием

Расстояние и $\varepsilon$ -окрестность

Как работать с $\varepsilon$ – $N$ -условием