Предел функции в точке: определения по Коши и Гейне

Содержание

Что такое функция
Что описывает предел функции
Окрестности и проколотые окрестности
Определение предела по Коши
Разбор $\varepsilon$ – $\delta$ -определения
Как доказывать предел по Коши
Почему значение в точке не определяет предел
Определение предела по Гейне
Коши и Гейне: два языка одной идеи
Как с помощью Гейне доказать, что предела нет
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Что даст эта статья.

Мы свяжем предел функции в точке с идеей предела последовательности: если эта тема уже знакома, связь станет особенно наглядной, а если нет — нужное напоминание появится перед определением Гейне. После статьи вы сможете отличать предел от значения функции, читать определение Коши с кванторами в правильном порядке, подбирать $\delta$ для заданного $\varepsilon$ , пользоваться определением Гейне и строить последовательности, опровергающие существование предела.

В этой статье, если не оговорено иное, рассматриваем только конечные пределы: предполагаемый предел $A$ является действительным числом, то есть $A\in\mathbb R$ . Случаи, в которых функция неограниченно растёт к $+\infty$ или $-\infty$ , требуют отдельных определений и здесь не рассматриваются.

Для чтения достаточно помнить школьный смысл модуля: $|u-v|$ — расстояние между числами $u$ и $v$ . Если пределы последовательностей пока незнакомы, это не помешает первым разделам: перед определением Гейне мы отдельно напомним, что такое последовательность и что означает запись $x_n\to a$ . Все остальные новые обозначения будем расшифровывать прямо перед первым существенным использованием.

По ходу статьи встречаются два вида практики. В блоках «Пример» решение разобрано полностью. Блоки «Задача» предназначены для самостоятельной работы; подробные решения к ним собраны после блока самопроверки.

Что такое функция

Сначала точно определим сам объект — функцию. У функции есть аргумент $x$ — число, которое мы подаём на вход, и значение $f(x)$ — число, которое получаем на выходе. При этом подставлять в функцию можно не любое число: множество всех разрешённых аргументов называется областью определения.

В определении подряд появились несколько новых обозначений. Разберём их как целые смысловые фрагменты.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$D_f\subseteq\mathbb R$	Область определения $D_f$ состоит из действительных чисел.
$f\colon D_f\to\mathbb R$	Функция принимает аргументы из $D_f$ и возвращает действительные значения.
$x\in D_f$	Число $x$ является допустимым аргументом функции.
$f(x)\in\mathbb R$	Значение функции при допустимом $x$ является действительным числом.

Здесь $\mathbb R$ — множество всех действительных чисел, то есть вся числовая прямая.

Сравнение с последовательностью удобно записать так:

\text{последовательность:}\quad n\in\mathbb N\longmapsto x_n\in\mathbb R

\text{функция:}\quad x\in D_f\subseteq\mathbb R\longmapsto f(x)\in\mathbb R

Стрелка $\longmapsto$ здесь читается «переходит в»: входному числу сопоставляется выходное.

Здесь $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ — натуральные числа. Последовательность можно воспринимать как частный вид функции: на вход она получает номер $n$ , а на выходе даёт член $x_n$ .

Важно не подменять $D_f$ всей числовой прямой. Например, функция $f(x)=\dfrac1x$ имеет область определения $\mathbb R\setminus\{0\}$ : знак $\setminus$ означает, что из $\mathbb R$ удалили число $0$ . У функции $g(x)=\sqrt{x}$ область определения равна $[0;+\infty)$ , то есть разрешены все $x\ge0$ .

Что описывает предел функции

Пусть нас интересует поведение $f(x)$ , когда аргумент $x$ приближается к некоторой точке $x_0$ . Запись

\lim_{x\to x_0}f(x)=A

говорит не о том, чему функция равна в точке $x_0$ , а о том, к какому числу становятся близки значения $f(x)$ при $x$ , близких к $x_0$ и отличных от него.

Сравним два вопроса:

Что спрашиваем	Запись	Что важно
Предел функции	$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A$	Значения $f(x)$ в точках $x\ne x_0$ , расположенных сколь угодно близко к $x_0$ .
Значение функции	$f(x_0)=B$	Только результат подстановки самого аргумента $x_0$ , если $x_0\in D_f$ .

LaTeX — Предел и значение функции в точке могут различаться

На рисунке значения функции вдоль графика приближаются к $A$ , хотя в самой точке функция равна $B$ . Это не противоречие: предел не использует $f(x_0)$ .

Окрестности и проколотые окрестности

Чтобы заменить слова «достаточно близко» точным условием, будем измерять расстояние модулем.

Неравенство $|x-a|<r$ буквально означает: расстояние от $x$ до $a$ меньше $r$ . Круглые скобки в $(a-r;\,a+r)$ показывают, что крайние точки $a-r$ и $a+r$ в интервал не входят. Запись

\{x\in\mathbb R:|x-a|<r\}

читается: «множество всех действительных $x$ , для которых выполняется $|x-a|<r$ ».

Знак $\setminus\{a\}$ означает «удалить точку $a$ ». Поэтому маленький кружок над $U$ в обозначении $\mathring U_r(a)$ удобно воспринимать как напоминание о «проколе»: центр не входит. Если проколотую окрестность записывают двумя интервалами, знак $\cup$ между ними означает объединение — берём точки либо из левого, либо из правого интервала.

В определении предела будут одновременно участвовать две окрестности:

$\mathring U_\delta(x_0)$ — вертикальный «коридор» по аргументу $x$ ;
$U_\varepsilon(A)$ — горизонтальный «коридор» по значениям $f(x)$ .

Буквы $\delta$ и $\varepsilon$ не обозначают заранее заданные специальные числа. Это положительные размеры двух окрестностей.

Определение предела по Коши

Теперь можно точно сформулировать идею «если $x$ достаточно близок к $x_0$ , то $f(x)$ достаточно близко к $A$ ».

Будем считать, что $x_0$ является предельной точкой области определения $D_f$ : в каждой сколь угодно малой проколотой окрестности $x_0$ есть точки множества $D_f$ . Проще говоря, к $x_0$ действительно можно приближаться разрешёнными аргументами $x\ne x_0$ . Подход с двух сторон не требуется: например, $0$ является предельной точкой $[0;+\infty)$ , хотя точки этого множества подходят к нулю только справа. А для множества $D_f=\{0\}$ число $0$ предельной точкой не является: рядом с ним нет других допустимых аргументов. Сама точка $x_0$ при этом может как принадлежать, так и не принадлежать $D_f$ .

На рисунке показан конкретный пример для $f(x)=2x+1$ , $x_0=1$ и $A=3$ . Если взять $\delta=\dfrac\varepsilon2$ , то из $|x-1|<\delta$ автоматически следует $|f(x)-3|<\varepsilon$ .

Для наглядности на рисунке взяты $\varepsilon=0{,}8$ и $\delta=0{,}4$ . Пунктирные линии показывают границы соответствующих окрестностей; из-за строгих неравенств сами границы в них не входят. Пустой кружок у $x_0$ на нижней оси напоминает о проколе: аргумент $x=x_0$ при проверке предела не используется.

Если $\varepsilon$ уменьшить, горизонтальная окрестность станет уже. Тогда определение разрешает подобрать новое, обычно меньшее $\delta_\varepsilon$ .

Разбор $\varepsilon$ – $\delta$ -определения

Самая трудная часть определения для первого знакомства — не модуль, а порядок слов «для любого» и «существует». Такие логические символы называют кванторами. Буквы $\varepsilon$ («эпсилон») и $\delta$ («дельта») обозначают положительные расстояния: $\varepsilon$ задаёт допустимую ошибку по значению функции, а $\delta$ — допустимое отклонение аргумента от $x_0$ . Индекс $\varepsilon$ в записи $\delta_\varepsilon$ — не умножение: он напоминает, что выбранное число $\delta$ может зависеть от заданного $\varepsilon$ .

Разберём запись из определения не по отдельным значкам, а по полным смысловым фрагментам.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$\forall\varepsilon>0$	Какую бы положительную точность $\varepsilon$ нам ни задали, доказательство должно работать.
$\exists\delta_\varepsilon>0$	После выбора точности разрешено подобрать подходящую положительную ширину окрестности $\delta_\varepsilon$ .
$\forall x\in D_f$	Одно выбранное $\delta_\varepsilon$ должно работать сразу для всех допустимых точек, а не для одной удобной точки.
$0<\|x-x_0\|<\delta_\varepsilon$	Аргумент находится в проколотой $\delta_\varepsilon$ -окрестности: близко к $x_0$ , но не равен $x_0$ .
$\Longrightarrow$	Близость аргумента должна гарантировать требуемую близость значения функции.
$\|f(x)-A\|<\varepsilon$	Значение функции попадает внутрь заданной $\varepsilon$ -окрестности предполагаемого предела.

Порядок здесь принципиален: сначала задают произвольную точность $\varepsilon$ , затем мы выбираем одно подходящее $\delta_\varepsilon$ , и оно должно сработать сразу для всех допустимых $x$ из выбранной проколотой окрестности. Число $\delta_\varepsilon$ может зависеть от $\varepsilon$ и от самой задачи, но после выбора его нельзя менять от точки к точке.

Если некоторое $\delta$ подходит, то любое меньшее положительное $\delta'$ тоже подходит: мы просто рассматриваем более узкую область по $x$ .

Смысл утверждения такой: одна и та же функция не может в одной и той же точке одновременно стремиться к двум разным числам. Если бы кандидатами были разные числа $A$ и $B$ , можно было бы выбрать настолько маленькие окрестности вокруг них, чтобы они не пересекались. Но при достаточно близких к $x_0$ допустимых аргументах значения функции по определению должны были бы одновременно попадать в обе окрестности, что невозможно.

Как доказывать предел по Коши

В учебной задаче число $A$ обычно уже предполагается известным, а требуется строго доказать

\lim_{x\to x_0}f(x)=A

Главная работа — построить подходящее $\delta_\varepsilon$ .

Рабочий алгоритм.

Возьмите произвольное $\varepsilon>0$ .
Посмотрите на требуемое неравенство $|f(x)-A|<\varepsilon$ .
Преобразуйте или оцените $|f(x)-A|$ через $|x-x_0|$ .
Если появился дополнительный множитель, получите для него удобную верхнюю оценку. Если есть знаменатель, отдельно гарантируйте, что его модуль отделён от нуля, то есть оцените его снизу некоторым положительным числом. Часто для этого достаточно простого вспомогательного условия вроде $|x-x_0|<1$ .
Выберите $\delta_\varepsilon$ так, чтобы все ограничения выполнялись одновременно.
Запишите финальную проверку уже в прямом порядке: от $0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon$ к $|f(x)-A|<\varepsilon$ .

Поиск $\delta$ часто идёт «с конца»: мы изучаем, чего достаточно для неравенства $|f(x)-A|<\varepsilon$ . Это черновой поиск. В окончательном доказательстве логика должна идти вперёд от выбранного $\delta$ .

Пример

Докажем по Коши, что

\lim_{x\to2}(3x-1)=5

Идея. Здесь расстояние между значениями функции и пределом сразу выражается через расстояние между аргументами:

|(3x-1)-5|=3|x-2|

Чтобы правая часть была меньше $\varepsilon$ , достаточно потребовать $|x-2|<\dfrac\varepsilon3$ .

Строгая проверка. Возьмём произвольное $\varepsilon>0$ и положим

\delta_\varepsilon=\frac\varepsilon3

Для любого $x$ , удовлетворяющего $0<|x-2|<\delta_\varepsilon$ , получаем

|(3x-1)-5| =3|x-2| <3\delta_\varepsilon =\varepsilon

Следовательно, определение Коши выполнено и предел действительно равен $5$ .

Линейная функция — самый прозрачный случай. Для квадрата появляется дополнительный множитель, который нужно сначала взять под контроль.

Пример

Докажем

\lim_{x\to2}x^2=4

Идея. Разложим разность:

|x^2-4|=|x-2|\,|x+2|

Первый множитель мы умеем уменьшать выбором $\delta$ , но второй зависит от $x$ .

Ограничиваем дополнительный множитель. Если потребовать

|x-2|<1

то $1<x<3$ , а значит

|x+2|<5

Теперь

|x^2-4|<5|x-2|

Выбираем $\delta_\varepsilon$ . Чтобы одновременно выполнялись вспомогательное условие $|x-2|<1$ и итоговое $5|x-2|<\varepsilon$ , берём

\delta_\varepsilon=\min\left\{1,\frac\varepsilon5\right\}

Проверяем выбранное $\delta_\varepsilon$ . Пусть $0<|x-2|<\delta_\varepsilon$ . Тогда $|x-2|<1$ , поэтому $|x+2|<5$ , и

\begin{aligned} |x^2-4| &=|x-2|\,|x+2|\\ &<5|x-2|\\ &<5\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}

Каждая новая строка продолжает оценку той же величины $|x^2-4|$ . Значит, $\lim\limits_{x\to2}x^2=4$ .

Пример

Докажем более осторожный предел

\lim_{x\to2}\frac1x=\frac12

Идея. Сначала выразим расстояние от значения функции до предполагаемого предела:

\begin{aligned} \left|\frac1x-\frac12\right| &=\left|\frac{2-x}{2x}\right| =\frac{|2-x|}{2|x|} =\frac{|x-2|}{2|x|} \end{aligned}

Здесь $x-2$ появляется не из предела, а из обычного приведения дробей к общему знаменателю. Кроме того,

|2-x|=|-(x-2)|=|x-2|

потому что модуль числа и противоположного ему числа одинаков. Защищаем знаменатель от нуля. Нельзя просто уменьшать $|x-2|$ : нужно ещё гарантировать, что знаменатель не станет малым. Если $|x-2|<1$ , то $1<x<3$ , следовательно $|x|>1$ и

\frac{|x-2|}{2|x|}<\frac{|x-2|}{2}

Выбираем $\delta_\varepsilon$ . Поэтому подходит

\delta_\varepsilon=\min\{1,2\varepsilon\}

Проверяем выбранное $\delta_\varepsilon$ . Из $0<|x-2|<\delta_\varepsilon$ следует

\left|\frac1x-\frac12\right| <\frac{|x-2|}{2} <\frac{\delta_\varepsilon}{2} \le\varepsilon

Предел доказан.

Почему значение в точке не определяет предел

В условии Коши стоит строгое неравенство

0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon

Левая часть $0<|x-x_0|$ исключает равенство $x=x_0$ . Поэтому значение $f(x_0)$ в определение предела вообще не входит.

Если в этой же формуле вообще не задавать значение при $x=1$ , предел всё равно останется равным $2$ : для предела достаточно поведения функции в проколотой окрестности.

Определение предела по Гейне

Коши контролирует все допустимые точки $x\in D_f$ в малой проколотой окрестности. Гейне переводит ту же идею на язык произвольных последовательностей $x_n\to x_0$ .

Как и в определении Коши, считаем $x_0$ предельной точкой $D_f$ .

В определении Гейне тоже важно видеть смысл всей записи, а не только отдельных символов.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$x_n\in D_f$	Каждый член последовательности является допустимым аргументом функции.
$x_n\ne x_0$ для всех $n$	Ни один член последовательности не попадает прямо в центральную точку $x_0$ .
$x_n\to x_0$	Аргументы последовательности становятся сколь угодно близкими к $x_0$ .
$f(x_n)\to A$	Значения функции вдоль этой последовательности должны приближаться к одному и тому же числу $A$ .

Условия $x_n\in D_f$ и $x_n\ne x_0$ означают, что каждый член — допустимый аргумент функции, но ни один член не равен $x_0$ . Такие последовательности дальше будем коротко называть допустимыми. Смысл слова «каждой» принципиален. Последовательность может подходить к $x_0$ справа, слева или бесконечно менять сторону; может делать это монотонно, то есть всё время двигаться в одном направлении, или колебаться вокруг $x_0$ . Если предел функции существует, все такие способы приближения должны давать один и тот же предел значений функции.

Коши и Гейне: два языка одной идеи

Определения выглядят по-разному. Коши говорит об окрестностях и двух параметрах близости: $\varepsilon$ задаёт требуемую точность по значению функции, а $\delta$ — допустимую близость аргумента к $x_0$ . Гейне говорит о последовательностях. Тем не менее для обычного конечного предела функции в точке они описывают одно и то же свойство.

Слово «равносильны» означает, что из первого утверждения следует второе и, наоборот, из второго следует первое. Именно эту эквивалентность часто формулируют как критерий Гейне: существование и значение предела функции можно проверять по поведению $f(x_n)$ для каждой допустимой последовательности $x_n\to x_0$ . Условие необходимо: если предел есть, оно обязательно выполняется. И достаточно: если оно выполняется для каждой допустимой последовательности, то предел действительно равен $A$ .

Сравниваем	Коши	Гейне
Что проверяем	Все допустимые $x\in D_f$ в достаточно малой проколотой окрестности.	Любую допустимую последовательность $x_n\to x_0$ .
Главный язык	Расстояния, $\varepsilon$ и $\delta$ .	Пределы последовательностей.
Особенно удобно	Строить явную оценку $\delta_\varepsilon$ .	Опровергать существование предела удачно выбранными последовательностями.

Интуитивная связь такая: если все допустимые точки из достаточно малой проколотой $\delta$ -окрестности отправляются внутрь $\varepsilon$ -окрестности числа $A$ , то для любой допустимой последовательности $x_n\to x_0$ найдётся номер $N$ такой, что

\exists N\in\mathbb N\quad \forall n\ge N:\qquad 0<|x_n-x_0|<\delta

Значит, начиная с номера $N$ все значения $f(x_n)$ находятся внутри $\varepsilon$ -окрестности числа $A$ . Обратное направление требует аккуратно превратить нарушение условия Коши в последовательность нарушающих точек.

Поэтому Коши особенно удобен для явной оценки $\delta_\varepsilon$ , а Гейне — для опровержения предела последовательностями.

Как с помощью Гейне доказать, что предела нет

Из определения Гейне следует очень практичный способ опровержения. Если бы предел $A$ существовал, каждая последовательность аргументов $x_n\to x_0$ должна была бы давать один и тот же предел $f(x_n)\to A$ .

Поэтому достаточно найти два допустимых способа приближения к $x_0$ , которые приводят значения функции к разным числам.

Это непосредственное применение Гейне: один общий предел функции не может одновременно заставить последовательности значений сходиться к двум разным числам.

Почему для опровержения достаточно двух последовательностей, а для доказательства — нет?

Определение Гейне требует правильного поведения для всех последовательностей. Контрпример — это один пример, нарушающий утверждение «для всех»; уже его достаточно, чтобы такое утверждение стало неверным. Но проверка одной или нескольких удачных последовательностей ещё не гарантирует, что какая-то другая последовательность не поведёт себя иначе.

Чем ближе $x$ к нулю справа, тем чаще колеблется $\sin\dfrac1x$ ; рисунок показывает лишь конечный фрагмент этой бесконечной картины. При этом обе группы отмеченных аргументов находятся справа от нуля и приближаются к нему, но соответствующие значения функции остаются на разных уровнях $1$ и $-1$ . Значит, причина отсутствия предела здесь сложнее простого несовпадения поведения «слева» и «справа».

Типичные ошибки

Проверьте себя

Вопросы и мини-задачи.

Сначала решите их самостоятельно, а затем сверитесь с подробными решениями ниже.

В чём принципиальная разница между утверждениями
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \qquad\text{и}\qquad f(x_0)=A?$
Запишите проколотую $0{,}2$ -окрестность точки $3$ в виде объединения интервалов и в виде двойного неравенства с модулем.
Что выбирают сначала в определении Коши: $\varepsilon$ или $\delta$ ? Может ли $\delta$ зависеть от $\varepsilon$ ? Может ли после этого $\delta$ зависеть от конкретного $x$ ?
Для функции $f(x)=4x+1$ подберите $\delta_\varepsilon$ , доказывающее
$\lim_{x\to2}(4x+1)=9$
Докажите по Коши
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Укажите явный выбор $\delta_\varepsilon$ .
Пусть
$g(x)= \begin{cases} 2x+1, & x\ne0\\ 7, & x=0 \end{cases}$
Найдите $g(0)$ и $\lim\limits_{x\to0}g(x)$ .
Пусть $x_n\to3$ и $x_n\ne3$ для всех $n$ . К какому числу стремится $2x_n^2-1$ ? Как это связано с определением Гейне для функции $f(x)=2x^2-1$ ?
У функции
$h(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\ 1, & x>0 \end{cases}$
значение при $x=0$ не задано. Используйте две последовательности, чтобы выяснить, существует ли $\lim\limits_{x\to0}h(x)$ .
Две выбранные вами последовательности $x_n\to x_0$ дали один и тот же предел $f(x_n)\to A$ . Достаточно ли этого, чтобы доказать $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ по Гейне?
В попытке доказать предел после заданного $\varepsilon$ для каждой точки $x$ нашли своё число $\delta_x>0$ . Какое слово в определении Коши нарушено таким рассуждением?
Почему запись $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ не подходит для описания функции $f(x)=\dfrac1x$ ? Запишите область определения корректно.
Восстановите порядок кванторов и условий. Знак $\Longleftrightarrow$ читается «равносильно»: левая и правая записи выражают одно и то же утверждение.
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \ldots$
используя $\varepsilon$ , $\delta$ , $x$ , $0<|x-x_0|$ и $|f(x)-A|$ .

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Предел и значение функции отвечают на разные вопросы. Запись
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$
описывает поведение значений $f(x)$ при аргументах $x$ , которые становятся сколь угодно близкими к $x_0$ , но не равны $x_0$ . Поэтому в определении предела используется проколотая окрестность.
Запись
$f(x_0)=A$
говорит только о результате подстановки самого числа $x_0$ , если функция в этой точке определена. Эти два числа могут совпадать, но это не обязательно. Возможны три ситуации: $f(x_0)=A$ ; значение $f(x_0)$ существует, но отличается от $A$ ; значение $f(x_0)$ вообще не определено. Сам предел во всех трёх случаях может существовать.
Обычная $0{,}2$ -окрестность точки $3$ была бы интервалом
$(3-0{,}2;\,3+0{,}2)=(2{,}8;\,3{,}2)$
Для проколотой окрестности нужно дополнительно удалить сам центр $3$ . Поэтому
$\mathring U_{0{,}2}(3) =(2{,}8;\,3)\cup(3;\,3{,}2)$
Та же область одной формулой задаётся условием
$0<|x-3|<0{,}2$
Левая часть $0<|x-3|$ исключает точку $x=3$ , а правая часть $|x-3|<0{,}2$ оставляет только точки на расстоянии меньше $0{,}2$ от неё.
В определении Коши порядок принципиален. Сначала задают произвольное
$\varepsilon>0$
После этого разрешено выбрать подходящее
$\delta_\varepsilon>0$
Поэтому $\delta_\varepsilon$ может зависеть от $\varepsilon$ и, конечно, от самой функции, точки $x_0$ и предполагаемого предела $A$ .
Но после того как $\delta_\varepsilon$ выбрано, оно должно работать сразу для всех допустимых $x$ с
$0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon$
Подбирать новое $\delta$ отдельно для каждой точки $x$ нельзя: тогда не было бы одного общего проколотого интервала, контролирующего поведение функции.
Нужно доказать
$\lim_{x\to2}(4x+1)=9$
Возьмём произвольное $\varepsilon>0$ . Смотрим на требуемое расстояние до предполагаемого предела:
$\begin{aligned} |(4x+1)-9| &=|4x-8|\\ &=4|x-2| \end{aligned}$
Чтобы эта величина была меньше $\varepsilon$ , достаточно потребовать
$|x-2|<\frac{\varepsilon}{4}$
Поэтому выбираем
$\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{4}$
Теперь выполняем проверку в прямом порядке. Если
$0<|x-2|<\delta_\varepsilon,$
то
$|(4x+1)-9| =4|x-2| <4\delta_\varepsilon =\varepsilon$
Условие Коши выполнено для любого $\varepsilon>0$ , значит,
$\lim_{x\to2}(4x+1)=9$
Докажем
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Возьмём произвольное $\varepsilon>0$ . Разность квадратов раскладывается на множители:
$|x^2-1|=|x-1|\,|x+1|$
Множитель $|x-1|$ мы можем сделать малым выбором $\delta$ , но $|x+1|$ тоже зависит от $x$ . Поэтому сначала ограничим его.
Потребуем дополнительно
$|x-1|<1$
Из этого следует
$0<x<2,$
а значит,
$1<x+1<3 \quad\Longrightarrow\quad |x+1|<3$
Теперь
$|x^2-1|<3|x-1|$
Чтобы одновременно выполнить вспомогательное условие $|x-1|<1$ и получить $3|x-1|<\varepsilon$ , выбираем
$\delta_\varepsilon =\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}$
Если
$0<|x-1|<\delta_\varepsilon,$
то $|x+1|<3$ и
$\begin{aligned} |x^2-1| &=|x-1|\,|x+1|\\ &<3|x-1|\\ &<3\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}$
Следовательно,
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Сначала найдём значение функции в самой точке. По условию
$g(0)=7$
Теперь исследуем предел. При $x\ne0$ действует другая ветвь:
$g(x)=2x+1$
Поэтому ожидаемый предел равен $1$ . Это можно проверить прямо по Коши. Для произвольного $\varepsilon>0$ выберем
$\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{2}$
Если $0<|x|<\delta_\varepsilon$ , то
$|g(x)-1| =|2x+1-1| =2|x| <2\delta_\varepsilon =\varepsilon$
Значит,
$\lim_{x\to0}g(x)=1, \qquad g(0)=7$
Разные ответы не противоречат друг другу: предел не использует значение функции в центральной точке.
Для данной последовательности $x_n\to3$ по арифметическим свойствам пределов последовательностей имеем
$x_n^2\to3^2=9$
Умножение на постоянную и вычитание постоянной сохраняют предел, поэтому
$2x_n^2-1 \longrightarrow 2\cdot9-1 =17$
То есть для любой такой последовательности значения функции
$f(x)=2x^2-1$
должны стремиться к $17$ .
Важно различать одну выбранную последовательность и определение Гейне. Проверка одной последовательности сама по себе ещё не доказывает предел функции. Но приведённое рассуждение использует только условие $x_n\to3$ и поэтому работает для произвольной допустимой последовательности $x_n\to3$ , $x_n\ne3$ . Следовательно, условие Гейне выполнено и
$\lim_{x\to3}(2x^2-1)=17$
Функция принимает разные постоянные значения по разные стороны от нуля. Поэтому естественно подойти к нулю отдельно слева и справа. Возьмём
$x_n=-\frac1n, \qquad y_n=\frac1n$
Обе последовательности допустимы: их члены не равны нулю и
$x_n\to0, \qquad y_n\to0$
Для $x_n<0$ имеем
$h(x_n)=0$
при каждом $n$ , поэтому $h(x_n)\to0$ . Для $y_n>0$ имеем
$h(y_n)=1$
при каждом $n$ , поэтому $h(y_n)\to1$ .
Получились два разных предела значений функции. Если бы конечный предел $\lim\limits_{x\to0}h(x)$ существовал, по Гейне обе последовательности значений обязаны были бы стремиться к одному и тому же числу. Это невозможно. Следовательно,
$\lim_{x\to0}h(x)\text{ не существует}$
Нет. В определении Гейне ключевое слово — «для каждой» допустимой последовательности. Даже если две, десять или сто выбранных последовательностей дают один и тот же результат, может существовать другая последовательность с иным поведением.
Например, для функции
$h(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$
две последовательности $x_n=1/n$ и $y_n=1/(n+1)$ обе подходят к нулю справа и дают значение $1$ . Но последовательность $z_n=-1/n$ подходит к тому же нулю слева и даёт значение $0$ . Поэтому конечное число удачных проверок не заменяет универсальное условие Гейне.
Правильный порядок в определении Коши имеет вид
$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta_\varepsilon>0\quad \forall x\in D_f:\quad\ldots$
То есть после фиксации $\varepsilon$ нужно найти одно число $\delta_\varepsilon$ , которое затем подходит для всех соответствующих $x$ .
Если вместо этого для каждой точки $x$ выбирать своё $\delta_x$ , порядок кванторов фактически меняется. Сравним две схемы:
$\begin{aligned} \text{правильно:}\quad &\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0\ \forall x\in D_f,\\ \text{неправильно:}\quad &\forall\varepsilon>0\ \forall x\in D_f\ \exists\delta_x>0 \end{aligned}$
Во второй записи число $\delta_x$ разрешено менять вместе с точкой $x$ . Это значительно более слабое утверждение: общего проколотого интервала, на котором функция контролируется целиком, мы не получили. Нарушено именно требование выбрать
$\exists\delta_\varepsilon>0$
до проверки произвольного $x$ .
Запись
$f\colon\mathbb R\to\mathbb R$
утверждает, что функция определена при каждом действительном аргументе. Но выражение
$\frac1x$
не имеет смысла при $x=0$ , потому что делить на ноль нельзя. Поэтому число $0$ нужно исключить из области определения:
$f\colon\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R, \qquad f(x)=\frac1x$
Здесь символ $\setminus\{0\}$ означает «удалить ноль из множества действительных чисел». Кодомен $\mathbb R$ допустим: все значения $1/x$ являются действительными числами.
Восстановим определение по шагам, а не будем пытаться запомнить всю строку целиком.
Сначала в условии говорится: какую бы положительную точность мы ни потребовали. Это даёт первый квантор
$\forall\varepsilon>0$
После заданного $\varepsilon$ мы должны суметь подобрать одну подходящую ширину окрестности:
$\exists\delta_\varepsilon>0$
Затем выбранное $\delta_\varepsilon$ должно работать не для одной точки, а для каждого допустимого аргумента:
$\forall x\in D_f$
Остаётся записать условие «если $x$ достаточно близок к $x_0$ , но не равен ему, то значение функции достаточно близко к $A$ »:
$0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$
Соединяя четыре части в правильном порядке, получаем
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0\ \forall x\in D_f:\ 0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$
Порядок нельзя менять: сначала задаётся $\varepsilon$ , затем выбирается одно подходящее $\delta_\varepsilon$ , и только после этого проверяются все допустимые $x$ .

Решения к задачам по ходу статьи.

Нужно построить обычную и проколотую $0{,}4$ -окрестности точки $3$ . Сначала вычисляем концы обычной окрестности:
$3-0{,}4=2{,}6, \qquad 3+0{,}4=3{,}4$
Поэтому
$U_{0{,}4}(3)=(2{,}6;\,3{,}4)$
Условие через модуль записывается так:
$U_{0{,}4}(3)=\{x\in\mathbb R:|x-3|<0{,}4\}$
Для проколотой окрестности удаляем сам центр $3$ :
$\mathring U_{0{,}4}(3) =(2{,}6;\,3)\cup(3;\,3{,}4),$
или, что то же самое,
$\mathring U_{0{,}4}(3) =\{x\in\mathbb R:0<|x-3|<0{,}4\}$
Докажем по Коши
$\lim_{x\to3}(5x-4)=11$
Берём произвольное $\varepsilon>0$ и вычисляем расстояние от значения функции до предполагаемого предела:
$\begin{aligned} |(5x-4)-11| &=|5x-15|\\ &=5|x-3| \end{aligned}$
Чтобы получить величину меньше $\varepsilon$ , достаточно потребовать
$|x-3|<\frac{\varepsilon}{5}$
Выбираем
$\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{5}$
Если $0<|x-3|<\delta_\varepsilon$ , то
$|(5x-4)-11| =5|x-3| <5\delta_\varepsilon =\varepsilon$
Следовательно,
$\lim_{x\to3}(5x-4)=11$
Докажем
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Для произвольного $\varepsilon>0$ имеем
$|x^2-1|=|x-1|\,|x+1|$
Потребуем сначала $|x-1|<1$ . Тогда $0<x<2$ , поэтому $|x+1|<3$ . Значит,
$|x^2-1|<3|x-1|$
Выбираем
$\delta_\varepsilon =\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}$
Из $0<|x-1|<\delta_\varepsilon$ следует
$\begin{aligned} |x^2-1| &=|x-1|\,|x+1|\\ &<3|x-1|\\ &<3\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}$
По определению Коши предел равен $1$ .
Докажем
$\lim_{x\to1}\frac1x=1$
Сначала преобразуем требуемое расстояние:
$\begin{aligned} \left|\frac1x-1\right| &=\left|\frac{1-x}{x}\right|\\ &=\frac{|x-1|}{|x|} \end{aligned}$
Нужно не только уменьшить числитель, но и не дать знаменателю приблизиться к нулю. Для этого потребуем
$|x-1|<\frac12$
Тогда
$\frac12<x<\frac32,$
следовательно,
$|x|>\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac1{|x|}<2$
Поэтому
$\left|\frac1x-1\right| <2|x-1|$
Чтобы одновременно выполнить вспомогательное условие и получить $2|x-1|<\varepsilon$ , берём
$\delta_\varepsilon =\min\left\{\frac12,\frac{\varepsilon}{2}\right\}$
Если $0<|x-1|<\delta_\varepsilon$ , то
$\left|\frac1x-1\right| <2|x-1| <2\delta_\varepsilon \le\varepsilon$
Значит,
$\lim_{x\to1}\frac1x=1$
Сначала подставляем $x=2$ в ту ветвь, которая специально задана для этой точки:
$h(2)=-10$
Для предела значение в точке не используется. При $x\ne2$ можно разложить числитель:
$x^2-4=(x-2)(x+2)$
Поскольку при исследовании предела рассматриваются $x\ne2$ , знаменатель $x-2$ здесь не равен нулю, и сокращение законно. Поэтому в проколотой окрестности точки $2$
$h(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$
Следовательно,
$\lim_{x\to2}h(x) =\lim_{x\to2}(x+2) =4$
Итак,
$h(2)=-10, \qquad \lim_{x\to2}h(x)=4$
Противоречия нет: первое число относится к самой точке, второе — к поведению функции рядом с ней.
Нужно проверить предел $x^2$ при $x\to2$ по Гейне. Берём произвольную допустимую последовательность $(x_n)$ , для которой
$x_n\to2, \qquad x_n\ne2$
По арифметическому свойству пределов последовательностей
$x_n^2\to2^2=4$
Мы нигде не задавали специальную формулу для $x_n$ : использовали только факт $x_n\to2$ . Значит, тот же вывод получается для любой допустимой последовательности, приближающейся к $2$ . Именно это слово «любой» и требуется в определении Гейне. Поэтому условие Гейне выполнено и
$\lim_{x\to2}x^2=4$
Рассматриваем
$f(x)=\sin\frac1x, \qquad x\ne0,$
и последовательности
$x_n=\frac{1}{\dfrac\pi2+2\pi n}, \qquad y_n=\frac{1}{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n}$
В обоих знаменателях величина растёт без границ, поэтому
$x_n\to0, \qquad y_n\to0$
Кроме того, все члены положительны и не равны нулю, то есть обе последовательности допустимы.
Теперь подставляем их в функцию. Для первой последовательности
$\begin{aligned} f(x_n) &=\sin\left(\frac1{x_n}\right)\\ &=\sin\left(\frac\pi2+2\pi n\right) =1 \end{aligned}$
Следовательно, $f(x_n)\to1$ . Для второй последовательности
$\begin{aligned} f(y_n) &=\sin\left(\frac1{y_n}\right)\\ &=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right) =-1 \end{aligned}$
поэтому $f(y_n)\to-1$ .
Две допустимые последовательности аргументов стремятся к одной точке $0$ , а последовательности значений имеют разные пределы. По критерию Гейне
$\lim_{x\to0}\sin\frac1x\text{ не существует}$

Итог

Предел функции отвечает на вопрос о поведении значений $f(x)$ при приближении аргумента к $x_0$ , но не использует значение функции в самой точке $x_0$ .

Определение Коши переводит слово «близко» на язык расстояний:

\varepsilon \longrightarrow \delta_\varepsilon \longrightarrow x\in D_f\cap\mathring U_{\delta_\varepsilon}(x_0) \longrightarrow f(x)\in U_\varepsilon(A)

Определение Гейне проверяет ту же идею через последовательности:

x_n\in D_f,\qquad x_n\ne x_0,\qquad x_n\to x_0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_n)\to A

для каждой допустимой последовательности $(x_n)$ .

Для быстрого повторения соберём основные понятия в одну таблицу: в левой колонке указано, что нужно вспомнить, а в правой — его краткий смысл.

Главная смысловая схема.

Понятие	Суть
Функция	Правило $f\colon D_f\to\mathbb R$ , которое каждому $x\in D_f$ ставит в соответствие ровно одно значение $f(x)$ .
Окрестности	$U_r(a)$ задаётся условием $\|x-a\|<r$ ; проколотая окрестность — условием $0<\|x-a\|<r$ .
Предельная точка	К $x_0$ можно приближаться другими допустимыми точками области определения; именно в таких точках обычный предел описывает поведение функции рядом с $x_0$ .
Предел $A$	Все значения функции при достаточно близких к $x_0$ допустимых аргументах $x\ne x_0$ можно удержать сколь угодно близко к $A$ .
Предел и значение в точке	$f(x_0)$ не участвует в обычном пределе: значение в точке может совпадать с пределом, отличаться от него или вообще не существовать.
Единственность предела	Если конечный предел при $x\to x_0$ существует, другого конечного значения у этого же предела быть не может.
Коши	Для каждого $\varepsilon>0$ существует $\delta_\varepsilon>0$ , которое контролирует все допустимые $x\in D_f$ из соответствующей проколотой окрестности.
Гейне	Каждая последовательность, для которой $x_n\in D_f$ , $x_n\ne x_0$ и $x_n\to x_0$ , должна порождать $f(x_n)\to A$ .
Как опровергнуть предел	Достаточно найти две допустимые последовательности аргументов, для которых значения функции стремятся к разным числам.

Ключ к определению Коши — порядок: сначала произвольное $\varepsilon$ , затем $\delta_\varepsilon$ , затем проверка всех допустимых $x\in D_f$ выбранной проколотой окрестности.

Предел функции в точке: определения по Коши и Гейне

Содержание

Что такое функция
Что описывает предел функции
Окрестности и проколотые окрестности
Определение предела по Коши
Разбор $\varepsilon$ – $\delta$ -определения
Как доказывать предел по Коши
Почему значение в точке не определяет предел
Определение предела по Гейне
Коши и Гейне: два языка одной идеи
Как с помощью Гейне доказать, что предела нет
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Что даст эта статья.

Что такое функция

В определении подряд появились несколько новых обозначений. Разберём их как целые смысловые фрагменты.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$D_f\subseteq\mathbb R$	Область определения $D_f$ состоит из действительных чисел.
$f\colon D_f\to\mathbb R$	Функция принимает аргументы из $D_f$ и возвращает действительные значения.
$x\in D_f$	Число $x$ является допустимым аргументом функции.
$f(x)\in\mathbb R$	Значение функции при допустимом $x$ является действительным числом.

Здесь $\mathbb R$ — множество всех действительных чисел, то есть вся числовая прямая.

Сравнение с последовательностью удобно записать так:

\text{последовательность:}\quad n\in\mathbb N\longmapsto x_n\in\mathbb R

\text{функция:}\quad x\in D_f\subseteq\mathbb R\longmapsto f(x)\in\mathbb R

Стрелка $\longmapsto$ здесь читается «переходит в»: входному числу сопоставляется выходное.

Что описывает предел функции

Пусть нас интересует поведение $f(x)$ , когда аргумент $x$ приближается к некоторой точке $x_0$ . Запись

\lim_{x\to x_0}f(x)=A

Сравним два вопроса:

Что спрашиваем	Запись	Что важно
Предел функции	$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A$	Значения $f(x)$ в точках $x\ne x_0$ , расположенных сколь угодно близко к $x_0$ .
Значение функции	$f(x_0)=B$	Только результат подстановки самого аргумента $x_0$ , если $x_0\in D_f$ .

Окрестности и проколотые окрестности

Чтобы заменить слова «достаточно близко» точным условием, будем измерять расстояние модулем.

\{x\in\mathbb R:|x-a|<r\}

читается: «множество всех действительных $x$ , для которых выполняется $|x-a|<r$ ».

В определении предела будут одновременно участвовать две окрестности:

$\mathring U_\delta(x_0)$ — вертикальный «коридор» по аргументу $x$ ;
$U_\varepsilon(A)$ — горизонтальный «коридор» по значениям $f(x)$ .

Определение предела по Коши

Теперь можно точно сформулировать идею «если $x$ достаточно близок к $x_0$ , то $f(x)$ достаточно близко к $A$ ».

Разбор $\varepsilon$ – $\delta$ -определения

Разберём запись из определения не по отдельным значкам, а по полным смысловым фрагментам.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$\forall\varepsilon>0$	Какую бы положительную точность $\varepsilon$ нам ни задали, доказательство должно работать.
$\exists\delta_\varepsilon>0$	После выбора точности разрешено подобрать подходящую положительную ширину окрестности $\delta_\varepsilon$ .
$\forall x\in D_f$	Одно выбранное $\delta_\varepsilon$ должно работать сразу для всех допустимых точек, а не для одной удобной точки.
$0<\|x-x_0\|<\delta_\varepsilon$	Аргумент находится в проколотой $\delta_\varepsilon$ -окрестности: близко к $x_0$ , но не равен $x_0$ .
$\Longrightarrow$	Близость аргумента должна гарантировать требуемую близость значения функции.
$\|f(x)-A\|<\varepsilon$	Значение функции попадает внутрь заданной $\varepsilon$ -окрестности предполагаемого предела.

Как доказывать предел по Коши

В учебной задаче число $A$ обычно уже предполагается известным, а требуется строго доказать

\lim_{x\to x_0}f(x)=A

Главная работа — построить подходящее $\delta_\varepsilon$ .

Рабочий алгоритм.

Возьмите произвольное $\varepsilon>0$ .
Посмотрите на требуемое неравенство $|f(x)-A|<\varepsilon$ .
Преобразуйте или оцените $|f(x)-A|$ через $|x-x_0|$ .
Если появился дополнительный множитель, получите для него удобную верхнюю оценку. Если есть знаменатель, отдельно гарантируйте, что его модуль отделён от нуля, то есть оцените его снизу некоторым положительным числом. Часто для этого достаточно простого вспомогательного условия вроде $|x-x_0|<1$ .
Выберите $\delta_\varepsilon$ так, чтобы все ограничения выполнялись одновременно.
Запишите финальную проверку уже в прямом порядке: от $0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon$ к $|f(x)-A|<\varepsilon$ .

Пример

Докажем по Коши, что

\lim_{x\to2}(3x-1)=5

|(3x-1)-5|=3|x-2|

Чтобы правая часть была меньше $\varepsilon$ , достаточно потребовать $|x-2|<\dfrac\varepsilon3$ .

Строгая проверка. Возьмём произвольное $\varepsilon>0$ и положим

\delta_\varepsilon=\frac\varepsilon3

Для любого $x$ , удовлетворяющего $0<|x-2|<\delta_\varepsilon$ , получаем

|(3x-1)-5| =3|x-2| <3\delta_\varepsilon =\varepsilon

Следовательно, определение Коши выполнено и предел действительно равен $5$ .

Пример

Докажем

\lim_{x\to2}x^2=4

Идея. Разложим разность:

|x^2-4|=|x-2|\,|x+2|

Первый множитель мы умеем уменьшать выбором $\delta$ , но второй зависит от $x$ .

Ограничиваем дополнительный множитель. Если потребовать

|x-2|<1

то $1<x<3$ , а значит

|x+2|<5

Теперь

|x^2-4|<5|x-2|

\delta_\varepsilon=\min\left\{1,\frac\varepsilon5\right\}

Проверяем выбранное $\delta_\varepsilon$ . Пусть $0<|x-2|<\delta_\varepsilon$ . Тогда $|x-2|<1$ , поэтому $|x+2|<5$ , и

\begin{aligned} |x^2-4| &=|x-2|\,|x+2|\\ &<5|x-2|\\ &<5\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}

Каждая новая строка продолжает оценку той же величины $|x^2-4|$ . Значит, $\lim\limits_{x\to2}x^2=4$ .

Пример

Докажем более осторожный предел

\lim_{x\to2}\frac1x=\frac12

Идея. Сначала выразим расстояние от значения функции до предполагаемого предела:

\begin{aligned} \left|\frac1x-\frac12\right| &=\left|\frac{2-x}{2x}\right| =\frac{|2-x|}{2|x|} =\frac{|x-2|}{2|x|} \end{aligned}

Здесь $x-2$ появляется не из предела, а из обычного приведения дробей к общему знаменателю. Кроме того,

|2-x|=|-(x-2)|=|x-2|

\frac{|x-2|}{2|x|}<\frac{|x-2|}{2}

Выбираем $\delta_\varepsilon$ . Поэтому подходит

\delta_\varepsilon=\min\{1,2\varepsilon\}

Проверяем выбранное $\delta_\varepsilon$ . Из $0<|x-2|<\delta_\varepsilon$ следует

\left|\frac1x-\frac12\right| <\frac{|x-2|}{2} <\frac{\delta_\varepsilon}{2} \le\varepsilon

Предел доказан.

Почему значение в точке не определяет предел

В условии Коши стоит строгое неравенство

0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon

Левая часть $0<|x-x_0|$ исключает равенство $x=x_0$ . Поэтому значение $f(x_0)$ в определение предела вообще не входит.

Определение предела по Гейне

Как и в определении Коши, считаем $x_0$ предельной точкой $D_f$ .

В определении Гейне тоже важно видеть смысл всей записи, а не только отдельных символов.

Фрагмент записи	Что означает здесь
$x_n\in D_f$	Каждый член последовательности является допустимым аргументом функции.
$x_n\ne x_0$ для всех $n$	Ни один член последовательности не попадает прямо в центральную точку $x_0$ .
$x_n\to x_0$	Аргументы последовательности становятся сколь угодно близкими к $x_0$ .
$f(x_n)\to A$	Значения функции вдоль этой последовательности должны приближаться к одному и тому же числу $A$ .

Коши и Гейне: два языка одной идеи

Сравниваем	Коши	Гейне
Что проверяем	Все допустимые $x\in D_f$ в достаточно малой проколотой окрестности.	Любую допустимую последовательность $x_n\to x_0$ .
Главный язык	Расстояния, $\varepsilon$ и $\delta$ .	Пределы последовательностей.
Особенно удобно	Строить явную оценку $\delta_\varepsilon$ .	Опровергать существование предела удачно выбранными последовательностями.

\exists N\in\mathbb N\quad \forall n\ge N:\qquad 0<|x_n-x_0|<\delta

Как с помощью Гейне доказать, что предела нет

Почему для опровержения достаточно двух последовательностей, а для доказательства — нет?

Типичные ошибки

Проверьте себя

Вопросы и мини-задачи.

Сначала решите их самостоятельно, а затем сверитесь с подробными решениями ниже.

В чём принципиальная разница между утверждениями
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \qquad\text{и}\qquad f(x_0)=A?$
Запишите проколотую $0{,}2$ -окрестность точки $3$ в виде объединения интервалов и в виде двойного неравенства с модулем.
Что выбирают сначала в определении Коши: $\varepsilon$ или $\delta$ ? Может ли $\delta$ зависеть от $\varepsilon$ ? Может ли после этого $\delta$ зависеть от конкретного $x$ ?
Для функции $f(x)=4x+1$ подберите $\delta_\varepsilon$ , доказывающее
$\lim_{x\to2}(4x+1)=9$
Докажите по Коши
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Укажите явный выбор $\delta_\varepsilon$ .
Пусть
$g(x)= \begin{cases} 2x+1, & x\ne0\\ 7, & x=0 \end{cases}$
Найдите $g(0)$ и $\lim\limits_{x\to0}g(x)$ .
Пусть $x_n\to3$ и $x_n\ne3$ для всех $n$ . К какому числу стремится $2x_n^2-1$ ? Как это связано с определением Гейне для функции $f(x)=2x^2-1$ ?
У функции
$h(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\ 1, & x>0 \end{cases}$
значение при $x=0$ не задано. Используйте две последовательности, чтобы выяснить, существует ли $\lim\limits_{x\to0}h(x)$ .
Две выбранные вами последовательности $x_n\to x_0$ дали один и тот же предел $f(x_n)\to A$ . Достаточно ли этого, чтобы доказать $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ по Гейне?
В попытке доказать предел после заданного $\varepsilon$ для каждой точки $x$ нашли своё число $\delta_x>0$ . Какое слово в определении Коши нарушено таким рассуждением?
Почему запись $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ не подходит для описания функции $f(x)=\dfrac1x$ ? Запишите область определения корректно.
Восстановите порядок кванторов и условий. Знак $\Longleftrightarrow$ читается «равносильно»: левая и правая записи выражают одно и то же утверждение.
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \ldots$
используя $\varepsilon$ , $\delta$ , $x$ , $0<|x-x_0|$ и $|f(x)-A|$ .

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Предел и значение функции отвечают на разные вопросы. Запись
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$
описывает поведение значений $f(x)$ при аргументах $x$ , которые становятся сколь угодно близкими к $x_0$ , но не равны $x_0$ . Поэтому в определении предела используется проколотая окрестность.
Запись
$f(x_0)=A$
говорит только о результате подстановки самого числа $x_0$ , если функция в этой точке определена. Эти два числа могут совпадать, но это не обязательно. Возможны три ситуации: $f(x_0)=A$ ; значение $f(x_0)$ существует, но отличается от $A$ ; значение $f(x_0)$ вообще не определено. Сам предел во всех трёх случаях может существовать.
Обычная $0{,}2$ -окрестность точки $3$ была бы интервалом
$(3-0{,}2;\,3+0{,}2)=(2{,}8;\,3{,}2)$
Для проколотой окрестности нужно дополнительно удалить сам центр $3$ . Поэтому
$\mathring U_{0{,}2}(3) =(2{,}8;\,3)\cup(3;\,3{,}2)$
Та же область одной формулой задаётся условием
$0<|x-3|<0{,}2$
Левая часть $0<|x-3|$ исключает точку $x=3$ , а правая часть $|x-3|<0{,}2$ оставляет только точки на расстоянии меньше $0{,}2$ от неё.
В определении Коши порядок принципиален. Сначала задают произвольное
$\varepsilon>0$
После этого разрешено выбрать подходящее
$\delta_\varepsilon>0$
Поэтому $\delta_\varepsilon$ может зависеть от $\varepsilon$ и, конечно, от самой функции, точки $x_0$ и предполагаемого предела $A$ .
Но после того как $\delta_\varepsilon$ выбрано, оно должно работать сразу для всех допустимых $x$ с
$0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon$
Подбирать новое $\delta$ отдельно для каждой точки $x$ нельзя: тогда не было бы одного общего проколотого интервала, контролирующего поведение функции.
Нужно доказать
$\lim_{x\to2}(4x+1)=9$
Возьмём произвольное $\varepsilon>0$ . Смотрим на требуемое расстояние до предполагаемого предела:
$\begin{aligned} |(4x+1)-9| &=|4x-8|\\ &=4|x-2| \end{aligned}$
Чтобы эта величина была меньше $\varepsilon$ , достаточно потребовать
$|x-2|<\frac{\varepsilon}{4}$
Поэтому выбираем
$\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{4}$
Теперь выполняем проверку в прямом порядке. Если
$0<|x-2|<\delta_\varepsilon,$
то
$|(4x+1)-9| =4|x-2| <4\delta_\varepsilon =\varepsilon$
Условие Коши выполнено для любого $\varepsilon>0$ , значит,
$\lim_{x\to2}(4x+1)=9$
Докажем
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Возьмём произвольное $\varepsilon>0$ . Разность квадратов раскладывается на множители:
$|x^2-1|=|x-1|\,|x+1|$
Множитель $|x-1|$ мы можем сделать малым выбором $\delta$ , но $|x+1|$ тоже зависит от $x$ . Поэтому сначала ограничим его.
Потребуем дополнительно
$|x-1|<1$
Из этого следует
$0<x<2,$
а значит,
$1<x+1<3 \quad\Longrightarrow\quad |x+1|<3$
Теперь
$|x^2-1|<3|x-1|$
Чтобы одновременно выполнить вспомогательное условие $|x-1|<1$ и получить $3|x-1|<\varepsilon$ , выбираем
$\delta_\varepsilon =\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}$
Если
$0<|x-1|<\delta_\varepsilon,$
то $|x+1|<3$ и
$\begin{aligned} |x^2-1| &=|x-1|\,|x+1|\\ &<3|x-1|\\ &<3\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}$
Следовательно,
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Сначала найдём значение функции в самой точке. По условию
$g(0)=7$
Теперь исследуем предел. При $x\ne0$ действует другая ветвь:
$g(x)=2x+1$
Поэтому ожидаемый предел равен $1$ . Это можно проверить прямо по Коши. Для произвольного $\varepsilon>0$ выберем
$\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{2}$
Если $0<|x|<\delta_\varepsilon$ , то
$|g(x)-1| =|2x+1-1| =2|x| <2\delta_\varepsilon =\varepsilon$
Значит,
$\lim_{x\to0}g(x)=1, \qquad g(0)=7$
Разные ответы не противоречат друг другу: предел не использует значение функции в центральной точке.
Для данной последовательности $x_n\to3$ по арифметическим свойствам пределов последовательностей имеем
$x_n^2\to3^2=9$
Умножение на постоянную и вычитание постоянной сохраняют предел, поэтому
$2x_n^2-1 \longrightarrow 2\cdot9-1 =17$
То есть для любой такой последовательности значения функции
$f(x)=2x^2-1$
должны стремиться к $17$ .
Важно различать одну выбранную последовательность и определение Гейне. Проверка одной последовательности сама по себе ещё не доказывает предел функции. Но приведённое рассуждение использует только условие $x_n\to3$ и поэтому работает для произвольной допустимой последовательности $x_n\to3$ , $x_n\ne3$ . Следовательно, условие Гейне выполнено и
$\lim_{x\to3}(2x^2-1)=17$
Функция принимает разные постоянные значения по разные стороны от нуля. Поэтому естественно подойти к нулю отдельно слева и справа. Возьмём
$x_n=-\frac1n, \qquad y_n=\frac1n$
Обе последовательности допустимы: их члены не равны нулю и
$x_n\to0, \qquad y_n\to0$
Для $x_n<0$ имеем
$h(x_n)=0$
при каждом $n$ , поэтому $h(x_n)\to0$ . Для $y_n>0$ имеем
$h(y_n)=1$
при каждом $n$ , поэтому $h(y_n)\to1$ .
Получились два разных предела значений функции. Если бы конечный предел $\lim\limits_{x\to0}h(x)$ существовал, по Гейне обе последовательности значений обязаны были бы стремиться к одному и тому же числу. Это невозможно. Следовательно,
$\lim_{x\to0}h(x)\text{ не существует}$
Нет. В определении Гейне ключевое слово — «для каждой» допустимой последовательности. Даже если две, десять или сто выбранных последовательностей дают один и тот же результат, может существовать другая последовательность с иным поведением.
Например, для функции
$h(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x>0 \end{cases}$
две последовательности $x_n=1/n$ и $y_n=1/(n+1)$ обе подходят к нулю справа и дают значение $1$ . Но последовательность $z_n=-1/n$ подходит к тому же нулю слева и даёт значение $0$ . Поэтому конечное число удачных проверок не заменяет универсальное условие Гейне.
Правильный порядок в определении Коши имеет вид
$\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta_\varepsilon>0\quad \forall x\in D_f:\quad\ldots$
То есть после фиксации $\varepsilon$ нужно найти одно число $\delta_\varepsilon$ , которое затем подходит для всех соответствующих $x$ .
Если вместо этого для каждой точки $x$ выбирать своё $\delta_x$ , порядок кванторов фактически меняется. Сравним две схемы:
$\begin{aligned} \text{правильно:}\quad &\forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0\ \forall x\in D_f,\\ \text{неправильно:}\quad &\forall\varepsilon>0\ \forall x\in D_f\ \exists\delta_x>0 \end{aligned}$
Во второй записи число $\delta_x$ разрешено менять вместе с точкой $x$ . Это значительно более слабое утверждение: общего проколотого интервала, на котором функция контролируется целиком, мы не получили. Нарушено именно требование выбрать
$\exists\delta_\varepsilon>0$
до проверки произвольного $x$ .
Запись
$f\colon\mathbb R\to\mathbb R$
утверждает, что функция определена при каждом действительном аргументе. Но выражение
$\frac1x$
не имеет смысла при $x=0$ , потому что делить на ноль нельзя. Поэтому число $0$ нужно исключить из области определения:
$f\colon\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R, \qquad f(x)=\frac1x$
Здесь символ $\setminus\{0\}$ означает «удалить ноль из множества действительных чисел». Кодомен $\mathbb R$ допустим: все значения $1/x$ являются действительными числами.
Восстановим определение по шагам, а не будем пытаться запомнить всю строку целиком.
Сначала в условии говорится: какую бы положительную точность мы ни потребовали. Это даёт первый квантор
$\forall\varepsilon>0$
После заданного $\varepsilon$ мы должны суметь подобрать одну подходящую ширину окрестности:
$\exists\delta_\varepsilon>0$
Затем выбранное $\delta_\varepsilon$ должно работать не для одной точки, а для каждого допустимого аргумента:
$\forall x\in D_f$
Остаётся записать условие «если $x$ достаточно близок к $x_0$ , но не равен ему, то значение функции достаточно близко к $A$ »:
$0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$
Соединяя четыре части в правильном порядке, получаем
$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\ \exists\delta_\varepsilon>0\ \forall x\in D_f:\ 0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$
Порядок нельзя менять: сначала задаётся $\varepsilon$ , затем выбирается одно подходящее $\delta_\varepsilon$ , и только после этого проверяются все допустимые $x$ .

Решения к задачам по ходу статьи.

Нужно построить обычную и проколотую $0{,}4$ -окрестности точки $3$ . Сначала вычисляем концы обычной окрестности:
$3-0{,}4=2{,}6, \qquad 3+0{,}4=3{,}4$
Поэтому
$U_{0{,}4}(3)=(2{,}6;\,3{,}4)$
Условие через модуль записывается так:
$U_{0{,}4}(3)=\{x\in\mathbb R:|x-3|<0{,}4\}$
Для проколотой окрестности удаляем сам центр $3$ :
$\mathring U_{0{,}4}(3) =(2{,}6;\,3)\cup(3;\,3{,}4),$
или, что то же самое,
$\mathring U_{0{,}4}(3) =\{x\in\mathbb R:0<|x-3|<0{,}4\}$
Докажем по Коши
$\lim_{x\to3}(5x-4)=11$
Берём произвольное $\varepsilon>0$ и вычисляем расстояние от значения функции до предполагаемого предела:
$\begin{aligned} |(5x-4)-11| &=|5x-15|\\ &=5|x-3| \end{aligned}$
Чтобы получить величину меньше $\varepsilon$ , достаточно потребовать
$|x-3|<\frac{\varepsilon}{5}$
Выбираем
$\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{5}$
Если $0<|x-3|<\delta_\varepsilon$ , то
$|(5x-4)-11| =5|x-3| <5\delta_\varepsilon =\varepsilon$
Следовательно,
$\lim_{x\to3}(5x-4)=11$
Докажем
$\lim_{x\to1}x^2=1$
Для произвольного $\varepsilon>0$ имеем
$|x^2-1|=|x-1|\,|x+1|$
Потребуем сначала $|x-1|<1$ . Тогда $0<x<2$ , поэтому $|x+1|<3$ . Значит,
$|x^2-1|<3|x-1|$
Выбираем
$\delta_\varepsilon =\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}$
Из $0<|x-1|<\delta_\varepsilon$ следует
$\begin{aligned} |x^2-1| &=|x-1|\,|x+1|\\ &<3|x-1|\\ &<3\delta_\varepsilon\\ &\le\varepsilon \end{aligned}$
По определению Коши предел равен $1$ .
Докажем
$\lim_{x\to1}\frac1x=1$
Сначала преобразуем требуемое расстояние:
$\begin{aligned} \left|\frac1x-1\right| &=\left|\frac{1-x}{x}\right|\\ &=\frac{|x-1|}{|x|} \end{aligned}$
Нужно не только уменьшить числитель, но и не дать знаменателю приблизиться к нулю. Для этого потребуем
$|x-1|<\frac12$
Тогда
$\frac12<x<\frac32,$
следовательно,
$|x|>\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac1{|x|}<2$
Поэтому
$\left|\frac1x-1\right| <2|x-1|$
Чтобы одновременно выполнить вспомогательное условие и получить $2|x-1|<\varepsilon$ , берём
$\delta_\varepsilon =\min\left\{\frac12,\frac{\varepsilon}{2}\right\}$
Если $0<|x-1|<\delta_\varepsilon$ , то
$\left|\frac1x-1\right| <2|x-1| <2\delta_\varepsilon \le\varepsilon$
Значит,
$\lim_{x\to1}\frac1x=1$
Сначала подставляем $x=2$ в ту ветвь, которая специально задана для этой точки:
$h(2)=-10$
Для предела значение в точке не используется. При $x\ne2$ можно разложить числитель:
$x^2-4=(x-2)(x+2)$
Поскольку при исследовании предела рассматриваются $x\ne2$ , знаменатель $x-2$ здесь не равен нулю, и сокращение законно. Поэтому в проколотой окрестности точки $2$
$h(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$
Следовательно,
$\lim_{x\to2}h(x) =\lim_{x\to2}(x+2) =4$
Итак,
$h(2)=-10, \qquad \lim_{x\to2}h(x)=4$
Противоречия нет: первое число относится к самой точке, второе — к поведению функции рядом с ней.
Нужно проверить предел $x^2$ при $x\to2$ по Гейне. Берём произвольную допустимую последовательность $(x_n)$ , для которой
$x_n\to2, \qquad x_n\ne2$
По арифметическому свойству пределов последовательностей
$x_n^2\to2^2=4$
Мы нигде не задавали специальную формулу для $x_n$ : использовали только факт $x_n\to2$ . Значит, тот же вывод получается для любой допустимой последовательности, приближающейся к $2$ . Именно это слово «любой» и требуется в определении Гейне. Поэтому условие Гейне выполнено и
$\lim_{x\to2}x^2=4$
Рассматриваем
$f(x)=\sin\frac1x, \qquad x\ne0,$
и последовательности
$x_n=\frac{1}{\dfrac\pi2+2\pi n}, \qquad y_n=\frac{1}{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n}$
В обоих знаменателях величина растёт без границ, поэтому
$x_n\to0, \qquad y_n\to0$
Кроме того, все члены положительны и не равны нулю, то есть обе последовательности допустимы.
Теперь подставляем их в функцию. Для первой последовательности
$\begin{aligned} f(x_n) &=\sin\left(\frac1{x_n}\right)\\ &=\sin\left(\frac\pi2+2\pi n\right) =1 \end{aligned}$
Следовательно, $f(x_n)\to1$ . Для второй последовательности
$\begin{aligned} f(y_n) &=\sin\left(\frac1{y_n}\right)\\ &=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right) =-1 \end{aligned}$
поэтому $f(y_n)\to-1$ .
Две допустимые последовательности аргументов стремятся к одной точке $0$ , а последовательности значений имеют разные пределы. По критерию Гейне
$\lim_{x\to0}\sin\frac1x\text{ не существует}$

Итог

Определение Коши переводит слово «близко» на язык расстояний:

\varepsilon \longrightarrow \delta_\varepsilon \longrightarrow x\in D_f\cap\mathring U_{\delta_\varepsilon}(x_0) \longrightarrow f(x)\in U_\varepsilon(A)

Определение Гейне проверяет ту же идею через последовательности:

x_n\in D_f,\qquad x_n\ne x_0,\qquad x_n\to x_0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_n)\to A

для каждой допустимой последовательности $(x_n)$ .

Главная смысловая схема.

Понятие	Суть
Функция	Правило $f\colon D_f\to\mathbb R$ , которое каждому $x\in D_f$ ставит в соответствие ровно одно значение $f(x)$ .
Окрестности	$U_r(a)$ задаётся условием $\|x-a\|<r$ ; проколотая окрестность — условием $0<\|x-a\|<r$ .
Предельная точка	К $x_0$ можно приближаться другими допустимыми точками области определения; именно в таких точках обычный предел описывает поведение функции рядом с $x_0$ .
Предел $A$	Все значения функции при достаточно близких к $x_0$ допустимых аргументах $x\ne x_0$ можно удержать сколь угодно близко к $A$ .
Предел и значение в точке	$f(x_0)$ не участвует в обычном пределе: значение в точке может совпадать с пределом, отличаться от него или вообще не существовать.
Единственность предела	Если конечный предел при $x\to x_0$ существует, другого конечного значения у этого же предела быть не может.
Коши	Для каждого $\varepsilon>0$ существует $\delta_\varepsilon>0$ , которое контролирует все допустимые $x\in D_f$ из соответствующей проколотой окрестности.
Гейне	Каждая последовательность, для которой $x_n\in D_f$ , $x_n\ne x_0$ и $x_n\to x_0$ , должна порождать $f(x_n)\to A$ .
Как опровергнуть предел	Достаточно найти две допустимые последовательности аргументов, для которых значения функции стремятся к разным числам.

Предел функции в точке: определения по Коши и Гейне

Содержание

Что такое функция

Что описывает предел функции

Окрестности и проколотые окрестности

Определение предела по Коши

Разбор \(\varepsilon\)–\(\delta\)-определения

Как доказывать предел по Коши

Почему значение в точке не определяет предел

Определение предела по Гейне

Коши и Гейне: два языка одной идеи

Как с помощью Гейне доказать, что предела нет

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Предел функции в точке: определения по Коши и Гейне

Содержание

Что такое функция

Что описывает предел функции

Окрестности и проколотые окрестности

Определение предела по Коши

Разбор \(\varepsilon\)–\(\delta\)-определения

Как доказывать предел по Коши

Почему значение в точке не определяет предел

Определение предела по Гейне

Коши и Гейне: два языка одной идеи

Как с помощью Гейне доказать, что предела нет

Типичные ошибки

Проверьте себя

Итог

Разбор $\varepsilon$ – $\delta$ -определения

Разбор $\varepsilon$ – $\delta$ -определения