Свойства и правила вычисления производных

Содержание

Зачем нужны правила дифференцирования
Основные правила дифференцирования
Таблица производных
Сложная функция и правило цепи
Производная обратной функции
Практика вычисления производных
Логарифмическое дифференцирование
Типичные ошибки
Проверьте себя
Итог

Эта статья продолжает знакомство с производной, но перед началом напомним минимум обозначений. Производная показывает, как меняется функция при изменении аргумента. Запись $f'(x)$ обозначает производную как новую функцию, а $f'(x_0)$ — её конкретное значение в выбранной точке $x_0$ . Найти производную функции называют продифференцировать функцию. По определению производная связана с пределом разностного отношения, но вычислять этот предел заново для каждого выражения не нужно: для основных операций и элементарных функций существуют готовые правила.

По ходу статьи есть два вида практики. В блоках «Пример» решение разобрано полностью. В блоках «Задача» предлагается сначала попробовать самостоятельно; полные решения всех таких задач собраны в конце статьи.

Зачем нужны правила дифференцирования

Если производную каждый раз искать непосредственно по определению, даже простая функция быстро приводит к длинным преобразованиям. Например, для произведения двух функций пришлось бы раскрывать разность

u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)

а затем специально перегруппировывать слагаемые. Для частного вычисления становятся ещё громоздче.

Поэтому в математическом анализе выделяют два уровня работы:

определение производной объясняет, что такое производная и почему она связана с пределом;
правила дифференцирования и таблица производных позволяют быстро вычислять производные уже знакомых функций.

Важно не просто запомнить формулы, а научиться распознавать структуру выражения. В функции

(x^2+1)e^{3x}

снаружи стоит произведение двух множителей, а во втором множителе есть сложная функция $e^{3x}$ . Значит, в одном вычислении понадобятся сразу два правила: производная произведения и правило цепи.

Перед вычислениями сначала распознайте структуру выражения: какая операция является внешней и какие функции вложены друг в друга. После этого выбрать нужное правило гораздо проще.

Основные правила дифференцирования

Пусть функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x_0$ , то есть имеют в этой точке конечные производные, а $C$ — постоянное число. Тогда работают следующие правила.

Когда формулы применяются как тождества для переменной $x$ , обычно записывают короче:

\boxed{\begin{gathered} (Cu)'=Cu', \qquad (u\pm v)'=u'\pm v',\\[4pt] (uv)'=u'v+uv', \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}, \quad v\neq0 \end{gathered}}

При этом последняя формула относится только к тем точкам, где исходное частное определено, то есть где знаменатель не равен нулю.

Таблица производных

Правила предыдущего раздела объясняют, как дифференцировать выражение, составленное из нескольких функций. Но нужны ещё «кирпичики» — производные самих элементарных функций.

В третьей колонке указаны условия, при которых мы будем применять формулу в вещественном анализе. Они важны: одна и та же формула может быть верна на более широкой области для отдельных значений параметра, но не для произвольного параметра. Здесь $\mathbb N$ обозначает натуральные числа, $\mathbb Z$ — целые числа, а $\mathbb R$ — действительные числа.

Функция	Производная	Условия
$C$	$0$	$C$ — константа
$x^n$	$nx^{n-1}$	$n\in\mathbb N$ , $n\ge1$ ; при всех $x\in\mathbb R$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	для произвольного $\alpha\in\mathbb R$ : $x>0$ ; у частных степеней область может быть шире
$e^x$	$e^x$	$x\in\mathbb R$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$ , $x\in\mathbb R$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x>0$

Условие $x>0$ в строке для $x^\alpha$ — общее условие, которое подходит для произвольного вещественного показателя $\alpha$ . Для конкретных степеней область может быть шире. Например, $x^2$ определена при всех $x\in\mathbb R$ , функция $\sqrt{x}=x^{1/2}$ определена при $x\ge0$ и имеет конечную производную по степенной формуле при $x>0$ , а $x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$ определена при $x\neq0$ .

При $a=1$ функция $a^x=1$ постоянна, и та же формула корректно даёт

(1^x)'=1^x\ln1=0

Для целых степеней формулу можно расширять дальше. Например,

(x^{-3})'=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}, \qquad x\neq0

Ограничение связано не с самой формулой дифференцирования, а с тем, что исходная функция $x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}$ не определена при $x=0$ .

Функция	Производная	Условия
$\sin x$	$\cos x$	$x\in\mathbb R$
$\cos x$	$-\sin x$	$x\in\mathbb R$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\cos x\neq0$
$\cot x$	$-\dfrac{1}{\sin^2x}$	$\sin x\neq0$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$-1<x<1$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$-1<x<1$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$x\in\mathbb R$
$\arccot x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$	$x\in\mathbb R$

В строке для $\arccot x$ используется стандартная вещественная ветвь со значениями в интервале $(0,\pi)$ . При таком соглашении $\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}$ .

Почему для $\arcsin x$ и $\arccos x$ в таблице стоит $-1<x<1$, хотя сами функции определены при $-1\le x\le1$?

В точках $x=\pm1$ знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ обращается в ноль. Соответствующие односторонние отношения приращений не имеют конечного предела, а графики имеют вертикальные касательные. Поэтому формула конечной производной применяется только при $-1<x<1$ . Область определения функции и множество точек, где существует конечная производная, могут различаться.

Сложная функция и правило цепи

Очень часто одна функция подставлена внутрь другой. Например,

\sin(2x), \qquad e^{\cos x}, \qquad \sqrt{\sin(x^2)}, \qquad 3^{(\cos(4x))^{12}}

Такие выражения называют сложными функциями, или композициями функций.

Простыми словами: сначала дифференцируем внешнюю функцию, сохраняя внутреннее выражение на месте аргумента, затем умножаем на производную внутренней функции.

Интуитивно это можно представить так. Небольшое изменение $x$ сначала меняет внутреннюю функцию $f(x)$ , а уже изменение результата $f(x)$ влияет на внешнюю функцию $g$ . Поэтому в производной всей композиции учитываются оба слоя, и их влияния перемножаются. Строгая формула этого рассуждения записана в теореме выше.

LaTeX — Правило цепи: изменение проходит через каждый слой сложной функции

h'(x)=g'(u)f'(x)

Если слоёв больше двух, правило применяется последовательно. Для

y=H(G(F(x)))

получаем

y' = H'(G(F(x)))\,G'(F(x))\,F'(x)

Пример

Найдём производную

y=3^{(\cos(4x))^{12}}

Чтобы не потерять ни один слой, сначала выпишем, как строится функция изнутри наружу:

При дифференцировании идём в обратном направлении — от внешнего слоя к внутренним. Начинаем с показательной функции:

\begin{aligned} y' &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,\bigl((\cos(4x))^{12}\bigr)'\\ &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,12(\cos(4x))^{11}(\cos(4x))'\\ &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,12(\cos(4x))^{11}(-\sin(4x))(4x)'\\ &=-48\ln3\,\sin(4x)\,(\cos(4x))^{11}3^{(\cos(4x))^{12}} \end{aligned}

Ответ:

y'=-48\ln3\,\sin(4x)\,(\cos(4x))^{11}3^{(\cos(4x))^{12}}

Пример

Тонкий пример. Этот пример можно пропустить при первом чтении и вернуться к нему после освоения основных примеров на правило цепи. Его цель не ввести ещё одну формулу, а показать, почему область определения нужно проверять до применения правила цепи. Рассмотрим функцию

f(x)=\sqrt{\sin(x^2)}

Сначала нельзя механически применять правило цепи ко всем точкам: нужно учесть корень. Исходная функция определена там, где

\sin(x^2)\ge0

В точках, где

\sin(x^2)>0,

внешняя функция $\sqrt{u}$ дифференцируема, поэтому правило цепи применимо непосредственно:

\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin(x^2)}}(\sin(x^2))'\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin(x^2)}}\cos(x^2)\,2x\\ &=\dfrac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}} \end{aligned}

В каждой точке, где $\sin(x^2)=0$ , записанная формула не имеет смысла. Если $x\neq0$ , то при переходе через такую точку выражение $\sin(x^2)$ меняет знак, поэтому исходная функция не определена в полной окрестности точки и обычной производной там нет.

Точка $x=0$ требует отдельной проверки: функция определена в полной окрестности нуля, но обычной производной в нуле всё равно нет. Действительно,

f(0)=0

и для $h\neq0$

\dfrac{f(h)-f(0)}{h} = \dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h}

При $h>0$

\dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h} = \sqrt{\dfrac{\sin(h^2)}{h^2}} \longrightarrow1,

а при $h<0$

\dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h} = -\sqrt{\dfrac{\sin(h^2)}{h^2}} \longrightarrow-1

Односторонние пределы различаются, поэтому $f'(0)$ не существует.

Этот пример показывает важное правило: цепочка формул не отменяет проверку области определения и особых точек.

Производная обратной функции

Сначала напомним, что означает обратная функция. Для обратимости важно не просто то, что каждому $x$ соответствует одно значение $f(x)$ : это верно для любой функции. Нужно, чтобы на выбранной области разные значения $x$ давали разные значения функции. Тогда по значению $y=f(x)$ можно единственным образом восстановить исходный $x$ .

Начнём с простого примера. Если

f(x)=2x+3

то из равенства $y=2x+3$ можно однозначно восстановить $x$ :

x=\dfrac{y-3}{2}

Значит, обратная функция выполняет действие в обратную сторону и имеет вид

f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}

Здесь верхний индекс $-1$ не означает степень и не означает дробь $\dfrac{1}{f}$ : это специальное обозначение обратной функции.

Теперь запишем ту же идею в общем виде. Пусть $I$ — промежуток, на котором функция $f$ обладает этим свойством. Обозначение $f(I)$ означает множество всех значений $f(x)$ , которые получаются при $x\in I$ . Тогда обратная функция имеет вид

\boxed{f^{-1}\colon f(I)\to I},

и выполняется равносильность

\boxed{y=f(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad x=f^{-1}(y)}

Двойная стрелка $\Longleftrightarrow$ означает, что эти два равенства равносильны: каждое из них можно получить из другого.

Одного существования обратной функции для формулы её производной недостаточно. Нужно также исключить точку, где производная исходной функции равна нулю. Напомним два термина. Строго монотонная функция на интервале всё время либо строго возрастает, либо строго убывает. Внутренняя точка интервала — точка, около которой можно немного сдвинуться и влево, и вправо, оставаясь внутри этого интервала.

Геометрически графики $y=f(x)$ и $y=f^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$ . Поэтому роли горизонтального и вертикального изменения меняются местами, а ненулевой наклон превращается во взаимно обратный.

На этом рисунке особенно хорошо видно, зачем требуется условие $f'(x_0)\neq0$ . Функция

f(x)=x^3

строго возрастает на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ , но

f'(0)=0

У обратной функции в нуле появляется вертикальная касательная, и конечной обычной производной там нет. Значит, условие о ненулевой производной нельзя просто вычеркнуть из теоремы.

Пример

Выведем формулу для производной функции $\arcsin x$ . Функция $\arcsin x$ является обратной к синусу, если синус рассматривать только на промежутке

\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

Именно на этом промежутке синус строго возрастает, поэтому каждому значению $x\in[-1,1]$ соответствует единственное значение $\arcsin x$ .

Для $-1<x<1$ применяем теорему о производной обратной функции непосредственно:

(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}

Теперь нужно выразить знаменатель через $x$ . Обозначим

y=\arcsin x

Тогда

\sin y=x, \qquad y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

Из тождества

\sin^2y+\cos^2y=1

следует

\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}

Мы выбираем положительный корень, потому что на указанном промежутке $\cos y\ge0$ , а при $-1<x<1$ имеем даже $\cos y>0$ . Поскольку $\sin y=x$ ,

\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}

Поэтому

(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad -1<x<1

Синус на выбранной ветви и функция $\arcsin x$ являются взаимно обратными

Аналогично получаются остальные производные обратных тригонометрических функций. Для $\arccos x$ удобно также использовать тождество

\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}

Тогда при $-1<x<1$

\begin{aligned} (\arccos x)' &=\left(\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x\right)'\\ &=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

Для стандартной ветви $\arccot x\in(0,\pi)$ также верно

\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}

Поэтому

(\arccot x)'=-(\arctan x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}

Практика вычисления производных

Когда выражение большое, полезно не начинать вычисления сразу. Сначала пройдите короткий алгоритм.

Пример

Рассмотрим

f(x)=\tan x\,\cot x

Сначала найдём область определения. Для тангенса требуется

\cos x\neq0,

а для котангенса

\sin x\neq0

Следовательно, исходная функция определена при

x\neq\dfrac{\pi k}{2}, \qquad k\in\mathbb Z

На этой области

\tan x\,\cot x=1

Поэтому в каждой точке области определения

f'(x)=(1)'=0

Ответ:

f'(x)=0, \qquad x\neq\dfrac{\pi k}{2}, \quad k\in\mathbb Z

Нельзя написать просто « $f(x)=1$ при всех $x$ »: после упрощения запрещённые точки исходного выражения не становятся допустимыми.

Логарифмическое дифференцирование

У функции

y=[f(x)]^{g(x)}

могут одновременно меняться и основание, и показатель степени. Тогда нельзя напрямую применять ни обычное степенное правило $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ , где показатель постоянен, ни правило $(a^x)'=a^x\ln a$ , где постоянно основание.

Пусть $f$ и $g$ дифференцируемы. На интервале, где

f(x)>0,

степень с переменным показателем можно переписать через экспоненту:

y=[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}

Так как $f(x)>0$ , функция $\ln f(x)$ определена и дифференцируема на рассматриваемом интервале. Значит, дифференцируемы произведение $g(x)\ln f(x)$ и композиция с экспонентой, поэтому производная $y'$ действительно существует. Теперь применяем правило цепи и правило произведения:

\begin{aligned} y' &=e^{g(x)\ln f(x)}\bigl(g(x)\ln f(x)\bigr)'\\ &=[f(x)]^{g(x)} \left( g'(x)\ln f(x) + g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} \right) \end{aligned}

Получаем рабочую формулу

\boxed{y' = [f(x)]^{g(x)} \left( g'(x)\ln f(x) + g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} \right)}

на тех интервалах, где $f(x)>0$ .

На практике эту же идею часто записывают короче: сначала берут логарифм

\ln y=g(x)\ln f(x)

а затем дифференцируют обе части. Такая запись удобна для вычислений; строгая причина, по которой производная $y'$ здесь существует, дана выше через представление $y=e^{g(x)\ln f(x)}$ .

Пример

Рассмотрим

y=(\sin x)^{\cos x}

Чтобы применять натуральный логарифм как обычную вещественную функцию и получать гладкую формулу на интервале, ограничимся точками, где

\sin x>0

Тогда

\ln y=\cos x\,\ln(\sin x)

Дифференцируем:

\dfrac{y'}{y} = (\cos x)'\ln(\sin x) + \cos x\,(\ln(\sin x))'

Здесь

(\cos x)'=-\sin x,

а по правилу цепи

\begin{aligned} (\ln(\sin x))' &=\dfrac{1}{\sin x}(\sin x)'\\ &=\dfrac{\cos x}{\sin x}\\ &=\cot x \end{aligned}

Поэтому

\dfrac{y'}{y} = -\sin x\,\ln(\sin x)+\cos x\,\cot x

Возвращаем $y=(\sin x)^{\cos x}$ :

y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln(\sin x)+\cos x\,\cot x \right), \qquad \sin x>0

Ответ:

y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln(\sin x)+\cos x\,\cot x \right), \qquad \sin x>0

Типичные ошибки

Большинство ошибок в вычислении производных связано не со сложной алгеброй, а с неверным выбором правила или потерей условий. Удобно разделить их на две группы.

Ошибки выбора формулы.

Дифференцировать произведение как произведение производных. Неверно писать
$(uv)'=u'v'$
Например, при $u=v=x$ правая часть равна $1$ , а производная $x^2$ равна $2x$ . Правильная формула:
$(uv)'=u'v+uv'$
Забыть производную внутренней функции. Неверно писать
$(\sin(2x))'=\cos(2x)$
Внутри синуса стоит функция $2x$ , поэтому по правилу цепи нужно дополнительно умножить на $(2x)'=2$ .
Использовать правило постоянной степени при переменном показателе. Для $x^x$ нельзя писать $(x^x)'=x\,x^{x-1}$ : формула $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ предполагает, что показатель $\alpha$ постоянен.

Ошибки, связанные с условиями и областью определения.

Потерять область определения после упрощения. Равенство
$\tan x\,\cot x=1$
верно только там, где определены оба множителя. Упрощение выражения не возвращает запрещённые точки в область определения исходной функции.
Применить табличную формулу в точке, где конечной производной нет. Функция $\arcsin x$ определена при $x=\pm1$ , но формула
$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
применяется только при $-1<x<1$ . Область определения функции и множество точек дифференцируемости могут различаться.
Логарифмировать основание без проверки знака. Метод логарифмического дифференцирования через $\ln f(x)$ требует $f(x)>0$ на рассматриваемом интервале. При нулевом или отрицательном основании переход к вещественному логарифму может быть незаконным.
Считать, что одного существования обратной функции достаточно. Для формулы производной обратной функции важно условие $f'(x_0)\neq0$ . Если оно нарушено, у обратной функции может появиться вертикальная касательная и конечной производной в соответствующей точке не будет.

Проверьте себя

Сначала решите задания самостоятельно. Ниже в этом же разделе приведены подробные пошаговые решения, чтобы можно было проверить не только ответ, но и ход рассуждения.

Найдите производную
$f(x)=5x^4-3x^2+7$
Найдите производную
$f(x)=(x^2+1)e^x$
Укажите, какое правило применяется первым.
Найдите производную
$f(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+4}$
Объясните, почему знаменатель не создаёт запрещённых точек.
Найдите производную
$f(x)=\cos(3x^2)$
Назовите внешний и внутренний слои.
Найдите производную
$f(x)=e^{\sin(x^2)}$
Распишите все слои сложной функции.
Пусть $f$ обратима, выполнены условия теоремы о производной обратной функции,
$f(-1)=3, \qquad f'(-1)=-4$
Найдите $(f^{-1})'(3)$ и объясните, почему знак ответа отрицательный.
Найдите производную $\arcsin x$ в точке
$x=\dfrac12$
Проверьте, что точка лежит в области, где формула производной применима.
Для функции
$f(x)=\tan(2x)\,\cot(2x)$
найдите область определения и производную. Объясните, почему после упрощения до единицы запрещённые точки нельзя вернуть в область определения.
Найдите производную
$y=x^{\cos x}, \qquad x>0$
а затем вычислите её значение при $x=1$ .
Верно ли утверждение
$(uv)'=u'v'?$
Если нет, приведите простой контрпример и запишите правильную формулу.

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Ниже каждое задание разобрано пошагово: сначала выбираем правило, затем выполняем вычисления и отдельно проверяем ограничения, если они есть.

Дана функция
$f(x)=5x^4-3x^2+7$
Это сумма трёх слагаемых, поэтому производную можно находить по частям. Постоянные множители $5$ и $-3$ выносятся за знак производной, а производная константы $7$ равна нулю:
$\begin{aligned} f'(x) &=(5x^4)'-(3x^2)'+(7)'\\ &=5(x^4)'-3(x^2)'+0\\ &=5(4x^3)-3(2x)\\ &=20x^3-6x \end{aligned}$
Многочлен определён при всех действительных $x$ , поэтому ограничений на ответ нет.
Ответ:
$f'(x)=20x^3-6x$
Рассмотрим
$f(x)=(x^2+1)e^x$
Первым применяется правило произведения, потому что всё выражение состоит из двух множителей:
$u(x)=x^2+1, \qquad v(x)=e^x$
Их производные:
$u'(x)=2x, \qquad v'(x)=e^x$
Поэтому
$\begin{aligned} f'(x) &=u'v+uv'\\ &=2xe^x+(x^2+1)e^x \end{aligned}$
Выносим общий множитель $e^x$ :
$f'(x)=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2$
Ответ:
$f'(x)=e^x(x+1)^2$
Дана функция
$f(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+4}$
Сначала проверим область определения. Знаменатель не должен обращаться в ноль. Для любого действительного $x$
$x^2\ge0,$
поэтому
$x^2+4\ge4>0$
Значит, знаменатель всегда положителен и функция определена при всех $x\in\mathbb R$ .
Внешняя операция — частное. Обозначим
$u(x)=\cos x, \qquad v(x)=x^2+4$
Тогда
$u'(x)=-\sin x, \qquad v'(x)=2x$
По правилу производной частного
$\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\ &=\dfrac{-\sin x\,(x^2+4)-2x\cos x}{(x^2+4)^2} \end{aligned}$
Дополнительных ограничений в ответе нет, поскольку исходная функция определена на всей числовой прямой.
Ответ:
$f'(x) = \dfrac{-(x^2+4)\sin x-2x\cos x}{(x^2+4)^2}, \qquad x\in\mathbb R$
Рассмотрим
$f(x)=\cos(3x^2)$
Внешняя функция — $g(u)=\cos u$ , внутренняя —
$u(x)=3x^2$
Производная внешней функции по её аргументу:
$g'(u)=-\sin u$
Производная внутренней функции:
$u'(x)=6x$
По правилу цепи
$\begin{aligned} f'(x) &=-\sin(3x^2)(3x^2)'\\ &=-6x\sin(3x^2) \end{aligned}$
Ответ:
$f'(x)=-6x\sin(3x^2)$
Дана функция
$f(x)=e^{\sin(x^2)}$
В ней три уровня:
$x \longrightarrow x^2 \longrightarrow \sin(x^2) \longrightarrow e^{\sin(x^2)}$
Дифференцируем снаружи внутрь. Производная экспоненты сохраняет экспоненту:
$(e^u)'=e^u$
Затем нужно умножить на производную $\sin(x^2)$ , а она сама является сложной функцией:
$\begin{aligned} f'(x) &=e^{\sin(x^2)}(\sin(x^2))'\\ &=e^{\sin(x^2)}\cos(x^2)(x^2)'\\ &=2x\cos(x^2)e^{\sin(x^2)} \end{aligned}$
Ответ:
$f'(x)=2x\cos(x^2)e^{\sin(x^2)}$
Из условия
$f(-1)=3$
следует, что обратная функция возвращает число $-1$ по значению $3$ :
$f^{-1}(3)=-1$
По теореме о производной обратной функции
$(f^{-1})'(3) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(3))}$
Подставляем найденное значение $f^{-1}(3)=-1$ :
$\begin{aligned} (f^{-1})'(3) =\dfrac{1}{f'(-1)} =\dfrac{1}{-4} &=-\dfrac14 \end{aligned}$
Отрицательный знак не появляется случайно. По условию $f'(-1)=-4<0$ , то есть исходная функция в этой точке убывает. Производная обратной функции является взаимно обратной к этой ненулевой производной, поэтому знак сохраняется отрицательным.
Ответ:
$(f^{-1})'(3)=-\dfrac14$
Для $\arcsin x$ формула
$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
применяется при
$-1<x<1$
Точка
$x=\dfrac12$
этому условию удовлетворяет. Подставляем её в формулу:
$\begin{aligned} (\arcsin x)'\bigg|_{x=\frac12} =\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac14}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{\frac34}} =\dfrac{2}{\sqrt3} =\dfrac{2\sqrt3}{3} \end{aligned}$
Последняя форма получена рационализацией знаменателя; обе формы равносильны.
Ответ:
$\dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$
Рассмотрим
$f(x)=\tan(2x)\,\cot(2x)$
Сначала найдём область определения исходной функции. Для тангенса требуется
$\cos(2x)\neq0,$
а для котангенса
$\sin(2x)\neq0$
Условие $\sin(2x)=0$ выполняется при
$2x=\pi m, \qquad m\in\mathbb Z,$
то есть при $x=\dfrac{\pi m}{2}$ . Условие $\cos(2x)=0$ выполняется при
$2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m,$
то есть при $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi m}{2}$ . Объединяя оба набора запрещённых точек, получаем компактную запись
$x\neq\dfrac{\pi k}{4}, \qquad k\in\mathbb Z$
На этой области оба множителя определены и ненулевы, поэтому
$\begin{aligned} \tan(2x)\,\cot(2x) &=\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)} =1 \end{aligned}$
Следовательно,
$f'(x)=0$
во всех точках области определения. После сокращения запрещённые точки не возвращаются: исходное выражение в них не существовало.
Ответ:
$f'(x)=0, \qquad x\neq\dfrac{\pi k}{4}, \quad k\in\mathbb Z$
Пусть
$y=x^{\cos x}, \qquad x>0$
Здесь меняются и основание $x$ , и показатель $\cos x$ , поэтому обычное степенное правило напрямую не подходит. Так как $x>0$ , применяем логарифмическое дифференцирование:
$\ln y=\cos x\,\ln x$
Дифференцируем обе части. Слева по правилу цепи
$(\ln y)'=\dfrac{y'}{y},$
а справа применяем правило произведения:
$\begin{aligned} \dfrac{y'}{y} &=(\cos x)'\ln x+\cos x\,(\ln x)'\\ &=-\sin x\,\ln x+\dfrac{\cos x}{x} \end{aligned}$
Умножаем обе части на $y=x^{\cos x}$ :
$y' = x^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln x+\dfrac{\cos x}{x} \right), \qquad x>0$
Теперь вычислим производную при $x=1$ . Используем
$\ln1=0, \qquad \sin(1)\,\ln1=0, \qquad 1^{\cos(1)}=1$
Тогда
$\begin{aligned} y'(1) &=1^{\cos(1)} \left( -\sin(1)\,0+\dfrac{\cos(1)}{1} \right)\\ &=\cos(1) \end{aligned}$
Ответ:
$y' = x^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln x+\dfrac{\cos x}{x} \right), \qquad y'(1)=\cos(1)$
Утверждение
$(uv)'=u'v'$
неверно. Возьмём самый простой пример:
$u(x)=x, \qquad v(x)=x$
Тогда
$u(x)v(x)=x^2,$
поэтому настоящая производная равна
$(uv)'=(x^2)'=2x$
Если бы ошибочная формула была верна, получили бы
$u'v'=1,$
что не совпадает с $2x$ как функция от $x$ .
Правильное правило произведения:
$(uv)'=u'v+uv'$
В нашем примере оно даёт
$u'v+uv' = x+x = 2x,$
как и должно быть.
Ответ: утверждение неверно; правильная формула
$(uv)'=u'v+uv'$

Решения задач по ходу статьи.

Для
$f(x)=(3x^2-1)\sin x$
внешняя операция — произведение. Обозначим
$u(x)=3x^2-1, \qquad v(x)=\sin x$
Тогда
$u'(x)=6x, \qquad v'(x)=\cos x$
По правилу произведения
$\begin{aligned} f'(x) &=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ &=6x\sin x+(3x^2-1)\cos x \end{aligned}$
Оба множителя исходной функции определены при всех $x\in\mathbb R$ , поэтому дополнительных ограничений нет.
Ответ:
$f'(x)=6x\sin x+(3x^2-1)\cos x$
Рассмотрим
$f(x)=\ln(1+x^2)$
Сначала проверим область определения логарифма. Для любого действительного $x$
$x^2\ge0,$
поэтому
$1+x^2\ge1>0$
Значит, логарифм определён при всех $x\in\mathbb R$ .
Функция сложная: внешняя функция $g(u)=\ln u$ , внутренняя $u(x)=1+x^2$ . По правилу цепи
$\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{1}{1+x^2}(1+x^2)'\\ &=\dfrac{1}{1+x^2}\,2x\\ &=\dfrac{2x}{1+x^2} \end{aligned}$
Ответ:
$f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}, \qquad x\in\mathbb R$
Из условий
$f(2)=7, \qquad f'(2)=5$
следует
$f^{-1}(7)=2$
По теореме о производной обратной функции
$(f^{-1})'(7) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(7))}$
Подставляем $f^{-1}(7)=2$ :
$(f^{-1})'(7) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac15$
Число $5$ стоит в знаменателе потому, что это производная исходной функции в той точке $x=2$ , которая переходит в $y=7$ .
Ответ:
$(f^{-1})'(7)=\dfrac15$
Пусть
$y=x^{\sin x}, \qquad x>0$
Поскольку основание положительно, можно взять натуральный логарифм:
$\ln y=\sin x\,\ln x$
Дифференцируем обе части:
$\dfrac{y'}{y} = (\sin x\,\ln x)'$
Справа применяем правило произведения:
$\begin{aligned} (\sin x\,\ln x)' &=(\sin x)'\ln x+\sin x(\ln x)'\\ &=\cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x} \end{aligned}$
Следовательно,
$\dfrac{y'}{y} = \cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$
Умножаем на $y=x^{\sin x}$ :
$y' = x^{\sin x} \left( \cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x} \right), \qquad x>0$
Ответ:
$y' = x^{\sin x} \left( \cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x} \right), \qquad x>0$

Итог

Перед вычислением производной удобно пройти четыре шага:

найти область определения исходной функции;
определить внешнюю операцию и увидеть вложенные функции;
применить нужное правило, двигаясь от внешних слоёв к внутренним;
упростить результат, сохранив ограничения исходной функции.

После этого таблица помогает быстро выбрать первое действие.

Что вы видите	Что делать
Сумма или разность	Дифференцировать слагаемые отдельно: $(u\pm v)'=u'\pm v'$
Произведение	Применить правило $(uv)'=u'v+uv'$
Частное	Применить правило частного и обязательно проверить, где знаменатель не равен нулю
Функция внутри функции	Использовать правило цепи и двигаться от внешнего слоя к внутренним
Обратная функция	Проверить существование обратной функции и условие $f'(x_0)\neq0$ , затем применить $(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$
Переменная степень $[f(x)]^{g(x)}$	Проверить $f(x)>0$ на рассматриваемом интервале и применить логарифмическое дифференцирование

Справочно: гиперболические функции.

Гиперболические функции определяются через экспоненты и в основной части этой статьи не используются. Если вы их ещё не проходили, этот блок можно пропустить и вернуться к нему позже.

Функция	Производная	Условия
$\sinh x$	$\cosh x$	$x\in\mathbb R$
$\cosh x$	$\sinh x$	$x\in\mathbb R$
$\tanh x$	$\dfrac{1}{\cosh^2x}$	$x\in\mathbb R$
$\coth x$	$-\dfrac{1}{\sinh^2x}$	$x\neq0$

[ blanker, borderline west=3pt0ptpink!30!blue!75, left=12pt, right=8pt, top=2pt, bottom=2pt, before skip=6pt, after skip=0pt ] Главный принцип. Сначала структура функции и область определения, затем формула. После упрощения всегда сохраняйте ограничения исходного выражения.

Свойства и правила вычисления производных

Зачем нужны правила дифференцирования

u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)

а затем специально перегруппировывать слагаемые. Для частного вычисления становятся ещё громоздче.

Поэтому в математическом анализе выделяют два уровня работы:

определение производной объясняет, что такое производная и почему она связана с пределом;
правила дифференцирования и таблица производных позволяют быстро вычислять производные уже знакомых функций.

Важно не просто запомнить формулы, а научиться распознавать структуру выражения. В функции

(x^2+1)e^{3x}

Основные правила дифференцирования

Когда формулы применяются как тождества для переменной $x$ , обычно записывают короче:

\boxed{\begin{gathered} (Cu)'=Cu', \qquad (u\pm v)'=u'\pm v',\\[4pt] (uv)'=u'v+uv', \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}, \quad v\neq0 \end{gathered}}

Таблица производных

Функция	Производная	Условия
$C$	$0$	$C$ — константа
$x^n$	$nx^{n-1}$	$n\in\mathbb N$ , $n\ge1$ ; при всех $x\in\mathbb R$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	для произвольного $\alpha\in\mathbb R$ : $x>0$ ; у частных степеней область может быть шире
$e^x$	$e^x$	$x\in\mathbb R$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$ , $x\in\mathbb R$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x>0$

При $a=1$ функция $a^x=1$ постоянна, и та же формула корректно даёт

(1^x)'=1^x\ln1=0

Для целых степеней формулу можно расширять дальше. Например,

(x^{-3})'=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}, \qquad x\neq0

Функция	Производная	Условия
$\sin x$	$\cos x$	$x\in\mathbb R$
$\cos x$	$-\sin x$	$x\in\mathbb R$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\cos x\neq0$
$\cot x$	$-\dfrac{1}{\sin^2x}$	$\sin x\neq0$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$-1<x<1$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$-1<x<1$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$x\in\mathbb R$
$\arccot x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$	$x\in\mathbb R$

Почему для $\arcsin x$ и $\arccos x$ в таблице стоит $-1<x<1$, хотя сами функции определены при $-1\le x\le1$?

Сложная функция и правило цепи

Очень часто одна функция подставлена внутрь другой. Например,

\sin(2x), \qquad e^{\cos x}, \qquad \sqrt{\sin(x^2)}, \qquad 3^{(\cos(4x))^{12}}

Такие выражения называют сложными функциями, или композициями функций.

h'(x)=g'(u)f'(x)

Если слоёв больше двух, правило применяется последовательно. Для

y=H(G(F(x)))

получаем

y' = H'(G(F(x)))\,G'(F(x))\,F'(x)

Пример

Найдём производную

y=3^{(\cos(4x))^{12}}

Чтобы не потерять ни один слой, сначала выпишем, как строится функция изнутри наружу:

\begin{aligned} y' &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,\bigl((\cos(4x))^{12}\bigr)'\\ &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,12(\cos(4x))^{11}(\cos(4x))'\\ &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,12(\cos(4x))^{11}(-\sin(4x))(4x)'\\ &=-48\ln3\,\sin(4x)\,(\cos(4x))^{11}3^{(\cos(4x))^{12}} \end{aligned}

Ответ:

y'=-48\ln3\,\sin(4x)\,(\cos(4x))^{11}3^{(\cos(4x))^{12}}

Пример

f(x)=\sqrt{\sin(x^2)}

\sin(x^2)\ge0

В точках, где

\sin(x^2)>0,

внешняя функция $\sqrt{u}$ дифференцируема, поэтому правило цепи применимо непосредственно:

\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin(x^2)}}(\sin(x^2))'\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin(x^2)}}\cos(x^2)\,2x\\ &=\dfrac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}} \end{aligned}

f(0)=0

и для $h\neq0$

\dfrac{f(h)-f(0)}{h} = \dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h}

При $h>0$

\dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h} = \sqrt{\dfrac{\sin(h^2)}{h^2}} \longrightarrow1,

а при $h<0$

\dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h} = -\sqrt{\dfrac{\sin(h^2)}{h^2}} \longrightarrow-1

Односторонние пределы различаются, поэтому $f'(0)$ не существует.

Производная обратной функции

Начнём с простого примера. Если

f(x)=2x+3

то из равенства $y=2x+3$ можно однозначно восстановить $x$ :

x=\dfrac{y-3}{2}

Значит, обратная функция выполняет действие в обратную сторону и имеет вид

f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}

\boxed{f^{-1}\colon f(I)\to I},

и выполняется равносильность

\boxed{y=f(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad x=f^{-1}(y)}

На этом рисунке особенно хорошо видно, зачем требуется условие $f'(x_0)\neq0$ . Функция

f(x)=x^3

строго возрастает на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ , но

f'(0)=0

Пример

\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

Для $-1<x<1$ применяем теорему о производной обратной функции непосредственно:

(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}

Теперь нужно выразить знаменатель через $x$ . Обозначим

y=\arcsin x

Тогда

\sin y=x, \qquad y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

Из тождества

\sin^2y+\cos^2y=1

следует

\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}

\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}

Поэтому

(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad -1<x<1

Синус на выбранной ветви и функция $\arcsin x$ являются взаимно обратными

\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}

Тогда при $-1<x<1$

\begin{aligned} (\arccos x)' &=\left(\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x\right)'\\ &=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

Для стандартной ветви $\arccot x\in(0,\pi)$ также верно

\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}

Поэтому

(\arccot x)'=-(\arctan x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}

Практика вычисления производных

Когда выражение большое, полезно не начинать вычисления сразу. Сначала пройдите короткий алгоритм.

Пример

Рассмотрим

f(x)=\tan x\,\cot x

Сначала найдём область определения. Для тангенса требуется

\cos x\neq0,

а для котангенса

\sin x\neq0

Следовательно, исходная функция определена при

x\neq\dfrac{\pi k}{2}, \qquad k\in\mathbb Z

На этой области

\tan x\,\cot x=1

Поэтому в каждой точке области определения

f'(x)=(1)'=0

Ответ:

f'(x)=0, \qquad x\neq\dfrac{\pi k}{2}, \quad k\in\mathbb Z

Логарифмическое дифференцирование

У функции

y=[f(x)]^{g(x)}

Пусть $f$ и $g$ дифференцируемы. На интервале, где

f(x)>0,

степень с переменным показателем можно переписать через экспоненту:

y=[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}

\begin{aligned} y' &=e^{g(x)\ln f(x)}\bigl(g(x)\ln f(x)\bigr)'\\ &=[f(x)]^{g(x)} \left( g'(x)\ln f(x) + g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} \right) \end{aligned}

Получаем рабочую формулу

\boxed{y' = [f(x)]^{g(x)} \left( g'(x)\ln f(x) + g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} \right)}

на тех интервалах, где $f(x)>0$ .

На практике эту же идею часто записывают короче: сначала берут логарифм

\ln y=g(x)\ln f(x)

Пример

Рассмотрим

y=(\sin x)^{\cos x}

\sin x>0

Тогда

\ln y=\cos x\,\ln(\sin x)

Дифференцируем:

\dfrac{y'}{y} = (\cos x)'\ln(\sin x) + \cos x\,(\ln(\sin x))'

Здесь

(\cos x)'=-\sin x,

а по правилу цепи

\begin{aligned} (\ln(\sin x))' &=\dfrac{1}{\sin x}(\sin x)'\\ &=\dfrac{\cos x}{\sin x}\\ &=\cot x \end{aligned}

Поэтому

\dfrac{y'}{y} = -\sin x\,\ln(\sin x)+\cos x\,\cot x

Возвращаем $y=(\sin x)^{\cos x}$ :

y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln(\sin x)+\cos x\,\cot x \right), \qquad \sin x>0

Ответ:

y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln(\sin x)+\cos x\,\cot x \right), \qquad \sin x>0

Типичные ошибки

Ошибки выбора формулы.

Дифференцировать произведение как произведение производных. Неверно писать
$(uv)'=u'v'$
Например, при $u=v=x$ правая часть равна $1$ , а производная $x^2$ равна $2x$ . Правильная формула:
$(uv)'=u'v+uv'$
Забыть производную внутренней функции. Неверно писать
$(\sin(2x))'=\cos(2x)$
Внутри синуса стоит функция $2x$ , поэтому по правилу цепи нужно дополнительно умножить на $(2x)'=2$ .
Использовать правило постоянной степени при переменном показателе. Для $x^x$ нельзя писать $(x^x)'=x\,x^{x-1}$ : формула $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ предполагает, что показатель $\alpha$ постоянен.

Ошибки, связанные с условиями и областью определения.

Потерять область определения после упрощения. Равенство
$\tan x\,\cot x=1$
верно только там, где определены оба множителя. Упрощение выражения не возвращает запрещённые точки в область определения исходной функции.
Применить табличную формулу в точке, где конечной производной нет. Функция $\arcsin x$ определена при $x=\pm1$ , но формула
$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
применяется только при $-1<x<1$ . Область определения функции и множество точек дифференцируемости могут различаться.
Логарифмировать основание без проверки знака. Метод логарифмического дифференцирования через $\ln f(x)$ требует $f(x)>0$ на рассматриваемом интервале. При нулевом или отрицательном основании переход к вещественному логарифму может быть незаконным.
Считать, что одного существования обратной функции достаточно. Для формулы производной обратной функции важно условие $f'(x_0)\neq0$ . Если оно нарушено, у обратной функции может появиться вертикальная касательная и конечной производной в соответствующей точке не будет.

Проверьте себя

Найдите производную
$f(x)=5x^4-3x^2+7$
Найдите производную
$f(x)=(x^2+1)e^x$
Укажите, какое правило применяется первым.
Найдите производную
$f(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+4}$
Объясните, почему знаменатель не создаёт запрещённых точек.
Найдите производную
$f(x)=\cos(3x^2)$
Назовите внешний и внутренний слои.
Найдите производную
$f(x)=e^{\sin(x^2)}$
Распишите все слои сложной функции.
Пусть $f$ обратима, выполнены условия теоремы о производной обратной функции,
$f(-1)=3, \qquad f'(-1)=-4$
Найдите $(f^{-1})'(3)$ и объясните, почему знак ответа отрицательный.
Найдите производную $\arcsin x$ в точке
$x=\dfrac12$
Проверьте, что точка лежит в области, где формула производной применима.
Для функции
$f(x)=\tan(2x)\,\cot(2x)$
найдите область определения и производную. Объясните, почему после упрощения до единицы запрещённые точки нельзя вернуть в область определения.
Найдите производную
$y=x^{\cos x}, \qquad x>0$
а затем вычислите её значение при $x=1$ .
Верно ли утверждение
$(uv)'=u'v'?$
Если нет, приведите простой контрпример и запишите правильную формулу.

Ответы к разделу «Проверьте себя».

Дана функция
$f(x)=5x^4-3x^2+7$
Это сумма трёх слагаемых, поэтому производную можно находить по частям. Постоянные множители $5$ и $-3$ выносятся за знак производной, а производная константы $7$ равна нулю:
$\begin{aligned} f'(x) &=(5x^4)'-(3x^2)'+(7)'\\ &=5(x^4)'-3(x^2)'+0\\ &=5(4x^3)-3(2x)\\ &=20x^3-6x \end{aligned}$
Многочлен определён при всех действительных $x$ , поэтому ограничений на ответ нет.
Ответ:
$f'(x)=20x^3-6x$
Рассмотрим
$f(x)=(x^2+1)e^x$
Первым применяется правило произведения, потому что всё выражение состоит из двух множителей:
$u(x)=x^2+1, \qquad v(x)=e^x$
Их производные:
$u'(x)=2x, \qquad v'(x)=e^x$
Поэтому
$\begin{aligned} f'(x) &=u'v+uv'\\ &=2xe^x+(x^2+1)e^x \end{aligned}$
Выносим общий множитель $e^x$ :
$f'(x)=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2$
Ответ:
$f'(x)=e^x(x+1)^2$
Дана функция
$f(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+4}$
Сначала проверим область определения. Знаменатель не должен обращаться в ноль. Для любого действительного $x$
$x^2\ge0,$
поэтому
$x^2+4\ge4>0$
Значит, знаменатель всегда положителен и функция определена при всех $x\in\mathbb R$ .
Внешняя операция — частное. Обозначим
$u(x)=\cos x, \qquad v(x)=x^2+4$
Тогда
$u'(x)=-\sin x, \qquad v'(x)=2x$
По правилу производной частного
$\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\ &=\dfrac{-\sin x\,(x^2+4)-2x\cos x}{(x^2+4)^2} \end{aligned}$
Дополнительных ограничений в ответе нет, поскольку исходная функция определена на всей числовой прямой.
Ответ:
$f'(x) = \dfrac{-(x^2+4)\sin x-2x\cos x}{(x^2+4)^2}, \qquad x\in\mathbb R$
Рассмотрим
$f(x)=\cos(3x^2)$
Внешняя функция — $g(u)=\cos u$ , внутренняя —
$u(x)=3x^2$
Производная внешней функции по её аргументу:
$g'(u)=-\sin u$
Производная внутренней функции:
$u'(x)=6x$
По правилу цепи
$\begin{aligned} f'(x) &=-\sin(3x^2)(3x^2)'\\ &=-6x\sin(3x^2) \end{aligned}$
Ответ:
$f'(x)=-6x\sin(3x^2)$
Дана функция
$f(x)=e^{\sin(x^2)}$
В ней три уровня:
$x \longrightarrow x^2 \longrightarrow \sin(x^2) \longrightarrow e^{\sin(x^2)}$
Дифференцируем снаружи внутрь. Производная экспоненты сохраняет экспоненту:
$(e^u)'=e^u$
Затем нужно умножить на производную $\sin(x^2)$ , а она сама является сложной функцией:
$\begin{aligned} f'(x) &=e^{\sin(x^2)}(\sin(x^2))'\\ &=e^{\sin(x^2)}\cos(x^2)(x^2)'\\ &=2x\cos(x^2)e^{\sin(x^2)} \end{aligned}$
Ответ:
$f'(x)=2x\cos(x^2)e^{\sin(x^2)}$
Из условия
$f(-1)=3$
следует, что обратная функция возвращает число $-1$ по значению $3$ :
$f^{-1}(3)=-1$
По теореме о производной обратной функции
$(f^{-1})'(3) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(3))}$
Подставляем найденное значение $f^{-1}(3)=-1$ :
$\begin{aligned} (f^{-1})'(3) =\dfrac{1}{f'(-1)} =\dfrac{1}{-4} &=-\dfrac14 \end{aligned}$
Отрицательный знак не появляется случайно. По условию $f'(-1)=-4<0$ , то есть исходная функция в этой точке убывает. Производная обратной функции является взаимно обратной к этой ненулевой производной, поэтому знак сохраняется отрицательным.
Ответ:
$(f^{-1})'(3)=-\dfrac14$
Для $\arcsin x$ формула
$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
применяется при
$-1<x<1$
Точка
$x=\dfrac12$
этому условию удовлетворяет. Подставляем её в формулу:
$\begin{aligned} (\arcsin x)'\bigg|_{x=\frac12} =\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac14}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{\frac34}} =\dfrac{2}{\sqrt3} =\dfrac{2\sqrt3}{3} \end{aligned}$
Последняя форма получена рационализацией знаменателя; обе формы равносильны.
Ответ:
$\dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$
Рассмотрим
$f(x)=\tan(2x)\,\cot(2x)$
Сначала найдём область определения исходной функции. Для тангенса требуется
$\cos(2x)\neq0,$
а для котангенса
$\sin(2x)\neq0$
Условие $\sin(2x)=0$ выполняется при
$2x=\pi m, \qquad m\in\mathbb Z,$
то есть при $x=\dfrac{\pi m}{2}$ . Условие $\cos(2x)=0$ выполняется при
$2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m,$
то есть при $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi m}{2}$ . Объединяя оба набора запрещённых точек, получаем компактную запись
$x\neq\dfrac{\pi k}{4}, \qquad k\in\mathbb Z$
На этой области оба множителя определены и ненулевы, поэтому
$\begin{aligned} \tan(2x)\,\cot(2x) &=\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)} =1 \end{aligned}$
Следовательно,
$f'(x)=0$
во всех точках области определения. После сокращения запрещённые точки не возвращаются: исходное выражение в них не существовало.
Ответ:
$f'(x)=0, \qquad x\neq\dfrac{\pi k}{4}, \quad k\in\mathbb Z$
Пусть
$y=x^{\cos x}, \qquad x>0$
Здесь меняются и основание $x$ , и показатель $\cos x$ , поэтому обычное степенное правило напрямую не подходит. Так как $x>0$ , применяем логарифмическое дифференцирование:
$\ln y=\cos x\,\ln x$
Дифференцируем обе части. Слева по правилу цепи
$(\ln y)'=\dfrac{y'}{y},$
а справа применяем правило произведения:
$\begin{aligned} \dfrac{y'}{y} &=(\cos x)'\ln x+\cos x\,(\ln x)'\\ &=-\sin x\,\ln x+\dfrac{\cos x}{x} \end{aligned}$
Умножаем обе части на $y=x^{\cos x}$ :
$y' = x^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln x+\dfrac{\cos x}{x} \right), \qquad x>0$
Теперь вычислим производную при $x=1$ . Используем
$\ln1=0, \qquad \sin(1)\,\ln1=0, \qquad 1^{\cos(1)}=1$
Тогда
$\begin{aligned} y'(1) &=1^{\cos(1)} \left( -\sin(1)\,0+\dfrac{\cos(1)}{1} \right)\\ &=\cos(1) \end{aligned}$
Ответ:
$y' = x^{\cos x} \left( -\sin x\,\ln x+\dfrac{\cos x}{x} \right), \qquad y'(1)=\cos(1)$
Утверждение
$(uv)'=u'v'$
неверно. Возьмём самый простой пример:
$u(x)=x, \qquad v(x)=x$
Тогда
$u(x)v(x)=x^2,$
поэтому настоящая производная равна
$(uv)'=(x^2)'=2x$
Если бы ошибочная формула была верна, получили бы
$u'v'=1,$
что не совпадает с $2x$ как функция от $x$ .
Правильное правило произведения:
$(uv)'=u'v+uv'$
В нашем примере оно даёт
$u'v+uv' = x+x = 2x,$
как и должно быть.
Ответ: утверждение неверно; правильная формула
$(uv)'=u'v+uv'$

Решения задач по ходу статьи.

Для
$f(x)=(3x^2-1)\sin x$
внешняя операция — произведение. Обозначим
$u(x)=3x^2-1, \qquad v(x)=\sin x$
Тогда
$u'(x)=6x, \qquad v'(x)=\cos x$
По правилу произведения
$\begin{aligned} f'(x) &=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ &=6x\sin x+(3x^2-1)\cos x \end{aligned}$
Оба множителя исходной функции определены при всех $x\in\mathbb R$ , поэтому дополнительных ограничений нет.
Ответ:
$f'(x)=6x\sin x+(3x^2-1)\cos x$
Рассмотрим
$f(x)=\ln(1+x^2)$
Сначала проверим область определения логарифма. Для любого действительного $x$
$x^2\ge0,$
поэтому
$1+x^2\ge1>0$
Значит, логарифм определён при всех $x\in\mathbb R$ .
Функция сложная: внешняя функция $g(u)=\ln u$ , внутренняя $u(x)=1+x^2$ . По правилу цепи
$\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{1}{1+x^2}(1+x^2)'\\ &=\dfrac{1}{1+x^2}\,2x\\ &=\dfrac{2x}{1+x^2} \end{aligned}$
Ответ:
$f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}, \qquad x\in\mathbb R$
Из условий
$f(2)=7, \qquad f'(2)=5$
следует
$f^{-1}(7)=2$
По теореме о производной обратной функции
$(f^{-1})'(7) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(7))}$
Подставляем $f^{-1}(7)=2$ :
$(f^{-1})'(7) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac15$
Число $5$ стоит в знаменателе потому, что это производная исходной функции в той точке $x=2$ , которая переходит в $y=7$ .
Ответ:
$(f^{-1})'(7)=\dfrac15$
Пусть
$y=x^{\sin x}, \qquad x>0$
Поскольку основание положительно, можно взять натуральный логарифм:
$\ln y=\sin x\,\ln x$
Дифференцируем обе части:
$\dfrac{y'}{y} = (\sin x\,\ln x)'$
Справа применяем правило произведения:
$\begin{aligned} (\sin x\,\ln x)' &=(\sin x)'\ln x+\sin x(\ln x)'\\ &=\cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x} \end{aligned}$
Следовательно,
$\dfrac{y'}{y} = \cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$
Умножаем на $y=x^{\sin x}$ :
$y' = x^{\sin x} \left( \cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x} \right), \qquad x>0$
Ответ:
$y' = x^{\sin x} \left( \cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x} \right), \qquad x>0$

Итог

Перед вычислением производной удобно пройти четыре шага:

найти область определения исходной функции;
определить внешнюю операцию и увидеть вложенные функции;
применить нужное правило, двигаясь от внешних слоёв к внутренним;
упростить результат, сохранив ограничения исходной функции.

После этого таблица помогает быстро выбрать первое действие.

Что вы видите	Что делать
Сумма или разность	Дифференцировать слагаемые отдельно: $(u\pm v)'=u'\pm v'$
Произведение	Применить правило $(uv)'=u'v+uv'$
Частное	Применить правило частного и обязательно проверить, где знаменатель не равен нулю
Функция внутри функции	Использовать правило цепи и двигаться от внешнего слоя к внутренним
Обратная функция	Проверить существование обратной функции и условие $f'(x_0)\neq0$ , затем применить $(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$
Переменная степень $[f(x)]^{g(x)}$	Проверить $f(x)>0$ на рассматриваемом интервале и применить логарифмическое дифференцирование

Справочно: гиперболические функции.

Функция	Производная	Условия
$\sinh x$	$\cosh x$	$x\in\mathbb R$
$\cosh x$	$\sinh x$	$x\in\mathbb R$
$\tanh x$	$\dfrac{1}{\cosh^2x}$	$x\in\mathbb R$
$\coth x$	$-\dfrac{1}{\sinh^2x}$	$x\neq0$